第4章_多自由度系统振动(d)

1、2022年5月17日振动力学2多自由度系统振动多自由度系统振动2022年5月17日振动力学3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动2022年5月17日振动力学4小结：小结：固有频率固有频率多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率M 正定，正定，K 正定正定主振动：主振动：正定系统：正定系统：0KXXM nRX)sin(tX代入振动方程：代入振动方程： 0)(2MK有非零解的充分必要条件：有非零解的充分必要条件：0MK2特征方程特征方程 021)1(212nnnnaaa频率方程或特征多项式频率

2、方程或特征多项式1最小的固有频率：最小的固有频率： 为基频。为基频。0XXFM 自由振动的位移方程：自由振动的位移方程：主振动：主振动： )sin(tX代入，得：代入，得： 0IFM)(特征方程：特征方程： 0IFM2022年5月17日振动力学5多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态0MK)(2特征值特征值特征向量特征向量（固有频率）（固有频率）（模态）（模态） 在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为程称为归一化归一化 。描述了系统做第描述了系统做第 i 阶主振动时具有

3、的振动形态，称为阶主振动时具有的振动形态，称为第第 i 阶阶主振型主振型，或，或第第 i 阶模态。阶模态。)(i 主振动仅取决于系统的主振动仅取决于系统的 M 阵、阵、K 阵等物理参数。阵等物理参数。)(iadjB的任一非零列都是第的任一非零列都是第 i 阶主振动阶主振动)(i0MK)(2)(ii比较：比较：0)()(2iiadjBMK因为有：因为有：小结：小结：模态模态特征值问题：特征值问题：2022年5月17日振动力学6 模态的正交性，主质量和主刚度模态的正交性，主质量和主刚度)(ii)( jj两式相减：两式相减：)(2)()(2)(jjjiiiMKMK)()(2)()(jTiijTiMK

4、)( j转置右乘转置右乘Ti)(左乘左乘)()(2)()(jTijjTiMK0)()()(22 jTijiMji ji若若 时，时， 0)()( jTiM0)()( jTiK模态关于质量的正交性模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性模态关于刚度的正交性均满足：均满足：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度正交性，主质量和主刚度当当 ij 时时piiTim )()(MpiiTik )()(K第第 i 阶模态主质量阶模态主质量第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度)(i第第 i 阶主模态阶主模态恒成立恒成立2()KM02022年5月

5、17日振动力学7 00)()()()(jTijTiKM模态关于质量的正交性模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性模态关于刚度的正交性当当 ij 时时piiTim )()(M主质量主质量piiTik )()(K主刚度主刚度ji 当当 时时利用利用 Kronecker 符号：符号： piijjTipiijjTikm)()()()(KMjijiij01第第 i 阶固有频率：阶固有频率：)1(nimkpipii 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度正交性，主质量和主刚度( )( )2( )( )i Tji TjiKM2022年5月

6、17日振动力学8主模态主模态：)()(iTipimM )()(iTipikK 第第 i 阶模态主质量阶模态主质量第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度)(i第第 i 阶主模态阶主模态多自由度系统：多自由度系统：0KXXM nR XnnRKM、ni1另一种模态：另一种模态：正则模态正则模态定义：全部主质量皆为定义：全部主质量皆为1的主模态的主模态 )(iN1)()( iNTiNpimMni1)()(iiiNc令：令：12)()(2)()( piiiTiiiNTiNmccMM)()(1ipiiNm 正则模态和主模态之间的关系：正则模态和主模态之间的关系：)(iN相对于相对于 的主刚度：的主刚度：2)(

7、)()()(1ipipiiTipiiNTiNmkm KKpiimc1 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度正交性，主质量和主刚度2022年5月17日振动力学9正则模态的正交性条件：正则模态的正交性条件：2)()()()(iijjNTiNijjNTiNKMjijiij01 piijjTipiijjTikm)()()()(KM主模态的正交性条件：主模态的正交性条件：)()(iTipimM )()(iTipikK 第第 i 阶模态主质量阶模态主质量第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度)(i第第 i 阶主模态阶主模态主模态：主模态：n

