激光介质增益（课堂PPT）

1、12.6 介质的增益系数一、增益系数的定义 当激光工作物质处在粒子反转状态时，一束光强为I0的单色光入射后，由于受激辐射作用，光强会不断被放大。我们引入增益系数G来描述光强经过单位距离后的增长率。 设有光强为I0的光自增益介质端面(z=0)入射，传播到Z处时，光强增至I(z)，在z+dz处时光强为I(z+dz)=I(z)+ dI(z),则增益系数定义为： 2 ) 162(dzzIzdIG3如果增益系数是个恒定的常数，由（2-6-1）式很容易解出光强I(z)随z坐标变化的函数关系为： 0z(262)GzII e画出的光强变化曲线如图2-6-2所示。 4 增益系数的量纲为1/m。其测量方法是：测出

2、入射到激光介质的光强I0及出射光强I,并量出激光介质的长度L，由（2-6-2）式可以出： ) 362(ln10IILG二、增益系数与反转粒子数之间的关系 从四能级系统方程组中的光子数密度方程（2-5-7）式出发（三能级系统的讨论方法完全相同，只须将A32改为A21）并考虑到在讨论受激辐射引起的增益作用时，可不计损耗。现将该方程重写如下： 5W21受激辐射另外表示形式212103212103213321021212133212233,8,8888vvvvWB g v vA cNhvWg v vNhvAhvWNg v vAA chvpBBchvvPvpVdvpcVdvc32320,vAWNg v

3、vp三能级系统四能级系统6因为光强与光子数密度成正比，即 ，故光强对Z坐标的导数可写为： NhI 1(265)dIdI dtdzdt dzdzdtdIdNhdtdzdzdtdIdNhvdtdt320( ,)-(257)cAdNNngNdtp 320( ,)(264)AdNngNdtp 0/132cAP46,2.5-7公式5变形7将代入（2-6-5）式，然后由增益系数的定义可得到：320( ,)(264)AdNngNdtp )562(hdtdNdzdtdtdIdzdI3203201( ,)(266)( ,)dIdNGhvIdzNhvdtnAGgAdNpngNdtp 8 单色模密度p 由（1-2-

4、8）式给出 但光速是用真空光速c表示的，现在的讨论是在激光工作物质中，因此用代替c后，并将p计算公式代入（2-6-6），得： 238(1 28)vpvpVdvc)762(),(802232gvnAG该式表明：激光增益介质对频率为的准单色光的增益系数是随而变化的。 9一般说来，激光介质的光谱线函数g(，0)的线宽从数量级上讲比起线型函数的中心频率0要小好几个量级，因此，为简化增益系数表达式，可以用中心频率0去代替（2-6-7）式中分母的，同时将增益系数写成频率的函数的形式： )862(),(8020232gAnG如果（2-6-8）式中反转粒子数密度n取小信号反转粒子数密度n0则相应的增益系数就是

5、小信号增益系数。因为小信号反转粒子数密度是个与频率无关的常数，由（2-6-8）式可以看出，小信号增益系数与激光介质的线型函数成正比。 ),(802023232gA定义10三、四能级系统小信号反转粒子数密度n0v条件：小信号N=0W32=W23=0，v n2=0，n0=n3，n1=nv四能级速率方程化简结果411444311444303114143322233323244332323232032324430000dnnWn SnWn SdtdnnWnWnWn WnASn SndtASASnASn S 表明n0与泵浦速率W14及激光上能级寿命3有关与频率v无关323332320141ASnnW11

6、分别将均匀加宽和非均匀加宽的线型函数（1-5-16）式与（1-5-12）式代入（2-6-8）式中，可得均匀加宽介质的小信号增益系数为 )962()()2()2()(20220mHHHGvG其中： )1062(4202023200HHmnAGG200222200122,(1 5 16)222HHHHHHHvvgv vgv vvvvvvvv 12非均匀加宽介质增益系数为： )1162(e)(220)vv(2ln40DmiGG 其中 1200322020ln2()()(26 12)4miDAnGGv由（2-6-9）式与（2-6-11）式画出小信号增益系数随变化的曲线，称小信号增益曲线。如图2-6-3

7、所示，其中（a）为均匀加宽小信号增益曲线，属洛仑兹型，（b）为非均匀加宽小信号增益曲线，属高斯型。13中心频率处的小信号增益系数，也就是增益系数最大值，可由经验公式求出。 14 大信号增益系数增益饱和现象：入射光强很微弱时，反转粒子数密度基本上未被消耗，可以看成是一个常数，因此，激光介质对光的增益系数也是个常数。而当光强增大到一定程度，即可以与饱和光强Is相比时，由于反转粒子密度的下降，导致增益系数的下降，我们称这种现象为增益饱和现象。 分别对均匀加宽介质与非均匀加宽介质讨论大信号增益系数。如果n表示的是大信号反转粒子数密度，则G就为大信号增益系数。 )862(),(8020232gAnG15

