有限元法与程序-杆系结构单元1

1、第第5 5章章 杆系结构的有限元法杆系结构的有限元法5.1 概述概述杆系结构杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散成杆元和梁元。散成杆元和梁元。 梁梁拱拱框架框架桁架桁架坐标系坐标系 有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并且在局部坐标系中每一个单元的规定都是相同的，且在局部坐标系中每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同

2、。这样，同类型单元刚度矩阵相同。XYPxyxy 杆系结构单元主要有桁架单元和梁单元两种类杆系结构单元主要有桁架单元和梁单元两种类型。它们都只有型。它们都只有2个节点个节点i、j。 约定：约定：单元坐标系的原点置于节点单元坐标系的原点置于节点i；节点；节点i到到j的的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。轴的正向。 y轴、轴、z轴都与轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。轴垂直，并符合右手螺旋法则。 对于梁单元，对于梁单元， y轴和轴和z轴分别为横截面上的两个惯轴分别为横截面上的两个惯性主轴。性主轴。xyzij5.2 杆单元杆单元 下图示出了一维杆单元，横截面

3、积为下图示出了一维杆单元，横截面积为A，长度为，长度为l，弹性模量为，弹性模量为E，轴向分布载荷为，轴向分布载荷为px。单元有。单元有2个结个结点点i，j，单元坐标为一维坐标轴，单元坐标为一维坐标轴x。ijxlLINKpxujui1、一维杆单元、一维杆单元单元结点力向量：单元结点力向量：jieFFF（1）位移模式和形函数）位移模式和形函数 位移模式位移模式单元结点位移向量单元结点位移向量 jieuu 因为只有因为只有2个结点，每个结点位移只有个结点，每个结点位移只有1个自由度，个自由度，因此单元的位移模式可设为：因此单元的位移模式可设为：xaau21式中式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条

4、件为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时，时， u=ui x=xj 时，时， u=uj确定。再将由此确定的确定。再将由此确定的a1、a2 其代入上式，得其代入上式，得 xluuxluuuuijiiji)( 形函数形函数 将位移模式改写为下列形式将位移模式改写为下列形式 eNu)()(1xxxxlNNNijji（2）应变矩阵）应变矩阵一维杆单元仅有轴向应变一维杆单元仅有轴向应变 dxdu上式也可写为上式也可写为 eB式中式中B为应变矩阵为应变矩阵 111lBBBjiel111代入位移模式代入位移模式得得 由应力应变关系由应力应变关系 （3）应力矩阵）应力矩阵E将将 代入上式，得代入上式，得

5、eBeeSBE式中式中S为应力矩阵为应力矩阵 11lES(4) 单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵由下式推出单元刚度矩阵由下式推出 dvBDBkvTe对于等截面桁架杆单元（截面积为对于等截面桁架杆单元（截面积为A ） ，v=Adx，故有：故有： dxBDBAkvTe1111lEAke由由 111lBBBji得得 (5) 等效节点力等效节点力 单元上作用分布力单元上作用分布力px，则等效节点力计算公式仍，则等效节点力计算公式仍为以下形式为以下形式 dxpNFxTe当分布力集度当分布力集度px为常数时，有为常数时，有 112)()(1lpdxpxxxxlFxxijxxepjix)()(1xxxx

6、lNNNijji2、平面杆单元（、平面杆单元（2D LINK1） 1 2 3 4ijxyl（1）单元坐标单元位移向量）单元坐标单元位移向量 4321e 1 2 3 4ijxy看成局部坐标下的拉压杆01011lBBBji应力矩阵应力矩阵0101lES应变矩阵应变矩阵0000010100000101lEAke单元刚度矩阵单元刚度矩阵 0)(0)(1xxxxlNij形函数形函数010120)(0)(1plpdxxxxxlFijxxepji等效节点力等效节点力 ijxylz3、空间杆单元（、空间杆单元（3D LINK8）（1）单元坐标及单元位移向量）单元坐标及单元位移向量 1 2 4 5 3 6 （2

7、）形函数）形函数00)(00)(1xxxxlNij （3）应变矩阵）应变矩阵0010011lB （4）应力矩阵）应力矩阵 001001lES (5) 等效节点力等效节点力 TeplF0010012 (6) 单元坐标及单元刚度矩阵单元坐标及单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元，对于等截面铰接杆单元，000000000000001001000000000000001001lEAke1111lEAke5.3 梁单元梁单元1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元ijxyijxy 1 2 3 4lF1F2F3F4l（1）局部坐标下单元位移和单元力）局部坐标下单元位移和单元力 单元

8、位移单元位移 TjjiiTevv4321其中，其中， vy方向位移，即挠度。方向位移，即挠度。 角位移。角位移。 单元力单元力 TjjiiTeMQMQFFFFF4321其中，其中， Q剪力剪力 M弯矩弯矩3322dxvdEIQdxvdEIMdxdv（2）位移函数和形函数）位移函数和形函数342321)(xaxaxaaxv 位移模式位移模式 设单元坐标位移模式为设单元坐标位移模式为ijxy 1 2 3 4l梁单元内一点有梁单元内一点有2个位移：个位移： v、 因为，因为， =dv/dx；仅一个位仅一个位移是独立的，取移是独立的，取 v 。eNxv)(式中式中4321NNNNN 232433232

