D104对面积曲面积分35084实用教案

1、定义定义(dngy):设 为光滑(gung hu)曲面,“乘积(chngj)和式极限” 都存在,的曲面积分其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页第一页，共28页。则对面积的曲面(qmin)积分存在. 对积分(jfn)域的可加性.则有 线性性质(xngzh).在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分

2、性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页第二页，共28页。oxyz定理(dngl): 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续(linx),存在(cnzi), 且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明: 由定义知nk 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页第三页，共28页。0limnk 1),(,(kkkkzf而(光滑(gung hu)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页第四页，共28页。说明(shumng):可有类似(li s)的公式

3、.1) 如果曲面(qmin)方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. (见本节后面的例4, 例5) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页第五页，共28页。例例1. 计算计算(j sun)曲面积分曲面积分其中(qzhng)是球面被平面(pngmin)截出的顶部.解: :oxzyha机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页第六页，共28页。思考思考(sko):若 是球面(qimin)被平行(pngxng)平面 z =h 截出的上下两部分,则hhoxzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/

4、共27页第七页，共28页。例例2. 计算计算(j sun)其中(qzhng) 是由平面坐标(zubio)面所围成的四面体的表面. ozyx111解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页第八页，共28页。xozy例例3. 设计算(j sun)解: 锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分(b fen), 它在 xoy 面上(min shn)的投影域为则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页第九页，共28页。1d)(22SyxIxozy1yxD机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 思考(sko): 若

5、例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx ，0计算结果如何(rh) ? 第10页/共27页第十页，共28页。例例4. 求半径为求半径为R 的均匀的均匀(jnyn)半球半球壳壳 的重心的重心.解: 设 的方程(fngchng)为利用(lyng)对称性可知重心的坐标而用球坐标思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?例3 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页第十一页，共28页。例例5. 计算计算(j sun)解: 取球面(qimin)坐标系, 则机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第12页/共27页第十二页，共28页。例例6. 计算计算(j sun)其中(qzhng)

6、是球面利用(lyng)对称性可知解: 显然球心为半径为利用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页第十三页，共28页。zzd例例7. 计算计算(j sun)其中(qzhng) 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析: 若将曲面分为(fn wi)前后(或左右)则Hxyz解: 取曲面面积元素两片,则计算较繁. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页第十四页，共28页。oyxzL例例8. 求椭圆柱面求椭圆柱面位于 xoy 面上(min shn)方及平面 z = y 下方(xi fn)那部分柱面 的侧面积 S . 解: 取机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结

7、束 第15页/共27页第十五页，共28页。例例9. 设有一颗地球同步(tngb)轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球(dqi)自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解: yzxo建立坐标系如图, 覆盖曲面 的半顶角为 ,利用球坐标系, 则卫星覆盖面积为第16页/共27页第十六页，共28页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球(dqi)表面积的比为由以上结果可知(k zh), 卫星覆盖了地球 以上的面积, 故使用三颗

8、相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P109 例2) . yzxohR R第17页/共27页第十七页，共28页。内容内容(nirng)小结小结1. 定义(dngy):2. 计算(j sun): 设则Szyxfd),(yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页第十八页，共28页。思考思考(sko)与练习与练习P158 题1；3；4(1) ; 7 解答(jid)提示:P158 题1.P158 题3. 设则P184 题2机动(jdng) 目

9、录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页第十九页，共28页。P158 题题4(1).oyxz2 在 xoy 面上(min shn)的投影域为这是 的面积(min j) !2xyD机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页第二十页，共28页。P159 题题7. 如图所示, 有zyx机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页第二十一页，共28页。P184 题题2. 设设一卦限中的部分(b fen), 则有( ).( 2000 考研(ko yn) )机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页第二十二页，共28页。作业(zuy)

10、 P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页第二十三页，共28页。备用备用(biyng)题题 1. 已知曲面壳已知曲面壳求此曲面(qmin)壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量(zhling) M . 解: 在 xoy 面上的投影为 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页第二十四页，共28页。2. 设设 是四面体是四面体面, 计算(j sun)解: 在四面体的四个面上(min shn)1zyx11o同上平面方程Sd投影域机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页第二十五页，共28页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结定义(dngy):。设 为光滑曲