第二节对坐标的曲线积分

1、BAL:常力常力沿沿直线直线所作的功所作的功分割分割,0MA ABFW jyxQiyxPyxF),(),(),( jyixMMiiii)()(1 ),(,),(111111 nnnyxMyxMBMn OxyAB0M 2M 1 nM 1M nM 1 iM L),(iiF ix iy iM 问题问题11.2:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功11.2 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质求和求和 niiiiiiiyQxP1),(),( 取极限取极限 niiiiiiiyQxP1),(),( niiWW1 iW 取近似取近似取取jQi

2、PFiiiiii),(),(),( iiiiMMF1),( iiiiiiiyQxPW ),(),( 即即近似值近似值精确值精确值 W0lim ),(iiF Oxy AB0M 2M 1 nM 1M nM 1 iM Lix iy iM jyixMMiiii)()(1 或或 niiiiniiiiyQxPW1010),(lim),(lim 定义定义11.2 设设L为为xOy面内从点面内从点A到点到点B的一条的一条有向有向光滑光滑用用L上的点上的点把把L分成分成n个有向小弧段个有向小弧段)., 2 , 1(1niMMii ,11 iiiiiiyyyxxx设设曲线弧曲线弧,在在L上有界上有界.),(),(

3、yxQyxP函数函数iiiiMM1),( 为为点点 上任意取定的点上任意取定的点. 如果当各小段长度的最大值如果当各小段长度的最大值,0时时 BMyxMyxMMAnnnn ),(,),(,1111110iiniixP ),(1 的极限总存在的极限总存在, 记作记作则称此极限为函数则称此极限为函数),(yxP在有向曲线弧在有向曲线弧 L上对上对坐标坐标x的曲线积分的曲线积分,或称或称第二型曲线积分第二型曲线积分.,d),( LxyxP LxyxPd),(即即类似地定义类似地定义 LyyxQd),(称称),(yxQ在有向曲线弧在有向曲线弧 L上对上对坐标坐标y 的曲线积分的曲线积分.积分弧段积分弧

4、段被积函数被积函数iiniixP ),(lim10 iiniiyQ ),(lim10 在应用中常出现在应用中常出现组合形式组合形式 LLyyxQxyxPd),(d),( LyyxQxyxPd),(d),(其中其中 LsAd)d,d(dddyxj yixs 或或向量向量“点积点积”形形式式 LLyyxQxyxPd),(d),(),(),(),(),(yxQyxPjyxQiyxPA 沿沿闭曲线闭曲线L的曲线积分记作的曲线积分记作.dd LyQxP物理意义物理意义 LyyxQxyxPWd),(d),(jyxQiyxPF),(),( 变力变力sFLd )d,d(dyxs 沿平面曲线沿平面曲线L所做所做

5、的功为的功为类似地类似地, 可定义空间向量函数可定义空间向量函数 LzRyQxPddd沿着空间曲线沿着空间曲线L的第二型曲线积分为的第二型曲线积分为kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( LsAd其中其中).d,d,d(ddddzyxkzj yixs 对坐标的曲线积分具有下列性质对坐标的曲线积分具有下列性质: ),(),(),(),(11yxQyxPByxQyxPA 沿曲线沿曲线平面平面L的第二型曲线积分存在的第二型曲线积分存在, 则则 LLLsBksAksBkAkddd)(2121设设(1) 线性性质线性性质:BkAk21 积分存在积分存在, 且且沿曲线沿曲线L的第二型曲线的第二

6、型曲线其中其中 为任意常数为任意常数.21,kk,21LLL和和分分成成如如果果把把 yyxQxyxPd),(d),(LL1L2(2) 可加性可加性: LyQxPdd且它们的方向相应地一致且它们的方向相应地一致, 则则 21ddddLLyQxPyQxP(3) 有向性有向性: 方方向向相相反反的的是是与与LL 有向曲线有向曲线, 则则 yyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分与对坐标的曲线积分与曲线的方向有关曲线的方向有关! L LL LOxy设设L是有向曲线是有向曲线,Oxy,)()( tytxL 的参数方程为的参数方程为定理定理11.2 设设),(),(yxQyxPt当当参参数数,时

7、时变变到到由由 ,),(BLALyxM运运动动到到终终点点沿沿的的起起点点从从点点一一阶阶为为端端点点的的闭闭区区间间上上具具有有及及在在以以 )(),(tt,连连续续导导数数,d),(d),(存在存在 LyyxQxyxPQP LyyxQxyxPd),(d),(在有向曲线弧在有向曲线弧L上连续上连续, 0)()(22 tt 且且且且)(t ),(t tt d)( tt d)( ),(t )(t 11.2.2 第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算则曲线积分则曲线积分)(:)1(xyyL )(:)2(yxxL LyyxQxyxPd),(d),(,ax起起点点为为, cy起起点点为为 LyyxQ

8、xyxPd),(d),(b终终点点为为d终终点点为为则则xxyxyxQxyxPbad)()(,)(, yyyxQyxyyxPdcd),()(),( 则则对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.积分下限应是起点的坐标积分下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标上限是终点的坐标.曲线方程的其他情形曲线方程的其他情形,)()()(: tztytx zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(3) 对于空间曲线对于空间曲线 , 起起点点t 终点终点 )()(),(),(ttttP)()(),(),(ttttQ tttttRd)()(),(),( 例例1 计算计算上从上从

