必修4-112弧度制-修改版

1、12022年年5月月18日星期三日星期三2 在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，来度量角，1 1的角是如何定义的？的角是如何定义的？ 角度制周角的周角的 叫做叫做1 1度角度角, ,记为记为1 13601复习引入复习引入 思考：思考： 在角度制下，当把两个带着度、分、秒各在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角单位，给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加使在

2、该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？减法一样去做呢？ 为使用方便，我们经常会用到一种为使用方便，我们经常会用到一种十进制十进制的度量角的度量角的单位制的单位制-弧度制弧度制.3目的要求目的要求 1.理解弧度制的意义理解弧度制的意义. 2.熟练进行角度制与弧度制的换算熟练进行角度制与弧度制的换算. 3.能应用弧长公式与扇形面积公式解决有关能应用弧长公式与扇形面积公式解决有关问题问题 重点重点 : 用弧度制表示角用弧度制表示角 难点难点 : 弧度制的概念弧度制的概念重点重点 . 难点难点41.弧度制的定义弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做长度等于半径长的圆弧所

3、对的圆心角叫做 1 弧度的角弧度的角，弧度弧度记作记作rad；这种用弧度度量角的单位制就叫这种用弧度度量角的单位制就叫弧度制弧度制动画展示实例展示orr1 radAB思考：大小不同的圆中，思考：大小不同的圆中，长为长为1的弧所对的圆心角相的弧所对的圆心角相等吗？等吗？1弧度的角的大小和弧度的角的大小和圆的半径有关吗？圆的半径有关吗？5思考：怎么进行角度与弧度的换算？思考：怎么进行角度与弧度的换算？orl radAB2.角的弧度数的计算角的弧度数的计算: 一般地一般地,可以得到可以得到:正角的弧度数是一正角的弧度数是一个正数个正数, 负角的弧度数是一个负数负角的弧度数是一个负数, 零零角的弧度数

4、是角的弧度数是0.rl（l为弧长，为弧长，r为半径）为半径）填表：教材填表：教材P6 探究：探究：练习：当练习：当l=6cm,r=2cm时该弧所对的圆心角时该弧所对的圆心角为多少弧度？为多少弧度？6 若弧是一个整圆，它的圆心角是周角若弧是一个整圆，它的圆心角是周角, ,其弧其弧度数是度数是2,2,而在角度制里它是而在角度制里它是360360. .因此 360=2 rad 180= rad3.3.角度制与弧度制的换算角度制与弧度制的换算 1 rad 1 rad 1800.017 45 rad18057.3057 18 角度转化为弧度：角度转化为弧度：180 radrad18010)180(1 r

5、ad713567 302 解解：135367 30radrad18028 例例1 按照下列要求按照下列要求,把把6730化成弧度精确值化成弧度精确值题型示范题型示范858180()5288解：解：1rad= 180()例例2. 把把 化成度化成度858注意：注意：一般地，一般地，“弧度弧度”与与“rad“通常略去不写，而只写通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数这个角所对应的弧度数.如：如：1. =2表示表示2rad的角；的角；的角的正弦值的角的正弦值表示表示rad33sin. 29练习练习2：将下列各角度化成弧度：将下列各角度化成弧度：22531202601)(,)(,)(解：318060

6、601)(321801201202)(451802252253)(10练习练习3：将下列各弧度化成角度：将下列各弧度化成角度：解：673432121)(,)(,)(1518012121)()()(21018067673)()(11练习练习4：用弧度制表示：用弧度制表示:（1）第二象限的角的集合；）第二象限的角的集合；（2）终边在）终边在y轴正半轴上的角的集合轴正半轴上的角的集合 解：（1）Zkkk,36018036090Zkkk),(222,)(Zkk360902,Zkk22注意：角度制与弧度制在表示角的时候不能混用如：注意：角度制与弧度制在表示角的时候不能混用如：/

