偏微分方程的读书报告

1、读书报告读王明新非线性椭圆型方程此书系统地介绍了二阶线性椭圆算子的特征值理论，半线性椭圆型方程和方程组的上下解方法及其应用，拓扑度理论和分支理论及其应用，方程组的解耦方法，Nehari流形方法及其应用，p-Laplace算子的特征值理论和p-Laplace方程（组）的上下解方法及其应用。本书选题先讲，内容新颖丰富，大部分内容取自同行近几年发表的论文（最新的内容是2009年发表的）。由于我是入学后才读此书，我只读了其中的部分内容，这里我只对前六章的内容写个读书笔记。书中罗列了同行近几年发表的论文，对读者来说，有难度，同样也是训练读者查参考文献的能力。此书的第一章内容是介绍后面要用到的相关的预备知

2、识。第一节，书上对于Banach空间，引入了Fr'echet导数和G?ateaux导数（以下简称为F导数和G导数）。定义（F导数）称f在点X0乏C处是F可微的，如果存在有界线性算子AwL（X,Y）,使得IIf（X0+u）f仪0）Au|=0（r）当|u|=rT0时.算子A成为f在x0处的F导数.定义（G导数）设f:建uXt丫wC.对任意的hwX,当t适当小时都有x0+thwC,并且极限fX0th-fX0limt0t存在，则称f在X0处G导，称其极限是f在X0处沿方向h的G微分，记为fG（X0）h.并且给出了两者之间的联系：F导导witG导.由定义我们可以看出，F导比G导难求。利用这个关系

3、，在求算子的F导数的时候，我们可以转化为求G导，然后只需证明求得的G导是连续的，利用上面的关系，就知道，我们所求得的G导就是F导，这样，我们就把复杂的难于求的F导转化为易求的G导。而本书中后面多次提到了求F导数。第二节介绍了无条件局部极值的定义、存在性和必要性。这一节的内容类似与微积分中学过的一元或是二元函数的局部极值的定义和费马定理，学习的时候结合内容记忆起来方便。第三节介绍了在拟线性方程的边值的非负非平凡解的存在性方面的一个应用，前面讲到的知识在例子中多次被用到。第二章主要介绍二阶线性椭圆算子的特征值问题。我以前读过叶其孝编写的反应扩散方程中有介绍二阶线性椭圆的特征值问题，内容较少，篇幅不

4、多，而这本书中较大篇幅的介绍了二阶线性椭圆的特征值问题，并且内容也比较丰富，可以说是这方面内容的经典汇总。然而，对于二阶线性椭圆的特征值问题，到目前为止，只是第一特征值的研究比较全面，至于第二特征值以及再高的特征值的研究很贫乏，这方面可作的东西非常多，也可以说是对我们读者来说的一个指引作用。书中先介绍了一般形式的二阶线性椭圆算子的特征值问题：nnLu二一"ajxDju八b,xDjUcxu='u,xj'i,jAI、Bu=0,xWEC这里的Bu=0指的是Dirichlet边值条件、Neumann值条件和Robin边值条件。假设(A)L是一致椭圆的；(B)ajx,bix,c

5、xCj.由于此类算子的特征值结构非常复杂，书中介绍的主要是主特征值的内容，相关的结论是：上述的特征值问题有唯一的主特征值，与它对应的特征函数在建内是正的或者负的；其余的非主特征值对应的特征函数如果是实函数，那么它一定在Q内改变符号；并且特征值的个数是可数个：%，。还有几个重要的结论：1 .假设c(x)之0,及是特征值问题.ucxu二1u,x1；:u-axbxu=0,x二】cv的主特征值，并且还是实的和简单的，其中(1) a(x)三0,b(x)三0,或者(n)a(x)三1,b(x心0.如果c(x)#0或者b(x)#0,则匕>0.如果c(x)=b(x)=0,则%=0.2 .设qwC(Q),k

6、是一个常数。如果存在正函数中，使得，9+q(xP父Hku,xwC0=0,xwcQ则儿(q)>(<.进一步，如果上式不是恒等式，则兀(q其次是考虑的散度型的二阶线性椭圆算子的特征值问题：Lu-八Dj(ajxDiU)qxu=f；.u,x*i,j4Bu=0,xcQ假设(A) L是一一致椭圆的；(B) ajxC13,qxC3,bxC.由于此算子是对称算子，故它的特征值的具有非常清晰的结构。相关的结论有：(1)特征值全是实数；(2)不同的特征值所对应的特征函数是正交的；(3)特征值的极小原理和极大-极小原理；(4)特征值是无界的，即limXk=；(5)特征函数系是l2(C)中的一个完备正交系