9、为抛物线为抛物线其中其中xyLxxyL 2,dxy 2)1, 1( A)1 , 1(B 解解xy Lxxyd xxxd)( 1023d2xx54 AOxxyd OBxxyd xxxd.)1 , 1()1, 1(的一段弧的一段弧到到BA (1) 取取 x为积分变量为积分变量1010Oxy,2yx 112y11到到从从 y54 Lxxyd,d2dyyx y yyd2 上上从从为为抛抛物物线线其其中中计计算算xyLxxyL 2,d.)1 , 1()1, 1(的一段弧的一段弧到到BA Oxyxy 2)1, 1( A)1 , 1(B 114d2yy(2) 取取 y为积分变量为积分变量).0 , 0()0

10、 , 2()2();0 , 0()1 , 1()0 , 2(),20(11)1(OAxLOBAxxyL到到点点轴轴从从点点为为直直线线沿沿至至点点到到点点从从点点为为折折线线段段 解解 (1)35 例例2 计算计算,)d(d LyxyxxyI其中其中, 2 x, 1 xOxy 2 1 1AB,BOABL A点对应点对应 B点对应点对应.dd,2:xyxyAB AByxyxxy)d(d 12d)1)(2()2(xxxxxxyxyBOdd,: Oxy 2 1 1AB, 1 xB点对应点对应, 0 xO点对应点对应 BOyxyxxy)d(d 01d)(xxxxx31 LyxyxxyI)d(d BOA

11、Byxyxxyyxyxxy)d(d)d(d23135 (2)Oxy 2 1 1A. 0d, 0: yyAO, 0 xO点对应点对应, 2 xA点对应点对应 LyxyxxyI)d(d0d002 xx0 问题问题: 被积函数相同被积函数相同, 起点和终点也相同起点和终点也相同, 但路径不同但路径不同, 积分结果也不同积分结果也不同. LyyxxyxI,d)(d)(解解 (1),sincos tytxA点对应点对应 L的的参数方程参数方程为为, 0 t.2 tB点对应点对应其中其中1 tttttttId cos)sin(cos)sin)(sin(cos20 例例3 计算计算).1 , 0()0 ,

12、0()0 , 1(,)2();1 , 0()0 , 1()1(BOAAOBLBAL点点至至到到点点从从点点为为折折线线段段沿沿上上半半单单位位圆圆至至点点为为从从点点xyO11ABtttd)2sin2(cos20 ,上上在在 AO, 01, 0到到从从xy 21 ,上上在在OB, 10, 0到到从从yx 12121 I问题问题: 被积函数相同被积函数相同, 起点和终点也相同起点和终点也相同, xyO11AB OBAOyyxxyxyyxxyxId)(d)(d)(d)(2) LyyxxyxId)(d)( 01dd)(d)(xxyyxxyxAO 10dd)(d)(yyyyxxyxOB21 虽然路径不

13、同虽然路径不同, 但积分结果相同但积分结果相同.,d)(d)(22 LyxyyxxyxI解解)20(,sincos ttaytaxL的参数方程为的参数方程为其中其中L为圆周为圆周 2 tatatatatatataIdcos)sincos()sin)(sincos(202 例例4 计算计算.)0(222沿沿逆逆时时针针方方向向绕绕行行一一周周 aayxtttd )cos(sin2022 xyOa 其中其中是由点是由点A(1,1,1)到点到点B(2,3,4)的直线段的直线段.直线直线AB的方程为的方程为312111 zyx,1tx 1013d)146(tt解解化成参数式方程为化成参数式方程为于是于

14、是,d)1(dd zyxyyxx例例5 计算计算,21ty tz31 , 0 t, 1 tA点对应点对应B点对应点对应 zyxyyxxd)1(dd 10d3)31 (d2)21 (d)1 (tttttt11.2.3 两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系设设A, B分别是曲线分别是曲线L的起点和终点的起点和终点, L的长度为的长度为l. M是曲线上的动点是曲线上的动点, 取弧长取弧长 作参数作参数, sAM 可以表示为以可以表示为以s为参数的参数方程为参数的参数方程 lssyysxx 0,)()(则曲线则曲线L于是于是 BALyyxQxyxP:d),(d),(ssysysxQsxsysx

15、Plddd)(),(dd)(),(0 ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0 其中其中处处的的切切线线向向量量的的上上点点是是曲曲线线),(cos,cosyxLBA 方向余弦方向余弦. BALBALsQPyQxP:d)coscos(dd 即即 这就是平面上两类曲线积分之间的关系这就是平面上两类曲线积分之间的关系. BAzRyQxP:ddd BAsRQP:d)coscoscos( 类似地类似地,空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分有如下关系上的两类曲线积分有如下关系 其中其中),()(cos,cos,coszyxBA上上点点是是曲曲线线 处的切线向量的方向余弦处的切线向量的方向余弦. 例例6 把对坐标的曲线积分把对坐标