8、i11)()(iNTiNM2)()(iiNTiNK主质量为主质量为1固有频率的平方固有频率的平方)(iN第第 i 阶正则模态阶正则模态正则模态：正则模态：ni1多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度正交性，主质量和主刚度2022年5月17日振动力学10多自由度系统：多自由度系统：0KXXM nR XnnRKM、主模态主模态)1()(nii将将 组成矩阵组成矩阵模态矩阵模态矩阵)()1(n nnR ppnpTppnpTkkdiagmmdiagKKMM),(),(11主质量矩阵主质量矩阵主刚度矩阵主刚度矩阵 piijjTipiij

9、jTikm)()()()(KMni1正交性条件：正交性条件：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度正交性，主质量和主刚度对角阵对角阵2022年5月17日振动力学11)()1 ()()1 (nTnTMM ppnpTmmdiagMM ),(1推导：推导：)()1()()1(nTnTM )()1()()1(nTnT MM )()()1()()()1()1()1(nTnTnnTTMMMM pnpmm001多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度正交性，主质量和主刚度对角

10、阵对角阵2022年5月17日振动力学12多自由度系统：多自由度系统：0KXXM nR XnnRKM、正则模态正则模态)1()(niiN将将 组成矩阵组成矩阵正则模态矩阵正则模态矩阵)()1(nNNN nnRKIMNTNNTN单位矩阵单位矩阵谱矩阵谱矩阵ni1正交性条件：正交性条件：2)()()()(iijjNTiNijjNTiNKM221n多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度正交性，主质量和主刚度2022年5月17日振动力学13多自由度系统：多自由度系统：0KXXM nRXnnRKM、)(2)(iiiMK特征值问题：特征值问

11、题：依次取依次取 ，得到的，得到的 n 个方程，可合写为：个方程，可合写为：ni1 piijjTipiijjTikm)()()()(KMni1主模态正交性条件：主模态正交性条件：MK 左乘左乘 ：TppMK ppKM1多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度正交性，主质量和主刚度2022年5月17日振动力学14例：三自由度系统例：三自由度系统111,101,121)3()2()1( 111102111,)3()2()1(模态矩阵：模态矩阵：kkkTp1200060006KK mmmTp300020006MM主质量矩阵：主质量矩阵

12、：主刚度矩阵：主刚度矩阵： Kp、Mp非对角线项等于零非对角线项等于零说明主振型是关于刚度阵及质量说明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的阵相互正交的. mkmkmkpp400030001KMmkmkmk43232221谱矩阵：谱矩阵：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度正交性，主质量和主刚度2022年5月17日振动力)3()2()1(模态矩阵：模态矩阵：kkkTp1200060006KK mmmTp300020006MM主质量矩阵：主质量矩阵：主刚度矩阵：主刚度矩阵：

13、mkmkmkpp400030001KM谱矩阵：谱矩阵：)()(1ipiiNm 正则模态和主模态之间的关系：正则模态和主模态之间的关系： 23120223161,3)3(2)2(1)1(mmmmpppN正则模态矩阵：正则模态矩阵：KNTNIMNTN不难验证，有：不难验证，有： 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度正交性，主质量和主刚度2022年5月17日振动力学16小结：小结：模态的正交性，主质量和主刚度模态的正交性，主质量和主刚度多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由

14、度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度正交性，主质量和主刚度ji 若若 时，时， 0)()( jTiM0)()( jTiK模态关于质量的正交性模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性模态关于刚度的正交性当当 ij 时，时，piiTim )()(MpiiTik )()(K第第 i 阶模态主质量阶模态主质量第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度第第 i 阶固有频率：阶固有频率：)1(nimkpipii 正则模态：全部主质量皆为正则模态：全部主质量皆为1；)()(1ipiiNm 正则模态和主模态之间的关系：正则模态和主模态之间的关系：)(iN相对于相对于 的主刚度：的主刚度：( )( )2i TiNN