7、；(6)特征值的变化(特征值关于q(x)是单调增加的，Dirichlet边值问题的特征值关于区域是单调减少的)；(7)特征值连续依赖于系数aj(x)q(x)b(x)；(8)若q(x)WC(石)，k为常数，Km(q)是问题一Au+q(xL=九u,x三Q=u=0,xW的第m个特征值，则九m(q+k)=?um(q)+k；(9)非完全耦合的二阶线性椭圆方程组的特征值问题：_nn设c三C%c),算子M=£Dj(aij(xDi)+a(x)N=£Dj(a。(xDi)+b(x邨是i,j1i,j1区域C上的一致椭圆算子，特征值分别记为，二和)七，系数a,b,aij,bjWCB).定义Lu(M

8、u+c(x)v,则算子l的谱仅由特征值构成，并且仃“)=也溶=、卮；WINvJ-(10)Poincare不等式：(与Sobolev空间的Poincare不等式对比记忆)(i)记儿a0是算子-在。上带有齐次Dirichlet边界条件的第一特征值，则|u|2<l|Du|2,VueH0(Q)11I ,并且，是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。II(ii)记”>0是算子-在。上带有齐次Neumann界条件的第二个特征值，则,21.21.而lu-ud2-T-lluLueH9)丁=0,儿2CV心1,并且是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。12补充：(Bessel不等式)设X

9、是一个内积空间，如果S=Qa亡A)是X中的正交规范基，那么VxWX,有z(x,e/<11X2.研究特征值问题的意义目前主要在于研究主特征值，因为主特征值所对应的特征函数在整个定义域内不改变符号，即恒正或是恒负，这对于后面要讲的生态模型的正共存解的存在性起到关键的作用，这也是本书中在讲共存解时多次采用的方法，这也给读者在研究问题的时候提供了一种很有用的方法。第三章介绍了椭圆型方程的上下解方法(利用上下解得到解的存在性的方法称为上下解方法)，此法是研究非线性偏微分方程的一种重要方法。对于一个非线性偏微分方程的定解问题，只要比较原理成立，都可以利用上下解方法来处理。上下解方法非常简单初等，结构

10、又非常深刻。这种方法即给出了解的存在性，又给出了解的估计。但此法也有困难的地方，那就是构造合适的上下解。下面先给出一个一般形式的比较原理，然后依次给出方程式和方程组的上下解方法，最后结合叶其孝编写的反应扩散方程总结一下构造上下解的方法。(比较原理)假设夏是由n中的一个有界区域，n(x)eL*(C),函数q(x)在建内非负连续,常数口w(0,1,非负函数g(s)WC(0.).又设函数ui,U2WC1q)并且在。内是正的,在分布意义下满足-Au1”(x)uF+q(xg(u1心0之一Au2一”(x)u及+q(x)g(u2),在边界附件满足limsupu2''-u1-0.如果(i)当0

11、<仪<i时，函数g(s»，关于sws-d(x,士)01,u2tSupQ,u2)单调不减;QJ(2)当口=1时，q(x)是非负非平凡的连续函数，。(，)1关于s=fi0fi,u2supui，山区严格单增，则u1>u2在。内恒成立。注：由上面的比较原理，得边值问题-Au-"(x)u"+q(x)g(u)=0,xwQu=(x)xw有唯一的正解。下面具体来总结一下方程式的上下解方法。先对拟线性方程，利用不动点定理证明：如果所讨论的问题具有有序的上下解，那么它在上下解之间一定有解；其次对半线性方程，借助有序上下解构造单调迭代序列，进而得到位于上下解之间的最大

12、解和最小解的存在性。nn设C是方n中的一个有界区域，边界GWC2也，算子L=2aijDij+ZbiDi+ci,jTi1u在建上是一致椭圆算子，系数属于C气Q).边界算子Bu=au+b,其中CVa,bwC1软瓶是非负函数，并且a(x)+b(x)>0.考虑下面的边值问题nnLu-'aijDiju-二bDiucu=fx,u,Du,x*i,j=1i=1Bu=巾，xegQ定义(上下解)函数u,ueC1Tc2()分别称为上述问题的上下解，如果Lu之f(x,u,Du)xW。Bu-，x；：|Tu>f(x,u,Du)xwG«Bu<*,xwm若边界条件是Bu=u，那么上下解的光

13、滑性条件可以减弱为u,ueC(QpC2(Q).定理：假设在最上a(x)>0,函数口口为上述边值问题的上下解，并且满足u之u。记c=minu,c=maxu。又设f(x,u,“注于xwG,u=L,u以及*1w次n满足Nagumo条件，即存在连续函数甲：r+tr+,使得f(x,u产)Qufl+|n|2)vxwC,uWu，uN乏瞰.那么上述边值问题存在解u,并且满足u<u<u,Du-N,其中N是依赖于u,u,5,L的系数的Nagumo常数.此定理的意义在于判断椭圆型方程解的存在性。同样，对于椭圆型方程组也有类似的结果，这与抛物型方程的上下解方法是不一样的，抛物型方程的上下解方法在判断

14、解的存在性的同时，还给出了解的唯一性。要注意椭圆型和抛物型方程的比较。上下解的方法虽然简单初等，但是困难的是合理构造出上下解。结合叶其孝编写的反应扩散方程，现总结构造上下解的方法：常数上下解；常微分方程法；转化为偏微分方程法；利用第一特征值和特征函数等等。课后习题中的重要结论：研究边值问题一Aw+q(xW=kw-f(xW2,xwCW00,xW假定q,fWC©通在石上f>0,k是一个常数，则(1) 如果上述问题有一个正的严格下解w,则上述问题有唯一的正解w,并且11q:二k,w：二w.(2) 如果(q)<k,则上述问题有唯一的正解.书的第四章内容主要介绍了非线性泛函分析中的

15、拓扑度理论和分支(也称为分歧，或分叉)理论，因为此理论也是研究椭圆型方程和方程组的边值问题的解的存在性的重要工具。在书中，主要是介绍那些在椭圆型方程的应用中经常出现的有关拓扑度和分支理论的主要结果，可以看成是拓扑度和分支理论的速成。先介绍了有限维空间的拓扑度(Brower度)：定义：(1)如果y0是小的一个正则值，定义户在yo处的拓扑度为nd-Q,yo)=£sgnJ(xj),j4其中J4为J4的行列式，Xj满足*(Xj)=yo.(2)如果yo是©的一个临界值，存在正则值y”,满足y-y1M君。定义中在y0处的拓扑度为deg(,'.yo)=deg(,y)=d,y.基本

16、性质：(1) 同伦不变性；(2) 可加性；(3) 切除性；(4) 乘积性质；(5) 连续映射的度；(6) 边界性质；(7) 复合映射的Leray乘积；再介绍Banach空间上的拓扑度(Leray-Schauder度)定义：设X是一个Banach空间，CuX是有界开集，K:QtX是紧的，4=IK,yo更49c).K&是K的有限维逼近，K6的像集属于有限维空间N/yoWNQ,I-%,则deg(,1.yo)=deg(；,N；,y°)性质与有限维空间的Brower性质类似。特别地(Leray-Schauder定理)index(Ie,x。)=deg®B式x0)0)=(T)0,

17、其中P是t=I-K'(x0)的大于1的所有特征值的重数之和.分支理论：考虑方程fIx,'=0其中fwCp,p'1,f（x,九型点（0,九0户XmR的某个邻域映入一个Banach空间Y,并且满足f0,0=0.定义：点（0,%麻为一个分支点，如果（0,%）的任意邻域都包含方程f（x,九）=0的一个解(x,九成且x#0.定理：fecp,p>2,f(0,%)=0.又假设(1)廉(0,%)=0；(2)Nfx(0A堤一维白3由x0生成；(3) Yi=Rfx(0,九°)的余维数是1；(4) f.0,0Y,f,x0,'0x。Y.那么点（0,力.0谑一个分支点，并

18、且f（x,九）=0的解的集合在点（0,九0）的邻域内由两条只在（0,九0）相交的C"类曲线；耳构成。下面介绍一下椭圆型方程组解的稳定性与不动点指数的关系定义：记u=（Ui,U2,，Um）,f=（fi,f2,，fm）.假设U,是边值问题iLu=f(u),x11的解，其中Bu=0,x山L=diagLi,Lm,B=diagBi,Bm.Li是散度型的二阶一致椭圆算子，系数有界,Bui为三种边界算子.如果上述问题在u的线性化特征值问题Lv=Duf(u)v+八v,x亡建、Bv=0,的所有特征值九的实部都大于零，则称u是线性稳定的，否则，就称为不是线性稳定的。如果九=0是线性化特征值问题的特征值，

