Chapter 07 结构位移计算

1、第七章静定结构的位移第七章静定结构的位移7-1 7-1 概述概述一、位移概念一、位移概念结构由变形固体材料组成，在外结构由变形固体材料组成，在外因作用下，会发生变形和位移。因作用下，会发生变形和位移。变形变形结构是形状的改变结构是形状的改变位移位移结构各处位置的移动。结构各处位置的移动。平面杆件结构的位移：平面杆件结构的位移： 、线位移：水平位移、线位移：水平位移, ,竖向位移竖向位移、转角位移（角位移）、转角位移（角位移）相对位移概念：相对位移概念： 、绝对位移：某点相对自身初始位置的位移；、绝对位移：某点相对自身初始位置的位移；、相对位移：一点相对另一点的位移。、相对位移：一点相对另一点的

2、位移。 刚架的刚架的C C点和点和D D点分别有水平绝点分别有水平绝对线位移，方向相反，对线位移，方向相反，其相对水平向线位移为：其相对水平向线位移为： CD = C + D刚架的端和端分别有绝刚架的端和端分别有绝对角位移，方向相反，其相对角位移，方向相反，其相对角位移为：对角位移为： AB = A + B 二、计算结构位移的目的二、计算结构位移的目的、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范围，满足结构的功能和使用要求。定的范围，满足结构的功能和使用要求。、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的

3、反方向予先采取措施。方向予先采取措施。 、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。基础。三、位移计算中的基本假定三、位移计算中的基本假定结构在线性弹性范围内工作。即结构的位移与荷载结构在线性弹性范围内工作。即结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的位移也随的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的位移也随之消失。并满足如下基本假定：之消失。并满足如下基本假定：、应力和应变服从虎克定律（、应力和应变服从虎克定律（物理线性物理线性）；）； 、位移是微小位移（、位移是微小位移（几何线性几何线性），即可用结构原），即可用结构原尺寸和叠加法计算其

4、位移；尺寸和叠加法计算其位移；、所有约束为理想约束，即、所有约束为理想约束，即约束力不作功约束力不作功。7-2 7-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理 变形体虚功原理：变形体虚功原理：变形体系处于平衡时，对于任何变形体系处于平衡时，对于任何虚位移，外力虚功变形虚功（各微段上的内力在虚位移，外力虚功变形虚功（各微段上的内力在其虚变形上所作的虚功总和）。其虚变形上所作的虚功总和）。 说明：说明：a)a) 平面杆件结构在荷载作用下平衡；平面杆件结构在荷载作用下平衡；b)b) 其他的原因产生的虚位移状态。其他的原因产生的虚位移状态。取一微段，作用在其上的外力、内力在取一微段，作用在其上的外力、内

5、力在(b)(b)相应的虚相应的虚位移上作虚功。所有微段的虚功之和，为整个结构位移上作虚功。所有微段的虚功之和，为整个结构的虚功。的虚功。两种途经计算虚功：两种途经计算虚功：1 1）按外力虚功和内力虚功计算）按外力虚功和内力虚功计算dW总总dW外外 dW内内dW总总dW外外 dW内内 或者或者 W总总W外外 W内内相邻微段的相邻截面上的内力互为作用力和反作用相邻微段的相邻截面上的内力互为作用力和反作用力，虚位移是协调连续的，内力虚功相互抵消，力，虚位移是协调连续的，内力虚功相互抵消，W内内0 0有有W总总W外外2 2）按刚体虚功和变形虚功计算）按刚体虚功和变形虚功计算dW总总d dW刚刚 d d

6、W变变d dW刚刚0 0dW总总d dW刚刚 dW总总dW变变有有W总总W变变所以有所以有 W外外W变变d dW变变Ndu + Md + Q dsW变变Ndu + Md + Q ds或者写为或者写为WNdu +Md + Q ds7-3 7-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法平面杆件结构受到荷载、温度变化及支座移动等因平面杆件结构受到荷载、温度变化及支座移动等因素影响，发生变形（素影响，发生变形（a a），求任一点），求任一点K K沿任一指定方沿任一指定方向向k-kk-k上的位移。上的位移。（a a）是）是实际状态实际状态，由荷载、温度变化及支座移动等，由荷载、温度变

7、化及支座移动等因素引起；因素引起；在结构的在结构的K K点沿点沿k-kk-k方向施加一个单位力方向施加一个单位力PK =1，产生，产生一个力状态（一个力状态（b，虚拟状态虚拟状态）。）。考察虚拟状态的外力、内力在实际状态的位移和变形考察虚拟状态的外力、内力在实际状态的位移和变形上所作的虚功。上所作的虚功。 外力虚功为外力虚功为1 12 23 31KKKWPRcR cRcRc iWNduMdQ dsKRcNduMdQ ds 变形虚功为变形虚功为由变形体虚功原理，有由变形体虚功原理，有W=Wi，得单位位移法公式，得单位位移法公式a)求求A点水平位移；点水平位移；b)求求A点角位移；点角位移；c)求

8、求A，B两点相两点相对线位移；对线位移；d) 求求A，B两点相对角位移。两点相对角位移。广义位移：广义位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位线位移、角位移、相对线位移、相对角位移等；移等；广义力：广义力：集中力、力偶、一对集中力、一对力偶等。集中力、力偶、一对集中力、一对力偶等。7-4 7-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下，没有支座位移，在实际位静定结构在荷载作用下，没有支座位移，在实际位移状态中，移状态中，,PPPPPPM dsN dskQ dsddudsEIEAGA计算的位移为计算的位移为PPPKPMM dsNN dskQQ dsEI

9、EAGA对于梁和刚架，位移主要由弯距引起，对于梁和刚架，位移主要由弯距引起， PKPMM dsEI对于桁架，只有轴力，对于桁架，只有轴力， PPKPNN dsNN lEAEA对于组合结构，对于组合结构， PPKPMM dsNN dsEIEA二、静定梁、刚架的位移计算二、静定梁、刚架的位移计算、积分法：、积分法：例例6-4-1 6-4-1 求图示刚架截面的水平位移求图示刚架截面的水平位移DCHDCH和、和、两截面的相对转角。各杆两截面的相对转角。各杆EI=EI=常数。常数。解：建立拟求的解：建立拟求的两个指定位移相两个指定位移相应的虚力系。分应的虚力系。分别对各杆件写出别对各杆件写出弯矩函数弯矩

10、函数M MC C、，代入积分公，代入积分公式计算位移。式计算位移。）求）求DCHDCHABAB杆杆(0 x(0 x1 1l)l)M MP P=q=ql lx/2-qxx/2-qx1 12 2/2/2，M MC C=-x=-x1 1 /2/2 ACAC杆杆(0 x(0 x1 1 l/2) l/2) M MP P=0=0， M MC C=x=x2 2D DCHCH = (1/EI)l(-x = (1/EI)l(-x1 1/2) /2) (qlx(qlx1 1/2-qx/2-qx1 12 2/2)dx/2)dx1 1= = -ql-ql4 4/48EI/48EI() ）求）求q qABAB杆杆(0

11、x(0 x1 1l) l) M MP P=M=MC C=0=0ACAC杆杆(0 x(0 x1 1 l/2) l/2) M MP P=qlx=qlx1 1/2-qx/2-qx1 12 2/2 /2 M MC C= -1 = -1 q q=(1/EI)=(1/EI)l l(-1)(-1)(qlx(qlx1 1/2-qx/2-qx1 12 2/2)dx/2)dx1 1= - ql= - ql3 3/12EI(QP/12EI(QP) )说明：说明： 注意利用注意利用D = (MD = (MC C M MP P /EI) ds /EI) ds 时，时，两种状态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯两种状态

12、中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。矩函数也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。 7-5 7-5 图图 乘乘 法法PKPMM dsEI而而 图为直线。有图为直线。有MtanMxtantanPPMM dsxM dxxdEIEIEIxd 为微分面积对为微分面积对y y轴静距，为轴静距，为MP图对图对y轴轴 xdcxdxtancPcyMM dsxEIEIEI所以位移计算公式为所以位移计算公式为cPKPyMM dsEIEI图乘公式的应用条件：图乘公式的应用条件： ）结构杆件分别为等截面直杆，即）结构杆件分别为等截面直杆，即EI=EI=常数。常数。） yCyC必须

13、取自直线段弯矩图。必须取自直线段弯矩图。abdcyaybMPaMPbMP图图图图两个梯形图乘时，梯两个梯形图乘时，梯形的形心位置不好确形的形心位置不好确定，把它分解成两个定，把它分解成两个三角形。三角形。122PabMM dsalblyyEIEI2112,3333abycd ycd例：试求图示刚架例：试求图示刚架A点的竖向位移点的竖向位移Ay，并勾绘刚，并勾绘刚架的变形曲线。架的变形曲线。CBADLLL/2P2EIEIEIPPL/2PL/2PL/2PLPL/4MP图图1_M图图L31132222416CAyyLLPLLPLPLLEIEIEIEI勾绘变形曲线时，根据实际状态的弯矩图勾绘变形曲线时

14、，根据实际状态的弯矩图MP，可判定，可判定杆件弯曲后的凹凸方向。例如杆件弯曲后的凹凸方向。例如DK段向右凸，段向右凸，KC段向段向左凸，弯矩为零处有一反弯点；左凸，弯矩为零处有一反弯点；CB、AB分别向上和分别向上和向右凸。向右凸。再根据支座处的位移边界条件和结点处的位移连续条再根据支座处的位移边界条件和结点处的位移连续条件，可确定变形曲线的位置。件，可确定变形曲线的位置。变形曲线变形曲线例：试求图示外伸梁例：试求图示外伸梁C点的竖向位移点的竖向位移Cy。梁。梁的的EI=常数。常数。ABCLL/2q23128ql28ql28ql说明：说明：）熟练运用弯矩叠加法分解图形后再图乘是应用）熟练运用弯

15、矩叠加法分解图形后再图乘是应用图乘法必须掌握的基本功。图乘法必须掌握的基本功。）弯矩图的叠加或分解是竖标的叠加，而不是图弯矩图的叠加或分解是竖标的叠加，而不是图形的简单叠加。形的简单叠加。）注意标准抛物线图形的定义。注意标准抛物线图形的定义。例例6-5-3 6-5-3 求图示刚架截面的竖向位移求图示刚架截面的竖向位移 D DDVDV 。各。各杆杆EI=EI=常数。常数。7-6 7-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算静定结构的温度变化时，会产生变形和位移，虽然不静定结构的温度变化时，会产生变形和位移，虽然不产生内力。产生内力。 KttttNduMdQ ds假设温度沿截面

16、高度成直线变化，温度变化时，截假设温度沿截面高度成直线变化，温度变化时，截面仍保持为平面，微段伸长为面仍保持为平面，微段伸长为11212112()thdut dst dst dstdshhhttthh微段两端截面的相等转角为微段两端截面的相等转角为2121tt dst dstdsdhhttt KtMdst Ndsth刚架和梁的温度变形计算时，轴向变形不能忽略。刚架和梁的温度变形计算时，轴向变形不能忽略。7-6 7-6 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算静定结构的支座发生位移时，不产生变形和内力，静定结构的支座发生位移时，不产生变形和内力，只产生刚体位移只产生刚体位移KcR

17、c 为虚拟状态的支座反力。为虚拟状态的支座反力。R7-6 7-6 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理一、一、功的互等定理功的互等定理第一种状态的力在第二种状态的位移上所作的第一种状态的力在第二种状态的位移上所作的外力虚功，等于第二种状态的力在第一种状态的外力虚功，等于第二种状态的力在第一种状态的位移上所作的外力虚功。位移上所作的外力虚功。P1P2证明：证明：根据变形体的虚功原理，状态根据变形体的虚功原理，状态的力系在状态的力系在状态的的位移上所作的虚功位移上所作的虚功= =状态状态的内力在状态的内力在状态的变形上的变形上所作的虚功，所作的虚功，121212112M M dsN N dsQ

18、Q dsPkEIEAGA212121221M M dsN N dsQ QdsPkEIEAGA根据变形体的虚功原理，状态根据变形体的虚功原理，状态的力系在状态的力系在状态的的位移上所作的虚功位移上所作的虚功= =状态状态的内力在状态的内力在状态的变形上的变形上所作的虚功，所作的虚功，二、二、位移互等定理位移互等定理由由P1=1 1引起的沿引起的沿P2作用点及方向上的位移，等于作用点及方向上的位移，等于由由P2=1引起的沿引起的沿P1作用点及方向上的位移。即：作用点及方向上的位移。即：12212112 由功的互等定理，由功的互等定理， 三、三、反力互等定理反力互等定理由于支座由于支座1 1发生单位位移发生单位位移1=1=1引起的沿支座引起的沿支座2 2方向的支座反力，等于由于支座方向的支座反力，等于由于支座2 2发生单位位移发生单位位移2=1=1引起的沿支座方向的支座反力。即：引起的沿支座方向的支座反力。即：2112