15、iK2022年5月17日振动力学17 模态叠加法模态叠加法多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态叠加法模态叠加法回顾：回顾：耦合与坐标变换耦合与坐标变换质量矩阵中出现耦合项称为质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。弹性耦合。 同一个系统选择两种不同的坐标同一个系统选择两种不同的坐标X 和和Y 有变换关系：有变换关系：TYX PKXXM PTKTYTYMTTTTT 2022年5月17日振动力学18 模态叠加法模态叠加法)(i)1(ni 模态模态相互正交相互正交.

16、表明它们是线性独立的，可用于构成表明它们是线性独立的，可用于构成 n 维空间的基。维空间的基。 系统的任意系统的任意 n 维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合。维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合。 nipiix1)(X即系统的振动为即系统的振动为 n 阶主振动的叠加阶主振动的叠加模态叠加法模态叠加法 Tnxx1X物理坐标物理坐标Tpnppxx1X主模态坐标主模态坐标pXX nnnR )()1(模态矩阵模态矩阵nRX1)( niR坐标关系：坐标关系：pTMM pTKK 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态叠加法模态叠加法PKXXM

17、 PTKTYTYMTTTTT 2022年5月17日振动力学19另一种模态坐标：正则模态坐标另一种模态坐标：正则模态坐标Tnxx1X物理坐标物理坐标NXniNiiNNNx1)(XXTNnNNxx1X系统响应：系统响应：nnnNNNR )(1)正则模态矩阵正则模态矩阵IM NTNK NTN多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态叠加法模态叠加法2022年5月17日振动力学20小结：小结：多自由度系统：多自由度系统：0KXXM nRXnnRKM、可采用两类模态坐标进行描述：可采用两类模态坐标进行描述：主模态坐标主模态坐标正则模态坐标正则模态坐标nipi

18、ipx1)(XXTpnppxx1XpTMM pTKK )()1(n )(1)nNNN TNnNNxx1XniNiiNNNx1)(XXIM NTNK NTN多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态叠加法模态叠加法2022年5月17日振动力学21求解无阻尼系统对初始条件的响应求解无阻尼系统对初始条件的响应可分别采用两类模态坐标进行求解。可分别采用两类模态坐标进行求解。首先采用主模态坐标：首先采用主模态坐标：自由振动方程：自由振动方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nRXnnRKM、Tnxxx)0(,),0(),0(210 XTnxxx)0(

19、,),0(),0(210 XpTMM pTKK pXX 坐标变换：坐标变换：pX：主模态坐标：主模态坐标：主模态矩阵：主模态矩阵0KXM pTpTX 代入，并左乘代入，并左乘 ：T0XKXM pppp 模态坐标初始条件：模态坐标初始条件：01)0(XXp01)0(XXpTpnpppxxx)0(,),0(),0(210 XTpnpppxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态叠加法模态叠加法IM NTN0TN MX2022年5月17日振动力学22自由振动方程：自由振动方程： 00)0()0(XXXX0KXXM

20、，nR XnnRKM、pXX 坐标变换：坐标变换： 0101)0()0(XXXX0XKXM pppppp，)1(, 0nixkxmpipipipi Tpnpppxxx)0()0(),0(210XTpnpppxxx)0()0(),0(210X)1(,sin)0(cos)0(nitxtxxiipiipipi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系统的解。式求得原系统的解。 )1(nixpipXX 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态叠加法模态叠加法2022年5月17日振动力学23求解无阻尼系统对初始条件的响应求解无阻尼系统对初始条件的响应

21、采用正则模态坐标采用正则模态坐标:自由振动方程：自由振动方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nR XnnRKM、Tnxxx)0(,),0(),0(210 XTnxxx)0(,),0(),0(210 XIM NTNK NTNNNXX 坐标变换：坐标变换：NX：正则模态坐标：正则模态坐标N ：正则模态矩阵：正则模态矩阵.0XKXMNTNNTN 代入，并左乘代入，并左乘 ：TN0XXINN 模态坐标初始条件：模态坐标初始条件：01)0(XXNN01)0(XXNNTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 XTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系统振动多自由度系

