函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法

1、四、曲线的四、曲线的凹凸凹凸性性1.1.曲线的凹凸的定义曲线的凹凸的定义 观察图形观察图形 YXO图1YXO图2定义定义1 1 若在某区间内若在某区间内, ,曲线曲线 y =f (x)位于其上位于其上每点的切线的上每点的切线的上( (下下) )方方, ,则称此曲线在该区间则称此曲线在该区间内是凹内是凹( (凸凸) )的的, ,该区间称为曲线的凹该区间称为曲线的凹( (凸凸) )区间区间. .拐点的定义拐点的定义 连续曲线上凹凸的分界连续曲线上凹凸的分界点称为该曲线的点称为该曲线的拐点拐点. . 注意注意: :拐点是曲线上的点拐点是曲线上的点, ,应记为点的坐标应记为点的坐标00(, ()P x

2、 f x2.2.曲线凹凸的判别曲线凹凸的判别 观察图形中切线的斜率变化情况观察图形中切线的斜率变化情况. . x0Oy=f(x)PYX在图在图1 1中中, , 当当12xx 时时, ,12tantan, 即即( )fx 是单调增加的是单调增加的; ; 在图在图2 2中中, ,当当12xx 时时, ,12tantan, 即即()fx 是单调减少的是单调减少的. .( )fx 的单调性可用的单调性可用 ( )fx 来判别来判别. . YXO图1YXO图22121( )0fx ( )0fx 定理定理1 1 设函数设函数 ( )yf x 在闭区间在闭区间 , a b上连续上连续, , 在在开区间开区间

3、( , )a b内二阶可导且内二阶可导且( )fx 恒大恒大( (小小) )于零于零, , 则曲线则曲线 ( )yf x 在区间在区间 , a b上是凹上是凹( (凸凸) )的的. . 用表格直观记忆用表格直观记忆: :x( )fx ( )yf x ( , )a b( , )a b+ +- - （1 1）定理）定理1 1中的条件：中的条件：“在开区间在开区间(a, b)内二内二阶可导且阶可导且f (x)恒大恒大( (小小) )于零于零”可以改为：在可以改为：在开区间开区间(a, b)内除个别点二阶导数为零或不存内除个别点二阶导数为零或不存在在( (但一阶导数存在但一阶导数存在) )外，都有外，

4、都有f(x) 0 ( 0)”，其它条件不变，则原来的结论仍然成立；其它条件不变，则原来的结论仍然成立； （2 2）定理）定理1 1中的区间可换为其它各种区间，中的区间可换为其它各种区间，结论也成立结论也成立 说明说明: :(1)(1)确定函数的定义域；确定函数的定义域；(2)(2)求二阶导数求二阶导数. . 在定义域内求在定义域内求 ( )0fx 的点和的点和 不存在的点；不存在的点；( )fx (3)(3)划分区间并列表判别划分区间并列表判别. .求曲线求曲线 ( )yf x 凹凸区间和拐点的一般凹凸区间和拐点的一般步骤步骤: :例例 求曲线求曲线 5235(2)9yxx 的凹凸区间和拐点的

5、凹凸区间和拐点. .解解(1)(1)定义域定义域 xR (2)(2)23510(2),39yxx 131010(2)99yx 1313101(2) 9(2)xx 13x 时时0;y 22x 时时y 不存在不存在(3)(3)列表列表131010(2)99yx 1313101(2) 9(2)xx 13x 时时0;y 22x 时时y 不存在不存在xy ( )yf x (,2) 2 2(2,3)(2,3)3 3(3,) 不存在不存在0 0- -+ +- -拐点拐点拐点拐点结论：结论： (,2, 3,) 是曲线的凸区间是曲线的凸区间, , 2,32,3是是 曲线的凹区间；曲线的凹区间； 拐点为拐点为20

6、(2,), (3, 4).9 20(2,)9 (3, 4) 例例 求曲线求曲线4yx 的凹凸区间和拐点的凹凸区间和拐点（学生练习）例例 求曲线求曲线arctan xye 的凹凸区间和拐点的凹凸区间和拐点解解(1)(1)定义域定义域 xR (2)(2)arctan211xyex arctanarctan2 22 212(1)(1)xxxyeexx arctan2 2(12 ),(1)xexx 0,y 令令1.2x 得得: : (3)(3)列表列表arctan2 2(12 ),(1)xxyex xy ( )yf x 1(, )2121( ,)2+ +0 0- -拐拐 点点1(,2 区区间间是是曲曲

7、线线的的凹凹区区间间, ,1arctan21(,).2e拐拐点点为为0,y 令令12x 得得: : 1arctan21(,)2e1 ,)2区区间间是是曲曲线线的的凸凸区区间间, ,二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线1.1.渐近线的定义渐近线的定义 定义定义2 2yxOxy1点点P与一条定直线与一条定直线C 的距离趋于零的距离趋于零, ,若曲线若曲线L上的动上的动点点P 沿着曲线无限地远离原点时沿着曲线无限地远离原点时, , P P则称直线则称直线C为曲线为曲线L的渐近线的渐近线. . 当当C 垂直于垂直于x 轴时轴时, ,称称C为曲线为曲线 L的的垂直渐近线垂直渐近线； 当当C 垂直于垂直于y