8、四能级系统大信号反转粒子数密度n411444311444333322233323244332011433320332324433332200,dnnWn SnWn SdtdnnWn WnASn Sdtd nnnv vNnWdndtnv vNnASn Sdtgnnnng 10,d nnndt31432031,n Wnv vN 03230314vsINnnWhvhvI 2200220()()2( ,)()(1)()2HvvHsn InII16一、均匀加宽大信号增益系数 当频率为 、光强为 强光入射时，均匀加宽的激光介质对该强光以及对另一频率为的弱光的增益系数都有饱和作用，我们分别对这两种情况进行分

9、析。1v1vI（一） 对 强光的增益系数1v 当频率为 、光强为 的强光入射时，均匀加宽激光工作物质的反转粒子数下降，因此，对强光的增益系数按（2-6-8）式可写为：1v1vI111123211101321020221302020,( ,),8,(2682-21)HvvHvHHvAGInIgnIv vnIv vvvvv 变量17 这里仍以四能级系统为例，对不同的能级系统，只须改变自发辐射几率A的下标即可。 将信号均匀加宽的粒子数反转密度表达式和均匀加宽线型函数式（1-5-16）和式（2-6-9）代入（2-6-8-1）式中，可以得到：)962()2)(1 ()()2()(),(022012201

10、111nIIInHsvHv11212210()2( ,)(26 10)()(1)()2HHvmvHsG IGII 18 均匀大信号对强光的增益系数式中 ，其大小由（2-6-10）式决定。)(00vGGm现在我们对上式进行讨论： 1. 当 ，有： 01vI不难看出，该式实际上就是均匀加宽小信号增益系数的计算公式 ，这是无增益饱和现象。 11212210()2( ,)(26 10)()(1)()2HvmvHsG IGII212210()2(,0)(2611)()()2HmHG Gvv192. 光强 增大，增益系数下降， 时有:1vI1vsII将 与 时的增益曲线画在下图中 01vI1vsII)12

11、62()2(2)()2(),(220121mHHSGIG20从图中可以看到：1）饱和作用的强弱与入射光频率v1有关，频率越接近增益曲线的中心频率 ，饱和作用就越厉害，偏离中心频率越远，饱和作用就越弱；2）不同频率处，曲线下降的不一样，这说明曲线下降是非均匀的。由于中心频率处的相对下降量大于其它频率处，因此，大信号增益曲线宽比小信号增益曲线要更宽一些。 0v 可以计算出均匀加宽介质在强光入射时，强光的大信号增益曲线线宽为： )1362(11HsvIIv21（二） 对 弱光的增益系数2v 均匀加宽的激光工作物质对各种频率入射光的放大作用全部使用相同的反转粒子数，因此， 强光消耗的反转粒子数势必会影

12、响对 弱光的大信号增益系数。 1v2v 增益系数公式（2-6-8）式中的反转粒子数密度 仍用 代替，线型函数则用 。 n),(11vIvn),(02vvg 这样，均匀加宽介质在强光 入射条件下对弱光 的大信号增益系数便可写成： 1vI2v再将（2-6-9）式、（1-5-16）式和（2-6-12）式代入（2-6-14）式，可得：)1462(),(8,02202321211HvvHgAInIG22其中 为小信号增益系数：),(020vvG对（2-6-15）式弱光大信号的增益系数进行讨论： 1）我们来看这种大信号增益曲线的下降特点，如图： )1562(,)2)(1 ()()2()(),(020220

13、12201211vvGIIIGHHsvHvH)1662()2()()2(),(22022020mHHHGvG变量23从上图可以看出：整个曲线的下降时均匀的，下降后的曲线线宽与原小信号时的线宽相等。 2）增益饱和的大小与入射强光的频率和光强的关系。 先看与光强的关系： 当 时，由（2-6-15）式可以看出：02020(,)(,)HGv vGv v01vI即无饱和作用。 24随着入射光强的增大，增益系数的值下降的越厉害。当 时，有：svII1221002202210()()2( ,)( ,)(3 4 10)()2()2svvvG v IG v vvvv 3）从下图中我们看增益饱和与入射强光的频率的

14、关系。 25 均匀加宽介质中每个发光粒子对谱线不同频率的增益都有贡献。当1强光消耗了激发态粒子后，同时也减少了对2弱光的增益。故在均匀激光器中，一个模式的起振会使其它模式的增益降低，因而阻止其它模式的震荡。因此，均匀加宽激光器中往往可以实现单纵模输出。26二、非均匀加宽大信号增益系数 在频率为 、光强为 的强光入射条件下，非均匀加宽介质的大信号增益系数也分对强光 及弱光 二种。1v1vI1v2v（一）对强光 的增益系数1v 非均匀加宽激光工作物质除非有非均匀家加宽的因素以外，同时，还存在均匀加宽的因素起码有属于均匀加宽的自然线宽。 经过分析，可得强光大信号的增益系数为：将非均匀加宽线型函数表达

15、式（1-5-13）代入（2-6-17）式中，可以得到：)1762()1 (),(8),(21020232011sviviiIIvgAnIG2721021142()(,)(3415)1DInvvvmiivvsGG v IeII式中 由（2-6-12）式决定。)(00vGGim（2-6-18）28 非均匀加宽介质与均匀加宽介质的对强光大信号增益系数相比较，有两点区别：（1）非均匀加宽饱和作用比均匀加宽弱一些；（2）非均匀加宽大信号增益曲线均匀下降，下降后的曲线线宽不变，而均匀加宽大信号增益曲线则是非均匀下降，下降后曲线线宽加大。（二）对弱光 的增益系数2v 非均匀加宽工作物质的大信号反转粒子数密度

16、烧孔效应，与此类似在 强光入射的条件下，非均匀加宽介质的对 弱光增益曲线也将在频率处产生烧孔效应。 1v2v29烧孔宽度与反转粒子数密度的烧孔宽度完全一样，仍有（3-3-18）式决定：11( 331 8 )s孔深度为：) 143(111)()()(110110sviiiIIvGvGvG（2-6-19）（2-6-20）30 如果激光介质为非均匀加宽的固体介质，上述大信号增益曲线烧孔效应只在入射强光频率 处产生，只有一个烧孔。 1v 如果为具有多普勒加宽因素的气体介质，则烧孔效应将在频率 与 两处产生，这两个烧孔对称的分布在中心频率 的两侧。 1v102vv 0v图 非均匀增宽型介质小信号增益 图

17、非均匀增宽型增益饱和曲线图非均匀增宽型激光器中的增益饱和312-7 激光振荡阈值条件 谐振腔内的激光工作物质如果处在粒子数反转状态，频率处在它的谱线线宽范围内的微弱光信号就会因增益作用而放大。另一方面，腔内又存在各种不同好的损耗，是信号不断的衰减。因此，激光器中的各激光模式能否产生振荡，便取决于增益与损耗的大小。 32 如果光在腔内往返一周所获得的增益大于或等于各种损耗总和，激光便可产生，否则激光便不能产生。所以，激光模式要想起振，存在一个阈值条件，本节讨论这个条件，并在此基础上讨论满足阈值条件的起振模式数。 一、阈值条件二、起振模式数33 一、阈值条件 激光模式起振的阈值条件主要有四种：（一

18、）阈值增益系数（二）阈值反转粒子数密度（三）阈值上能级粒子数密度（四）阈值泵浦能量（或功率）34（一）阈值增益系数 无源腔的各种损耗，并用平均单程功率损耗率来描述，按平均单程功率损耗率的定义式：光在无源腔内往返一周后的光强为：011ln2II（2-7-1） ) 272(201eII式中：I0初始光强。35可写出在无损耗的有源腔中光往返一周后的光强为：如果不考虑损耗，由增益系数定义式 )372(dzzIzdIG) 472 (0201lGeII式中： 激光工作物质的长度。l 由于我们讨论的是激光形成的阈值，在阈值附近腔内光强还很弱，相当于小信号情况。 36 对比上面两式，可以得到（2-7-4）式中

19、的增益系数用的是小信号增益系数G0。把（2-7-2）式与（2-7-4）式和在一起，当增益和损耗同时存在时有： ) 272(201eII) 472 (0201lGeII02()10 1 2(275)G lII rr e显然，为使 ，必须有 ，即：01II 01 2exp2() 1rrGl011221ln11(276)2GaTaTll形成激光的阈值条件形成激光的阈值条件 37阈值增益系数的定义：我们定义形成激光的阈值条件的极值为阈值增益系数，即： 不同的纵模可以有相同单程损耗率，因而有相同的阈值增益系数； 不同的横模具有不同的横向光场分布，因而有不同的单程衍射损耗，进而有不同的阈值增益系数； 高阶

20、横模的衍射损耗大，阈值增益系数便比低阶模大。 11221ln11(277a)2tGaTaTll1212227722taaTTaTGbll12212,aaa TTT38（二）阈值反转粒子数密度 由于在阈值附近腔内光强还很弱，相当于小信号情况，则根据小信号反转粒子数密度表达式： 可知与增益系数存在阈值相对应，反转粒子数密度也存在阈值 ： )872(),(8020232gAnG2023208(279)( ,)ttv GnAg v v 将阙值增益系数代入上式中，并用激光上能级的平均寿命代替自发辐射几率，即，可将2-7-9式改写为：39203203281(2710)( ,)22tvaTaTng v vl

