第二章 离散型随机变量

1、第二章第二章 离散型随机变量离散型随机变量 一维离散型随机变量及分布列一维离散型随机变量及分布列 二维随机变量、联合分布列和边际分布列二维随机变量、联合分布列和边际分布列 随机变量函数的分布列随机变量函数的分布列 随机变量的数学期望随机变量的数学期望 随机变量的方差随机变量的方差 条件分布及条件数学期望条件分布及条件数学期望2.12.1一维离散随机变量一维离散随机变量 一、定义：一、定义：设设S=eS=e是试是试验的样本空间，如果量验的样本空间，如果量X X是定是定义在义在S S上的一个单值实值函数上的一个单值实值函数即对于每一个即对于每一个e e S S ，有一实有一实数数X=X(e)X=X

2、(e)与之对应，则称与之对应，则称X X为为随机变量随机变量。 随机变量随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、 、 等表示。等表示。：引入适当的随机变量描述下列事件：引入适当的随机变量描述下列事件：将将3 3个球随机地放入三个格子中，个球随机地放入三个格子中，事件事件A=A=有有1 1个空格个空格 ，B=B=有有2 2个空格个空格 ，C=C=全有球全有球 。进行进行5 5次试验，事件次试验，事件D=D=试验成功一试验成功一次次 ，F=F=试验至少成功一次试验至少成功一次 ，G=G=至多成至多成功功3 3次次 例例1 1奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量随机变量随机变量随机变

3、量的分类随机变量的分类二、一维离散型随机变量二、一维离散型随机变量 1、定义、定义2.1 若随机变量若随机变量X取值取值x1, x2, , x xn n, 且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称则称X为为离散型随机变量，而称离散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为为X的的分布律分布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或或XX Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp1p2pk(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 1.1kkp 例例1 1 设袋中有设袋中有5 5

4、只球，其中有只球，其中有2 2只白只白3 3只黑。只黑。现从中任取现从中任取3 3只球只球( (不放回不放回) )，求抽得的白球数，求抽得的白球数X X的的分布列。分布列。2. 分布律的性质分布律的性质bxakbxakkkxXPxXPbXaP)() ()()3(充要性质某射手对目标独立射击某射手对目标独立射击5 5次，每次命中次，每次命中目标的概率为目标的概率为p p，以以X X表示命中目标的次数，表示命中目标的次数，求求X X的分布律的分布律。例例2:2:3 3、几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布（1 1） (0-1) (0-1)分布分布(p63) 若以若以X X表示进行一次试验事件表

5、示进行一次试验事件A A发生的次数，则发生的次数，则称称X X服从服从(0(01)1)分布分布( (两点分布两点分布) ) XPXkpk(1p)1k, (0p0, 则称则称同理，对固定的i, pi. 0, 称,.2 , 1,|jppxXyYPPiijijij为为X xi的的条件下，条件下，Y的条件分布列。的条件分布列。jijijippppYX，独立时，有与显然，当二、条件数学期望二、条件数学期望 定义定义2.7：若随机变量：若随机变量X在在Y=yj条件下的条件分条件下的条件分布列为布列为 则称则称为为X在在Y=yj条件下的数学期望，简称条件期望，条件下的数学期望，简称条件期望，记为记为，又1,

6、ijiijipxp1ijiipxjyYXE 例例2.19：某射手进行射击，每次射击击中目标：某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为的概率为p(0p1)，射击进行到击中目标两次停射击进行到击中目标两次停止。令止。令X表示第一次击中目标时的射击次数，表示第一次击中目标时的射击次数，Y表表示第二次击中目标时的射击次数，试求联合分布示第二次击中目标时的射击次数，试求联合分布列列pij，条件分布列条件分布列pi/j及及pj/i条件期望条件期望EX/Y=n.三、条件数学期望的性质三、条件数学期望的性质2、若若a,b是两个常数，又是两个常数，又 CyYCEj,1jyYXE2jyYXE存在，则存在，则 21jyYbXaXE存在，且存在，且 21jyYbXaXE1jyYXaE.2jyYXbE 以上两条性质是在固定以上两条性质是在固定“Y=yi”的条