9、322233231/ )(/ )23(/ )2(/ )23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN 形函数形函数由单元两端点的节点位移条件，解出式中的由单元两端点的节点位移条件，解出式中的a1、a2、a3、a4。再代入该式，可将位移模式写为以下形式：。再代入该式，可将位移模式写为以下形式： 1xy22dxvdyb1y 22tandxvdyyyb 1 （3）应变矩阵）应变矩阵 单元弯曲应变单元弯曲应变 b与节点位移与节点位移e的关系。的关系。 梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为： 将式将式 代入代入 ，得单元弯曲应，得单元弯曲应变和单元位移

10、之间关系变和单元位移之间关系 )26()612()46()612(3lxllxxllxlyB4321BBBBB ebB（4）应力矩阵）应力矩阵eNxv)( eebbSBEES=DB22dxvdyb (5) 等效节点力等效节点力 对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。 这里仅考虑把单元上的横向分布载荷转化为等价节这里仅考虑把单元上的横向分布载荷转化为等价节点力问题。点力问题。xyijlpy(x) dxxpNFyTlepy)(0 将形函数矩阵将形函数矩阵N代入上

11、式，积分可得分布荷载代入上式，积分可得分布荷载的等效结点力。表的等效结点力。表5-1给出了几种特殊情况的等价节给出了几种特殊情况的等价节点力。点力。荷载分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2- ql2/123ql/20ql2/307ql/20- ql2/20ql/45ql2/96ql/4- 5ql2/96ijqqijqij表表 5-1 几种横向分布荷载等价节点力几种横向分布荷载等价节点力(6) 单元坐标下的单元刚度矩阵单元坐标下的单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为梁单元刚度矩阵公式为将将B的表达式代入上式进行积分，并注意到的表达式代入上式进行积分，并注意到Iz梁截面对梁截面对Z轴（主

12、轴）的惯性矩轴（主轴）的惯性矩得单元坐标单元刚度矩阵得单元坐标单元刚度矩阵ke:AzdAyI2 dAdxBBEdvBDBkAlTvTe0 单元刚度矩阵式适合于单元刚度矩阵式适合于连续梁连续梁分析。分析。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIkzzzzzzzzzzzzzzzze46612266122661246612223223223223整体坐标与局部坐标方向一致。2、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元 （平面刚架，（平面刚架，BEAM3) ijxyijxy 2 3 5 6l 1 4F2F3F5F

13、6lF1F4（1）单元坐标单元位移和单元力）单元坐标单元位移和单元力 单元位移单元位移 TjjjiiiTevuvu654321其中，其中， ux方向（轴向）位移。方向（轴向）位移。 vy方向位移，即挠度。方向位移，即挠度。 角位移。角位移。 单元力单元力 TjjjiiiTeMQNMQNFFFFFFF654321其中，其中， N轴向力轴向力 Q剪力剪力 M弯矩弯矩 对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按一维一维拉压杆单元拉压杆单元和和弯剪平面梁单元弯剪平面梁单元的结果

14、简单集合而成。的结果简单集合而成。（2）位移函数和形函数）位移函数和形函数 位移模式位移模式ijxy 2 3 5 6l 1 4xaau21362543xaxaxaav 形函数形函数式中形函数式中形函数N为：为： eNvuf 653241000000NNNNNNN23263325423223332321/ )(/ )23(/ )(/ )2(/ )23(/ )(lxlxNlxlxNlxxNlxlxxlNlxlxlNlxxNij其中其中, （3）应变矩阵）应变矩阵 单元弯曲应变单元弯曲应变 与节点位移与节点位移e的关系。的关系。 轴剪弯梁单元轴剪弯梁单元上任一点的应变，应为该点挠度（上任一点的应变，

15、应为该点挠度（v）引起的应变和轴向位移（引起的应变和轴向位移（u）引起的应变之和。）引起的应变之和。单元应变矩阵为：单元应变矩阵为：eB654321BBBBBBB 12334256321 (126 )1(64)(126 )(62 )yBBxlllyBxBllyyBxlBxlll ， (5) 等价节点力等价节点力 xyijlqy(x) （4）应力矩阵）应力矩阵 eeSBEEqx将式弯剪梁、一维杆的等效节点力计算公式膨胀成将式弯剪梁、一维杆的等效节点力计算公式膨胀成61矩阵后相加，有矩阵后相加，有 dxxqNFyTleqy)(0dxqNNdxxqNNNNMQNMQNxlljjjiiiy031065

16、320000)(00112)()(1lqdxqxxxxlFxxijxxeqjix一维杆弯剪梁最后得等价节点力矩阵最后得等价节点力矩阵dxqNqNqNqNqNqNMQNMQNlyyxyyxjjjiii0654321荷载分布NiQiMiNjQjMj几种横向分布荷载等价节点力几种横向分布荷载等价节点力 表表 22lqy203lqy4lqy122lqy302lqy9652lqy2lqx2lqy207lqy4lqy2lqx122lqy202lqy9652lqyijqyqxqyijqxqyijqx2lqx2lqx2lqx2lqx (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为梁单元刚度矩阵公式为lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlE