古典概型和几何概型习题课.

1、概率与统计习题课:23MJ、 A 亠 L j ：；u逗瀝i例1：(2()()9深圳模)先后随机投掷2枚止方体骰子，K 中X表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现 的点数.(1) 求点/V，刃在II线y = x-l上的概率；(2) 求点尸(上y)满足y2v4x的概率.切入点：列出基本事件的总数和事件4和的基本 事件数.解析：用育序实数对(X,刃表示先后抛掷2次的结果, 则所冇可能的结果如下表所示：1234561(1.1(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(L6)2(2.11(2.2)(23)(2,4)(2(2.6)3(3.H0.2)(3.3)(3,4)(3.5 (3.6)4(4.1)

2、0.2)(5.3)(5,4)(5,5(5.6)6(6.1)62)(6.3)(6.4)(6.51(6.6)试验的所仃可能结果数为36,并H这36种结果出现的 町能杵是相同的，试验属r打典概空.(1)记*点卩(兀y)在线丫 =兀一1 I为事件A, A包含5个 旱本事件:(2,1),(32)(4,3),(5.4),(&5),所以 P(A) = .36(2)记”点y)满足r 4x*为事件B,贝ij事件*冇17个 基本爭件：半x=l时，y = I；半x = 2时，y = 1,2：油兀=3时，y = 1,2,3： hx = 4时，y = 1,2,3：= 511 寸，y = 1,23,4：当牙=6时，y =

3、 l,2,3,4-17所以 P(3) = .Jo1. 列举足处理占典概型的木方法.2. 列举时，姜注懸分洽“有用”还是“无序”， 按一泄次序进行列举，防止重复利遗漏.采用列农、“树图”等直观于段是防土重复与遗漏的冇效方法.3. 具体爭件的给出常常和其他数学知识相联系, 耍注惠联系和关知识找到相应事件的基木爭件数.变式1:(2010广州一模)已知育线厶：x-2y-l = (),育线 /,： ax -by= 0, Jt 中 d, be 123,4,5,6.(1) 求肓线/,n/,=0的概率；(2) 求育线厶与L的交点位丁第一彖限的概率.解析:直线厶的斜率/斗貞线厶的斜率爲=+设事 件A为“直线人n

4、/2=0二G 处123,4,5,6的总事件为(1,1),(1,2)-.,(1,6),(2,1), (2,2),(2,6),(6,5),(6,6),共36种.若人|/2=0，则人/2，即=心 即6=加.満足条件的实数对3仍冇(1,2),(2,4),(3,6),共3种帖形. 所以 P(A) = = .3612答r直线z,n/, =07Kj概率为丄.- 12(2)设啡件B为賈线h与厶的交点位于第象限二由J-直线A与 0b-2a ，解 2a,d + l八y = 0b-2aa. /?e 1,2,3,4,5,6的总枣件为(1,1),(1.2),(1,6),(2.1), (2.2),(2、6)，,(6.5)

5、,(6.6),共36种.满足条件的实数対(4，仍有(1,3),(14),(1,5),(1,6),(2,5), (2,6),共6种，所以P(吩加?.答：宜线/占上的交点位于第一象限的概率为丄.* 6例2：已知函数/(兀)=一/ 一(0-1)尤2 +bx,其中d, b为实常数，求函数门对为奇函数的充要条件：(2)若任取rte 0,4, be0,3,求函数/(x)在R上是 增函数的概率.切入点：求出函数/(X)AR I.是增函数的条件 建立朋标系aOh.利用儿何概型知识处理解析:掷(Q为奇皈数，则对任总X R, /(A；) + /(-x) = 0恒成立，KPx - a- !)% +ZAr -+牙3-

6、 -bx = 0,Un2(a-l)x-=0恒成立，所以a = l.当0 = 1 时，/(x) = lx+Z?-x.WlZ*(-x) =-/7v = -/(.V), z所以/(H为奇函数.故门X)为奇函数的充要条件是匕= 1“.3x4 X 1X1 x3x3 r所以可=沁 =22= !_ Sa3x4127 故函数AG）在R上是增函数的概率为誇.1.儿何概熨常常和二元一次不等式所农示的平 |x域交利综合.2皿求解的关键在于确泄事件/构成的平面区 域.变式2：已知函数f (x) = “2 +加+ ?, It中0 /? 4,0S4记满足条叱霊帥件为A求爭件4发生的概率.2/(-1) c)I()SZ7S4

7、,()ScS4I,解析：宙2b + c-26ys-242 A b 26+c=8则屮件A构成的X域为 = (/a c) I -2b + c 2 O A 4 O ? 4 山I冬I叫矢II, X域 0, b0ll寸，方无吋(兀)=0恰何两个不和等的实根的充耍条件是* O方 a, .Hd丰0.此时G用旳取值诘况右 A 0(1,2),(1,3),(2,3),即事件A包含的基本事件数为3. 所以方程/(x) = 0恰有两个不相等(目实数根的概率为 尸(a) = 2.丿16(2)因为a是从区间0,2中任取的一个数，Z?是从区间 0,3中任取的一个数，则试验的全部结來构成区域 (G仍IOSdS2,ObW3,这

8、足一个矩形区域，其 【何积5门=2x3 = 6.设方MS）没有实根为怕牛B,则出件3所构成 的区域为（G, /?）丨06/2,0/?b,其而积Sm = 2x2 = 2.山儿何概世的概率计舁公式可得方?y/（x）=o没有实CI数根的概率为P（B） = = i.Sq 3I. 朿视化思想的运用.从集介0,1,2,3中取数a! 卜相当于一个4血的“骰了抛两次.一般來说，取数、I 摸球、投信、掷彼币等问题，肉可化归为抛骰&诃i题.ii 2审件的给出常常和其他知识相联系，耍注意和1 !关知识的运用.木题中才（工）=0恰冇两个不等实根i（ii o r .列举时，容易忽视d工0这一条件.1i A0 I I变式

9、3：已知向量a = (1, - 2), h = 3 )(1) 若兀，y分別表示将一枚质地均匀的止方体 散子(六个面的点数分别为123,4,5,6)先后抛 掷两次时笫一次、第二次出现的点数，求满 足alZb = 1的概率；(2) 若X, y G 1,6,求满足dlb 0的概率.解析：(1)设(X,刃表示一个基本出件，则抛掷两次骰 r 的所冇基本 y匚件冇(1,1),(U2).(1,3),(1,4),(U5),(1,6). (2,1),(2,2),(6,5),(6,6),共36个.用A衣示事件“a b = -r , Ullx-2y = -l.则力包禽的基木事件他1,1),(3,2),(5,3),共

10、3个.所以 p(A) = = .3612答：巾:件S的概率为込.y754326:y=o-t *“ )12 3 4 56 7 T4答小件宀。”的概率为NSIS方洁覆S(2)用表示爭件 “口小 ()” ,UPx-2y 0.试验的全部结果所构成的区域为(X, y) 11 X 6.1 y6,构丿朮申件 MKJ 区域为(X, y)llx6JSy (),如图所示x4x2所以所求的概率为P (3) = 2J X1. 对简单的概率问题要能迅速判断出是哪种类曲 的概率问题，再套用公式解决.2. 对古贝概卑，要会用枚举法，借助农格、树形 图等写出所有的基本事件和所求事件包含的基本爭件.求古典概型的般方法和步骤如下

11、：(1) 判断试验是否为等町能性爭件，并用字母表示 所求拆件.(2) 计算基木爭件的个数H及事件中包含的基本事 件的个数m(3) 计算申件A的概率P(A)=-.nc运DySIS方法提Sf.酸削临is耐崔.3. 对儿何概型，要根据题意判断是玄线利、Ifii 积型、体积型还是角度型.判断的关键是看它是否是 等町能的，也就是点是否是均匀分布的.求解的关键 是构造出随机出件对应的儿何图形，利用图形的儿何 度戢來求随机出件的概率.4. 要注意古典概型、几何概型与其他知识的联 系，根据问题特点，联想相关知识，找到所求爭件满 足的条件.1.（2010佛山一模）我国術南今春人旱，呆垄金会计划 给予援助,6家矿

12、泉水企业参与了竞标.其中力金业来 n浙江省，B、C两家企业來门福建省，D、E、F三家 企业來自广东省.此项援助计划从两家企业购水， 假设每家企业屮标的概率和同.则在中标的企业中， 至少冇一家來门广东省的概率是（A ）A.-B.-55一 2. (2() 1()厂州模)在棱长为2的止方休qBCD-AQCC 中，点O为底iflUBCDffj中心.在正方体州dG 。内随机収一点P,则点P到点O的距离人J-1的概率为, 兀0 , 兀A. B .112 12C.-D.1-6 6解析：到点OTj距离大丁-1的点P足以点O为球心、1为 半径的半球外部的点.利用儿何概型知识可得答案 为选项33在广东省高考数学文

13、科卷中，考生从14、15两道题中 任选一题作答.右甲、乙、丙、丁四个考生，他们选 14、15题的可能性是柑等的，那么四人屮甲、乙两个考 生都选14题作答的概率是 ()4.将2为1的木棒任意地拆成三段，则三段能构成三 角形的概率为().解析：设三段的心分别为X. yA-x-y, 山构成三角形的条件结合儿何概型知识口脚答案歸f朝召舷二5. (20lOJElJ一模)已知函f(x = ax + ，xe(-U), 0、Z?e R是常数.若a是从-2,-1,0丄2五个数中任取的一个数，h 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求凶数y = y(x) 为奇西数的概率.(2)若m是从区间-2,2中任取的一个数，

14、6是从区间 0,2中任取的一个数，求函数)，= /(x)有零点的概率.f朝眺札fl也二解析:函数几兀)=血+ /；, xe(-IJ)为奇函数，当且 仅当/兀 ( 1,1), /(-X)= -/(X),即,2 = 0.基本事件共 15 个：(-2,(),(-2,1),(-2,2),(-M),(-1,1), (-1,2),(),(),(),!),(),2),(1,(),(U),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2), 其中第一个数衣示亦勺取值，第二个数衣示來J取值 事件4即”函数r(_r) = d + b xe(-lj)为奇函数包含 的基本屮件冇 5 个；(2,0),(-1,(),(),(),(1,0),(2.0), 故怕牛A发牛的概率为F(A)= = |.f(2)试验的全部结果所构成的区域Q为(G, Z?) I -2 a 2,0b2,则区域G的面积为4x