21、l阈值反转粒子数密度阈值反转粒子数密度0v 如果考虑起振的激光模式正好处在激光介质增益曲线的中心频率 处，上式中的 可用 代替，将均匀加宽的表达式1-5-16与非均匀加宽的式1-5-13分别代入上式中，可得：),(g0vv00g (,)mgvv22032320041(27 11)2,2HtHvvaTaTnlv vl120322320041()(2 7 12)2,2ln2DtDvva Ta Tnlv vl 40（三）阈值上能级粒子数密度 由于反转粒子数密度存在阈值，激光上能级的粒子数密度也将存在阈值。 例如红宝石激光器为三能级系统，激光下能极为E1基态，上能极为E2，E3能级基本上是空的，各能级

22、上的反转粒子密度有以下关系： 12(27 13)nnn )1472(12nnn式中：n总粒子数密度； n反转粒子数密度。41将上两式联立，可解出上能级粒子数密度n2 ：2(2715)2nnn其中n用阈值nt代替，可得：2(27 16)22ttnnnn三能级阈值上能级粒子数密度三能级阈值上能级粒子数密度 对于四能级系统的氦氖激光器，由于激光下能级基本上是空的，由于激光下能级基本上是空的，故激光上能级的粒子数密度就约等于反转粒子数密度n3n，因而上能级的阈值粒子数就等于阈值反粒子数密度，即：42)1772(3ttnn四能级阈值上能级粒子数密度四能级阈值上能级粒子数密度 书中给出了红宝石激光器与氦氖

23、激光器的计算实例，我们发现四能级系统的阈值比三能级系统要小得多。 实际工作中经常使用外界提供给激光器的能量作为激光器阈值，如阈值泵浦能量或阈值泵浦功率等。对固体激光器来说，是指光泵的能量或功率；对气体激光来说，是指放电管中的放电电流。43（三）阈值泵浦能量（功率） 1. 四能级系统（连续） 221212221ttnASnnEE 当当稳稳定定于于时时，单单位位时时间间、单单位位体体积积中中有有个个粒粒子子从从能能级级跃跃迁迁到到。 22122121211/sAAAS 其其中中为为能能级级的的荧荧光光寿寿命命，为为能能级级向向能能级级跃跃迁迁的的荧荧光光效效率率。 2212122212122121

24、2=tttsASnnASn AA 33232332303231/=EnEnn SASn 假假设设能能级级单单位位时时间间内内向向下下跃跃迁迁的的的的粒粒子子数数为为，则则其其中中无无辐辐射射跃跃迁迁到到能能级级的的粒粒子子数数为为：22323122tsnEnn 为为了了稳稳定定运运行行，必必须须保保持持的的粒粒子子数数不不变变: :441222121tpptFSsphVPnhVl 3303EnEE 为为了了保保持持稳稳定定，要要求求单单位位时时间间内内有有粒粒子子被被从从泵泵浦浦到到，泵泵浦浦功功率率为为：2222321tsFtsnnn 得得到到12F 为为总总的的量量子子效效率率141412

25、12322tpthvnhvaTPVVl 32323224341431,SAASAS 2221/ttEnnl 因因此此能能级级粒粒子子集集居居数数密密：度度阈阈值值为为 1221011120/nnng ngnES 激激光光下下能能级级为为激激发发态态，由由于于，因因此此有有，很很大大，针对于本书中给出的结论如下452. 三能级系统（连续）VnhvPpt221133. 脉冲系统VnhvPpt2113VlTahvPpt321132三四F 的的意意义义 31323230/SSEA 由由光光泵泵抽抽运运到到能能级级的的粒粒子子，只只有有一一部部分分通通过过无无辐辐射射跃跃迁迁到到达达激激光光上上能能级级

26、，另另一一部部分分通通过过其其他他途途径径回回到到基基态态，效效率率为为。 221212121/EEAAS 到到达达能能级级的的粒粒子子，也也只只有有一一部部分分通通过过自自发发辐辐射射跃跃迁迁到到能能级级并并发发射射荧荧光光，效效率率为为。12F 发发射射荧荧光光的的光光子子数数工工作作物物质质从从总总的的量量子子效效光光泵泵吸吸收收表表示示为为率率的的光光子子数数461. 四能级系统激光器阈值低于三能级系统。2. 三能级系统激光器中光腔损耗的大小对光泵浦阈值功率影响不大，而在四能级系统中，阈值功率正比于光腔损耗。3. 四能级系统的阈值功率反比于发射截面，而发射截面反比于荧光谱线宽度，因此阈值功率正比于荧光谱线宽度。VnhvPpt2211314141212322tpthvnhvaTPVVl 四能级连续泵浦三能级连续泵浦47 二、起振模式数 当激光器的外界激发作用足够强时，由于抽运速率足够