8、轴时轴时, ,称称C为曲线为曲线 L的的水平渐近线水平渐近线. .xyetanyx说明说明: : (2)(2)直线直线 0 xx 是曲线是曲线 ( )yf x 的垂直渐近线的垂直渐近线 0lim( )xxf x 或或0lim( ),xxf x (1)(1)直线直线0yy 是曲线是曲线( )yf x 的水平渐近线的水平渐近线0lim( )xf xy 或或0lim( ).xf xy yxOxy11,0yyx水水曲曲线线的的平平渐渐近近线线是是1.0 xyx垂垂曲曲线线的的直直渐渐近近线线是是例例 求下列曲线的渐近线方程求下列曲线的渐近线方程: : (1)224xyx 解解 因为因为22lim4xx

9、x =1,=1, 所以所以1y 因为因为222lim4xxx , 222lim4xxx , 所以所以2,2xx 是曲线的垂直渐近线是曲线的垂直渐近线. .是曲线的水平渐近线是曲线的水平渐近线. .(2)(2)24(1)2xyx ( (学生练习学生练习 ) )2y 是是曲曲线线的的水水平平渐渐近近线线, ,0 x 是是曲曲线线的的垂垂直直渐渐近近线线. .三、函数的分析作图法三、函数的分析作图法例例 作作313yxx 的图象的图象解解(1)(1)定义域定义域 (,),x (2)(2)21,yx 得驻点得驻点 121,1.xx 2 ,yx 0y 令令 得得0.x (3)(3) 列表列表xyy y(

10、, 1) -1-1(-1,0)(-1,0)0 0(0,1)(0,1)1 1(1,) 0 00 0+ +- - - -+ +0 0- - - -+ + + +极大值极大值2/3 2/3 极小值极小值-2/3-2/3 拐点拐点 (0,0)(0,0) .并并且且图图象象关关于于原原点点对对称称(4)(4)无渐近线无渐近线(5)(5)求出辅助点求出辅助点),32, 2(),0 , 3(),32, 1(),0,0(),32, 1 ( ),0 , 3(),32, 2(),2465,25(6)(6)作图：作图：),2465,25(xy y y) 1,(-1(-1,0)(-1,0)0(0,1)(0,1)1),

11、 1 ( 00+ +- - - -+ +0- - - -+ + + +极小值极小值 -2/3-2/3 拐点拐点(0,0)(0,0) 续续 作作313yxx 的图象的图象极大值极大值2/3 2/3 313yxx例例 作作2212xye 的图象的图象( (学生自己看书学生自己看书) )说明说明: :YOX这是概率统计中一个重要函数这是概率统计中一个重要函数: :标准正态分布标准正态分布的的概率密度概率密度函数图象函数图象例例 作作321xyx 的图象的图象解解 (1)(1)定义域定义域 (, 1)( 1,1)(1,).x (2)(2)224 33,3(1)xyx 驻点为驻点为123,3xx 272

12、32 (9)9(1)xxyx 0,y 令令解得解得3453,0,3xxx (3)(3)列表列表 y 是是奇奇函函数数, ,其其图图象象关关于于原原点点对对称称. .xyy y)3,(-3-324233,3(1)xyx 27232 (9)9(1)xxyx 123,3xx 3453,0,3xxx )3, 3(3) 1, 3(-1,0)(-1,0)0 0+ + + +xyy y0 0(0,1)(0,1)3, 1 (3)3 , 3(3 3), 3( - - -0 0- - - -+ + + +0 00 00 0+ +- - - -+ +- -+ + + +- -极大值极大值极小值极小值拐点拐点拐点拐点

13、拐点拐点(4)(4)渐近线渐近线曲线有垂直渐近线曲线有垂直渐近线 1,1.xx (5)(5)辅助点辅助点( 4)1.62, ( 3)1.5, (3)1.37,yyy (4)1.62, (3)1.5, ( 3)1.37yyy ( 0.5)0.55,(0)0,(0.5)0.55,yyy 321lim1xxx 321xyx321xyx补充例题1.2) 1( 4)(2的的图图形形作作函函数数 xxxf解解(,0)(0,),D 非奇非偶函数非奇非偶函数, ,且无对称性且无对称性. .,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令3.x

14、得得2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, 0.x 得得垂垂直直渐渐近近线线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点: :x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 拐点拐点极小值极小值3 )926, 3( 2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平渐近线得水平渐近线:补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC24(1)( )2xf xx补充例题补充例

15、题2 2.1)(23的图形的图形作函数作函数 xxxxf解解(,),D 无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性. .),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得驻点得驻点, 0)( xf令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, , 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点: :x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0 , 1( A)1 , 0(B)85,23(C11 3131 ),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf 0123 xxxy四、小结四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究, ,是是导数应用的综合考察导数应用的综合考