22、统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态叠加法模态叠加法2022年5月17日振动力学24自由振动方程：自由振动方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nRXnnRKM、NNXX 坐标变换：坐标变换：0101)0()0(XXXX0XXI NNNNNN，)1(, 02nixxNiiNi )1(,sin)0(cos)0(nitxtxxiiNiiNiNi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系统的解式求得原系统的解 。)1(nixNi NNXX TNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 XTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系统振动多

23、自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态叠加法模态叠加法2022年5月17日振动力学25例：三自由度弹簧质量系统例：三自由度弹簧质量系统T0220 XT0000 X求：系统在初始条件下的响应。求：系统在初始条件下的响应。2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态叠加法模态叠加法2022年5月17日振动力学26T0220 XT0000 X2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动解：解：动力学方程：动力学方程： 00030

24、203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm 23120223161mN03266/) 0 (01mNNXX000) 0 (01XXNN模态初始条件：模态初始条件：正则模态矩阵：正则模态矩阵：mk /23 mk /32 mk /1 固有频率：固有频率：2022年5月17日振动力学272kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 00030203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm 23120223161mNTNNm 0326 6/) 0 (01 XXTNN 000 ) 0 (01 XX32

25、1NNNNxxxX模态坐标响应：模态坐标响应：mk /23 mk /32 mk /1 txtxxiiNiiNiNisin)0(cos)0(0cos32cos6621ttm2022年5月17日振动力学28多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动0cos32cos6621321ttmxxxNNNNX原系统响应：原系统响应：)()()()(321txtxtxtX23120223161mNmk /23 mk /32 mk /1 ttttt21121coscoscos2coscos0cos32cos662312022316121ttmmNNX2022年5月17日

26、振动力学29多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动0cos32cos6621321ttmxxxNNNNX也可展开求解：也可展开求解：NNtXX)(23120223161mN321)3()2() 1 (NNNNNNxxx31)(iNiiNx)()()()(321txtxtxtXttttt21121coscoscos2coscosNNX0622261)cos32(630361cos6612161 21mmtmmtmm3)3(2)2(1) 1 (NNNNNNxxx合并后结果完全一样合并后结果完全一样2022年5月17日振动力学30分析：分析： 231202

27、23161mN0622261)cos32(630361cos6612161 213)3(2)2(1) 1 (31)(mmtmmtmmxxxxNNNNNNiNiiNNNXX 0cos32cos6621321ttmxxxNNNNX多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第第1阶模态响应阶模态响应第第2阶模态响应阶模态响应第第 3 阶阶模态响模态响应应第第1阶模态阶模态第第2阶模态阶模态第第3阶模态阶模态2022年5月17日振动力学31分析：分析：0622261)cos32(630361cos6612161)()()(21321mmtmmtmmtxtxtx多

28、自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动系统响应为各阶模态响应的叠加系统响应为各阶模态响应的叠加第第1阶模态响应阶模态响应第第2阶模态响应阶模态响应第第 3 阶阶模态响模态响应应第第1阶模态阶模态第第2阶模态阶模态第第3阶模态阶模态第第1阶模态主振动阶模态主振动第第2阶模态主振动阶模态主振动第第3阶模态主振动阶模态主振动（以（以 1为振动频率）为振动频率）（以（以 2为振动频率）为振动频率）（以（以 3为振动频率）为振动频率）决定各质量每一时刻决定各质量每一时刻位移的相对比值位移的相对比值2022年5月17日振动力学32小结小结: 模态叠加法模态叠加法物

29、理空间物理空间0KXXM 耦合耦合主模态空间主模态空间pXX pXX 0 pipipipixkxm 解耦解耦物理空间物理空间0KXXM 耦合耦合正则模态空间正则模态空间NNXX NNXX 02 NiiNixx 解耦解耦多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态叠加法模态叠加法2022年5月17日振动力学33随堂测试：随堂测试：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动如图所示量自由度系统。如图所示量自由度系统。 系统存在初始条件：系统存在初始条件： 0210)0()0(xxx00)0()0(21xx试采用模态

30、叠加法求解系统响应。试采用模态叠加法求解系统响应。 2022年5月17日振动力学34解：解：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动运动微分方程为：运动微分方程为： 0022002121xxkkkkxxmm 令主振动：令主振动： )sin(2121txx或直接用或直接用 0MK)(200222122mkkkmk有：有：2km令令 00211221021123, 121123,kkmm为求主振型，依次将为求主振型，依次将 代入代入 ,得到：得到：11)1(11)2(即有模态矩阵：即有模态矩阵： 1111频率：频率：根据：根据：2022年5月17日振动力学

31、35 模态叠加法模态叠加法多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态叠加法模态叠加法回顾：回顾：耦合与坐标变换耦合与坐标变换 同一个系统选择两种不同的坐标同一个系统选择两种不同的坐标X 和和Y 有变换关系：有变换关系：TYX PKXXM PTKTYTYMTTTTT 如果恰巧如果恰巧Y 是主坐标：是主坐标：MTTTKTTT对角阵对角阵这样的这样的T 物理上物理上是否存在？是否存在？2022年5月17日振动力学36解：解：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动运动微分方程为：运动微分方程为： 00220021

32、21xxkkkkxxmm 123,kkmm有模态矩阵：有模态矩阵： 1111频率：频率：pXX 坐标变换：坐标变换：00600220022121ppppxxkkxxmm 模态空间的初始条件为模态空间的初始条件为 01121021211111(0)(0)1 1222pxxxxXXxxxx 10(0)(0)0pXX 系统存在初始条件：系统存在初始条件： 0210)0()0(xxx00)0()0(21xxpTMM pTKK 2022年5月17日振动力学37解：解：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动运动微分方程为：运动微分方程为： 0022002121x

33、xkkkkxxmm 123,kkmm有模态矩阵：有模态矩阵： 1111频率：频率：模态空间的初始条件为模态空间的初始条件为 2/2/02/12/12/12/1)0()0(0001xxxXXp10(0)(0)0pXX tmkxtxxtmkxtxxpppp3cos2cos)0(cos2cos)0(02220111)3cos(cos2)3cos(cos200tmktmkxtmktmkxXXp所以有：所以有： )1(,sin)0(cos)0(nitxtxxiipiipipi 2022年5月17日振动力学38 模态截断法模态截断法 对对自由度数自由度数 n 很大很大的复杂振动系统，不可能求出全部的的复杂

34、振动系统，不可能求出全部的固有频率和相应的主振型，然后用模态叠加法分析系统固有频率和相应的主振型，然后用模态叠加法分析系统对激励的响应。对激励的响应。 当激励频率主要包含低频成分时当激励频率主要包含低频成分时，可以撇去高阶振型及，可以撇去高阶振型及固有频率对响应的贡献，而只利用较低的前面若干阶固固有频率对响应的贡献，而只利用较低的前面若干阶固有频率及主振型近似分析系统响应。有频率及主振型近似分析系统响应。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动模态截断法模态截断法或或振型截断法振型截断法nipii1)(XXripii1)(XX截断前：截断前：截断后：截断后：nr 2022年5月17日振动力学39n 自由度系统自由度系统 )()2()1(*r 将前将前 r 阶模态阶模态 中组成的截断模态矩阵记为中组成的截断模态矩阵记为: )1()(rir rnR 截断的主质量矩阵和主刚度矩阵截断的主质量矩阵和主刚度矩阵 MMTp KKTp 截断前截断前*KKTp *MMTp 主质量主质量主刚度主刚度截断后截断后nnR rrR nnR rrR *pM*pK分别为前分别为前 r 个主质量和主刚度排成的个主质量和主刚度排成