19、则称u是退化的，否则就称为非退化的。利用拓扑度方法研究(1)的解，通常是把它等价地转化为算子F的不动点问题，其中iF(u)=(M十L)(f(u)十Mu),M>0适当大，使得算子(M+L是紧的.定理：如果u,是线性稳定的，那么indexF,u*=1.最后一节内容是锥上的拓扑度理论。因为在椭圆型方程和方程组的齐次Dirichlet边值问题的正解研究中，通常需要限制在正锥上来讨论，故引进锥上的拓扑度。几个重要的定义：定义：设E是一个Banach空间，W仁E称为一个楔，如果W是一个非空闭凸集，并且对任意的0>0,有PWcW.定义：对于yW,Wy-奴E:-Jr=rx)>0,s.t.yR

20、xW：-ixE:-Jr=rx0,s.t.ytxW,-0_t_rSy=kWy：-xWyI定义：设T：MtM是紧线性算子，称T具有口性质，如果存在tW(0,1),W-WySy,使得w-tTwSy.定理：如果I-F'(y城Wy上可逆，那么(1)若F'(y)具有«性质，则indexW(F,y)=0；(2)若F'(y杯具有a性质，则indexW(F,y)=(-1)0,其中P是F'(y)的所有大于1的特征值的重数之和。当F'(y)不具有仪性质，则indexW(F,yindex(F,y).第五章是利用前面建立的分支理论和锥上的拓扑度理论，研究两个椭圆型方程组

21、的齐次Dirichlet边值问题正解的存在性、多解性、分支与稳定性。这两个例子分别是作者的发表的两篇文章。一个是带有修正的Hollingn型响应函数的捕食模型：m/u=ua-u-bvfu,v,x«-Av=v（cv+duf（u,v）xwQu=v=0,xw口其中u,v分别表示食物和猎物的分布函数，函数,1f（u,v）:L,1:：.wu1-v并且所有的参数都是正常数。另一个是带有Hollingn型响应函数的捕食模型：，vv）c一Au=uau-1x匚G、1+muJmv、«Av=vb,xwGIm+uJu=v=0,xw其中a,b,m都是正常数。文中主要是讨论了上面两种捕食模型的共存解（

22、u,v）（u>0,v>0）的存在性、多解性、分支与稳定性。两种模型采用的都是正锥上的拓扑度理论和分支理论。现在我自己对书中采用的方法做一下归纳：要采用正锥拓扑度理论，必须要对所要讨论的问题做先验估计，估计出上下界，这是此法的前提条件，这个决定想采用锥上拓扑度理论研究问题时，在构造模型时必须注意，要使得所构造的模型有解的先验估计。比方说是上述问题讨论的正解，总是要先对正解做先验估计，估计出它的上下界，采用的方法是最大值原理、上下解方法和正解的唯一性等等。做出先验估计之后，然后做正锥，在正锥上讨论问题，找出问题的平凡正解和半平凡正解。将所要研究的问题转化为紧算子的不动点问题，利用锥上的

23、拓扑度理论，求出每个平凡正解和半平凡正解的不动点指数（方法就是看看紧算子的导算子有没有«性质，利用前面的定理即可），然后利用拓扑度与不动点指数之间的关系（拓扑度等于不动点指数之和），来探讨共存解的存在性以及多解性。分支理论是严格按照分支定理来处理的，严格验证分支定理中的几条性质即可。正解的线性稳定性也是严格按照定义来处理，就是要证明所研究问题的线性化特征值问题的所有特征值的实部都是大于零即可。这里文章大部分采用的方法都是反证法，因为直接证不好证，所以采用反证法会使得问题好处理，并且中间的证明也多次用到第二章的特征值和特征函数的问题，这都是我从这本书中学到的思想，受益匪浅！第六章讲的是图灵（Turing）模式，结合两个具有代表性的例子，利用抽象的拓扑度理论和先验估计，介绍Turing模式的研究内容和方法。我们知道，在采用拓扑度理论研究问题时，需要计算不动点指数，利用前面的结论，不动点指数的运算很麻烦，书中先给出一个简化不动点指数的定理：（定理）假设对所有的i1,H（邑i片0.那么_rindexI-F(,u|=(-1),其中r=mi,i1H八0巴u)=G(u)x0；:u_=0,CV的正常数解，u是上述问题的