7、2+k3600或或/2+k3600都是错误的！都是错误的！12角度弧度060120135270426523064539023341501803236004.4. 特殊角的弧度数：特殊角的弧度数：1 rad 1 rad 18018013正角正角零角零角负角负角正实正实数数0 0负实负实数数任意角的集合任意角的集合实数集实数集R R一一对应一一对应角的概念推广以后角的概念推广以后, ,在弧度制下在弧度制下, ,角的集合与角的集合与实 数 集实 数 集 R 之 间 建 立 了之 间 建 立 了 一 一 对 应一 一 对 应 关 系关 系 思考：使用弧度制之后角度和实数建立了怎样的关系？思考：使用弧度

8、制之后角度和实数建立了怎样的关系？有什么好处？有什么好处？这种对应关系使得数学中与角相关的运算变得简洁这种对应关系使得数学中与角相关的运算变得简洁, 相相关公式也有了更简单的形式关公式也有了更简单的形式14其中其中R是半径，是半径，l是弧长，是弧长，(02)为圆心角为圆心角,S是扇形面积是扇形面积.题型示范题型示范例例3 3 利用弧度制证明下列关于扇形公式利用弧度制证明下列关于扇形公式: : 1 lR 2122SR 132SlR15例例3 3 利用弧度制证明下列关于扇形公式利用弧度制证明下列关于扇形公式( (2):0为常数为常数），），当扇形中心当扇形中心角为多大时，扇形面积最大，并求出最大面

9、积角为多大时，扇形面积最大，并求出最大面积。x=c/4时，时，Smax=c2/16.21222324度度030456090120135150180弧度弧度0/6/4/3/22/33/45/6度度210225240270300315330360弧度弧度7/65/44/33/25/37/411/62对应关系对应关系25弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度； 的大小，而是圆的所对的圆心角（或该弧）113601弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小；不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值角度制与弧度制的比较度弧比较度弧比

10、较26（1）弧度；180“弧化角”时，将乘以 ；180180(2）“角化弧”时, 将n乘以；（其中l为圆心角所对的弧长,为圆心角的弧度数,r为圆半径.)lr（3）弧长公式：21122Slrr扇形面积公式：课堂小结课堂小结27定义定义 弧长与半径相等的弧所对应的圆心角大小为弧度制度弧长与半径相等的弧所对应的圆心角大小为弧度制度量角的单位，称为量角的单位，称为 1 弧度弧度，弧度弧度记作记作rad； 这种用弧度度量角的单位制就叫弧度制这种用弧度度量角的单位制就叫弧度制展示结论展示结论（1）弧度的大小是弧长与半径的一个比值）弧度的大小是弧长与半径的一个比值（2）弧度的大小与所在圆的半径无关）弧度的大

11、小与所在圆的半径无关例1：当l=6cm,r=2cm时该弧所对的圆心角 为多少弧度？解：由弧度制的定义可知 radrl326注：这里角注：这里角 的加绝对值符号，是因为没有考虑角的符号的加绝对值符号，是因为没有考虑角的符号 例1：当l=6cm,r=2cm时该弧所对的圆心角 为多少弧度？解：由弧度制的定义可知 281. 在半径为在半径为R的圆中，的圆中，240 的中心角所对的弧的中心角所对的弧长为长为 ，面积为，面积为2R2的扇形的中的扇形的中心角等于心角等于 弧度。弧度。解：（解：（1）240= ，根据，根据l=R，得，得4343lR（2）根据）根据S= lR= R2，且，且S=2R2.2121

12、所以所以 =4.练一练练一练292.集合集合则有则有( ) A. B. C. D.,2442kkMx xkZNx xkZMNMNMNMN C方法一：方法一：从从“数数”的角度列举；的角度列举；方法二：方法二：从从“数数”的角度化为相同结构的角度化为相同结构( (两法：带或两法：带或不带不带 ) )；方法三：方法三：从从“形形”的角度列举；的角度列举；方法四：方法四：用几个具体的角进行用几个具体的角进行“筛选筛选”. .302.终边落在终边落在x轴的正半轴轴的正半轴的角的集合的角的集合 ； x轴的负半轴轴的负半轴的角的集合的角的集合 ； 终边落在终边落在y轴的正半轴轴的正半轴的角的集合的角的集合

13、 ； y轴的负半轴轴的负半轴的角的集合的角的集合 ； 终边落在终边落在x轴轴上的角的集合上的角的集合 ； y轴轴上的角的集合上的角的集合 。 2,kkZ 2,kkZ 2,2kkZ 2,2kkZ ,kkZ ,2kkZ 313.第一象限角为：第一象限角为： 第二象限角为：第二象限角为： 第三象限角为：第三象限角为： 第四象限角为：第四象限角为： (2,2),2kkkZ(2,2),2kkkZ (2,2),2kkkZ(2,2),2kkkZ325例.,cm4,cm82度度数数求求该该扇扇形形的的圆圆心心角角的的弧弧面面积积为为已已知知扇扇形形的的周周长长为为 LR:解解则由则由弧长为弧长为设扇形半径为设

14、扇形半径为,L,R8LR2 4LR21 4L2R 得得解解的弧度数为的弧度数为故该扇形的圆心角故该扇形的圆心角 RL 24 2 33练习、下列角的终边相同的是（）A4kkk，42与与与与B322kk，3C2kkk，2 D 12kkk ，3B34 1 1、已知扇形周长为、已知扇形周长为6cm6cm，面积为，面积为2cm2cm2 2，则扇形，则扇形圆心角的弧度数为圆心角的弧度数为 A A、1 B1 B、4 C4 C、1 1或或4 D4 D、2 2或或4 4C 2 2、当圆心角、当圆心角=-216=-216o o，弧长，弧长l l =7cm=7cm时，其半径时，其半径r=_r=_35cm6 3 3、

15、在半径为、在半径为 的圆中，圆心角为周角的的圆中，圆心角为周角的 的角的角所对圆弧的长为所对圆弧的长为_30 2340 4 4、若、若2 rad2 rad的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是4cm4cm，则这个，则这个圆心角所在扇形的面积为圆心角所在扇形的面积为_4cm23537作业 1.已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解:设半径为R,则扇形弧长为40-2R;则S扇形=(1/2)*(40-2R)*R=-R+20R=-(R-10)+100.则当R=10cm时，扇形的面积最大，最大为100cm;设圆心角为n度.由S扇形=nR/36

16、0，得：100=n*10/360, n=(360/)114.6;答:当半径为10cm,圆心角为（360/)时，才能使扇形面积最大，最大是100cm. 3839返回目录返回目录 已知角已知角是第四象限角，求是第四象限角，求 与与 所在的象限所在的象限.角角在第四象限，在第四象限，2k+ 2k+2（kZ）,即即k+ k+(kZ).当当k取偶数时，取偶数时， 是第二象限角；当是第二象限角；当k取奇数时，取奇数时， 是第是第 四四象限角象限角.用同样的方法得用同样的方法得 + + (kZ).当当k=3n（nZ）时，）时， 是第二象限角是第二象限角;当当k=3n+1(nZ)时，时， 是第三象限角是第三象限角;当当k=3n+2(nZ)时，时， 是第四象限角是第四象限角.3a2a23 43 2a2a2a32 k2 3a32 k32 3a3a3a40 已知扇形的周长是8，（1）若圆心角=2，求弧长l（注 l/r）（2）若弧长为6，求扇形的面积S 解：扇形的周长是8，（1）若圆心角=2，弧长l，所以l=2r，l+2r=8，所以l=4，；（2）若弧长为6，半径r=1，所以扇形的面积S=1/2lr3 41象限角的表示象限角的表示Zkkk,36090360|第一第一象限象限Zkkk,222|第二第二象限象限Zkk