第四节-隐函数

1、第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 第二章 31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 求由方程03275xx

2、yy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例59 求由方程0e23xyxxy)(xyy 的导数.解解: 方程两边对 x 求导得)e (ddxyx)(dd3xx)(dd2xyx0)(ddexyxxy23x0所确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(edd23xyxxxy0)dd2(12xyyxy.2e3edd22xyxyxyxyxyxy所以)dd(ex

3、yxyxy即23x0dd22xyxyy例例60. 求椭圆求椭圆15222yx在点在点)210,1(M处的切线与法线方程处的切线与法线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导，得xyy520y11021xyyx25210故切线方程为1021y210) 1( x机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxy25于是11021xy法线方程为1021y510) 1( x例例61. 已知方程已知方程.dd, )(ln22xyxfyyxy求确定了函数解法一解法一: 方程两边对 x 求导，得xydd1xyy dd12ddxy22ddxyyxydd于是,1)dd1 (dddd22yxyxyxy得代入xydd机动 目

4、录 上页 下页 返回 结束 1ddyyxy于是22ddxy.)1 (dd322yyxy（1）式）式两边对 x 求导，得（1）例例61. 已知方程已知方程.dd, )(ln22xyxfyyxy求确定了函数解法二解法二: 方程两边对 x 求导，得xydd1,dd1xyyxyxxydddddd222) 1( yxyddy机动 目录 上页 下页 返回 结束 1ddyyxy于是) 1( y) 1(ddyx2) 1( yxyddy) 1( yxydd2) 1(ddyxy得代入,ddxy.)1 () 1(1dd3222yyyyyxy例例62. 求)0(sinxxyx的导数 . 解法一解法一 两边取对数 ,

5、化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin. )sinlncos(sinxxxxxyx即机动 目录 上页 下页 返回 结束 )sinlncos(xxxxyy例例62. 求)0(sinxxyx的导数 . 解法二解法二 先将函数作指数对数运算)ln(sinexxy yxx lnsinexxlnsine. )sinlncos(sinxxxxxyx即机动 目录 上页 下页 返回 结束 )lnsin(xxxx lnsinexxlnsine)sinln(cosxxxx 1) 对幂指函数vuy 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvu

6、yvvuuyvlnuuvv1说明说明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2） 对于一般的幂指数函数)0)()()(xfxfyxg的导数, 也可先将函数作指数对数运算,然后再求导数.)(ln)(exgxfy y)(ln)(exfxg)(ln)(exfxg.)()()()(ln)()()(xfxfxgxfxgxfyxg即机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(ln)(xfxg)(ln)(exfxg)(ln)(exfxg)()()()(ln)(xfxfxgxfxg3) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbay

7、bax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例63 .)4)(3()2)(1(的导数求xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且,0 )( )(22

8、tt则当0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束 若上述参数方程中)(, )(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3)(xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(dd22ttxy,)()(t

9、txydd?例例64. 求由参数方程)sin1 (ttx所确定函数y=f(x)的导数.)cos(ddttty,sincosttt )sin1 (ddtttx,cossin1ttttxtyxydddddd.cossin1sincostttttt已知解解:ttycos注意注意 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例65. 求由参数方程txsin所确定的曲线在t=p/6对应点处的切线方程.)2cos(ddtty,2sin2t)(sinddttx,costtxtyxyd/dd/ddd故.sin4cos2sin2ttt解解:ty2cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 2dd,21,21,6x

10、yyxt时当),21(221xy故所求的切线方程为.0324 yx即, 求01sin232ytettxy.dd0txy解解txddyetydd0ddtxy例例66. 设方程组两边同时对 t 求导, 得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1 (costyyttete2e0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例67 求由参数方程,1221tytx,1ddty,ddttxxyxxydddddd22于是21t31t所确定的函数 y=f(x)的二阶导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 因为txtyxyd/dd/ddd,1t

11、故tx1ddtt1ddxtddtt1ddtxddt练习练习1. 设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数, )(xyy 求.ddxy解解: 方程组两边对 t 求导 , 得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 ?练习练习2. 设)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边

12、求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 求螺线r在对应于的点处的切线方程.解解: 化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd2pp22, ),0(2pM 切线方程为22ppxy2p机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分别用对数微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设)(xyy 由方程eyxey确定 , , )0(y解解: 方程两边对 x