船舶流体力学课件4.

1、主讲教师：孙 雷宗 智B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数B4.2 积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程B4.3 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用B4.4 积分形式的动量方程及其应用积分形式的动量方程及其应用B4.5 积分形式的动量矩方程积分形式的动量矩方程B4.6 积分形式的能量方程积分形式的能量方程B4 积分形式的基本方程B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程 积分形式的流体力学基本方程描述空间有限体积域上的流体运动规律，主要涉及流体质量、动量 、动量矩和能量等物理量在有限体积域上的积分值（广延量）随时间和位置的变化规律，它在工程上有广泛应用。p主要内容：流体系统的随

2、体导数；积分形式的连续性方程、动量方程、动量矩方程和能量方程及其应用，伯努利方程及其应用等。重点：（1）有限控制体分析，输运公式； （2）有多个一维出入口的控制体上的连续性方程； （3）伯努利方程； （4）有多个一维出入口的控制体上的定常动量方程等。 B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数 p 系统广延量由于 为流体系统内物理量的空间分布函数，在系统（system）上积分：称为系统广延量。当 取密度、动量、动量矩和能量函数时，分别可得系统质量、系统动量、系统动量矩和系统能量等。),(tr( )( , )syssysNtr t dp 控制体广延量( )( , , , )CVCVNtx y

3、 z t d控制体表面为CS，一流体系统sys（实线包围区域）在 t 时刻刚好与控制体重合，以后流体系统可以与控制体形状不同。右图为控制体形状变化示意图：B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数p 有限控制体分析，输运公式在流场中取一固定不变形的有限控制体 CV（图中虚线包围的区域）B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数t 时刻物理量的空间分布函数（单位体积之值），在系统上的积分1452345() ()ttCV控制体控制面2345CSAAAA( )( , )syssysNtr t d由时间导数的定义，系统广延量的时间导数可表示为00d11lim()( )limdddsystttt

4、tNN ttN tttt 由于控制体积分区域 可分割成数块，()tt( ) tCVB4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数23045023400d1limdddd ddd1 limdd11 limddlimddsysCVtttttCVtttCVCVttttttttNttttt 5tt右端第一项代表控制体广延量对时间的导数01IlimdddCVCVCVtttttt B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数230231IIlim()d()d ()d()dAAtttAAA tA ttAA v nv nv nv n右端第三项代表单位时间内通过控制面流出控制体的广延量（正值）450451II

5、Ilim()d()d ()d()dAAtttAAA tA ttAAv nv nv nv noutd()ddAtv n4501IIIlimddtttt 右端第二项代表单位时间内通过控制面流入控制体的广延量（负值）2301IIlimddtttt ind()ddAt v nB4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数将I，II，III式代入原系统广延量的时间导数公式，并用D/DT代替d/dt()sysCVCSDNdv n dADTt r r上式被称为雷诺输运公式，简称输运公式。将II与III相加可得2345II+III()d()dAAAACSAAv nv n上式代表单位时间内通过控制面净流出控制体

6、的广延量。类似于流体质点的随体导数（质点导数）概念，用控制体上的欧拉坐标表示流体系统的随体导数，关系式为：B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数()sysCVCSDNdv n dADtt sysDNDtdCVt ()CSv n dA 表示系统与控制体重合时系统广延量对时间的随体导数，又称系统导数；表示控制体广延量随时间的变化率，又称当地变化率，反映流场的不定常性（定常时为零）；表示通过控制面净流出控制体的广延量流量，又称为迁移变化率，反映流场的不均匀性（均匀时为零）。p 定常流场输运公式上式表明在定常流场中，当系统与控制体重合时，系统广延量的变化只取决于控制面上的流动，与控制体内的流动

7、无关（见下图）。()sysCSDNv n dADt B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数思考题：思考题：运输公式：是对固定控制体导出的，若控制体作匀速运动时，下面哪个结论是对的：（A）仍然适用；（B）不再适用； （C）形式不变，但需将迁移项中v改为相对速度vr。B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数()sysCVCSDNdv n dADtt B4.2 积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程上式称为积分形式的连续性方程，适用于任何流体的定常和不定常流动。设 ，系统质量为( , )r tsyssysmd 根据质量守恒定律：dd0ddsyssysmdtt ()0CVCSdv n

8、dAt 由输运公式可得：上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。B4.2.1 固定控制体固定控制体p 不可压缩流体 实际上，对固定不变形的控制体，上面式子中的当地项中微分和积分运算可变换，迁移项中 为绝对速度。v当密度为常数时，式中当地项为零，迁移项中密度项可消去，得上式的物理意义是：对不可压缩流体的流动，从任何固定不变形的控制面净流出的体积流量恒为零。CSA0d)(nv0ddCSCVAtnv对不可压缩流体一维流管流动B4.2.1 固定控制体固定控制体()()0outinoutinv n dAv n dA 12QQ2211V AV A令截面1,2上的流量大小分别为

9、Q1, Q2，由流量公式可得由平均速度公式可得早在16世纪初，达.芬奇就发现了这一规律。outinQQB4.2.1 固定控制体固定控制体若控制面上有多个出入口，设出入口的流量大小为Qout, Qin，由前面的公式可得()()outinVAVA思考题：思考题： 对于连续性方程：的说法，下列哪个是对的（ ）（A）仅适用于不可压缩流体的定常流动的；（B）也适用于不可压缩流体的不定常流动；（C）适用于任何流体的定常流动。CSdAnv0)(B4.2.1 固定控制体固定控制体p 可压缩流体定常运动 B4.2.1 固定控制体固定控制体()0CSv n dA ()()outinVAVA对密度可变流体的定常流动

10、，可得 上式的物理意义是：对可压缩流体定常流动，从任何固定不变形的控制面净流出的质流量恒为零。 对一维流管流动，设出入口的质量流量大小分别为 和 ，从质量流量公式可得outm inm inoutmmB4.2.1 固定控制体固定控制体对有多个出入口的控制面上的定常流动，由前面的公式可得inoutmm()()outinVAVA例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程已知：下图是人主动脉弓模型示意图。血液从升主动脉1经主动脉弓流向降主动脉5，方向改变约180，主动脉弓上分支出头臂干动脉2，左颈总动脉3和左锁骨下动脉4。设所有管截面均为圆形，管直径分别为d1=2.5cm, d2=1.1

11、cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量分别为Q1=6 L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。试求：(1)管2的平均流量Q2； (2)各管的平均速度（用cm/s表示）。 解：由取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按不可压缩流体处理，由式Qout=QinQ1 = Q2 + Q3 + Q4 + Q5例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程（1）管2的流量为Q2 = Q1(Q3 + Q4 + Q5) = Q1(0.07+0.04+0.78)Q1 = 0.11Q1= 0.66 L/min（2）各管

12、的平均速度为 cm/s4 .20s/min 60cm 5 . 2/lcm 1000l/min 644232111dQV cm/s6 .11s/min 60cm .11/lcm 1000l/min 66. 044232222dQV cm/s2 .18s/min 60cm .70/lcm 1000l/min 6.07044232333dQV cm/s0 . 8s/min 60cm .80/lcm 1000l/min 6.04044232444dQV cm/s8 .24s/min 60cm .02/lcm 1000l/min 6.78044232555dQVB4.2.2 运动控制体运动控制体 无论是

13、惯性系还是非惯性系，只要将迁移项中的速度改为相对于控制体的相对速度，即可得运动控制体形式的连续性方程：0)(dCVCSdAtnvr对具有多个一维出入口的定常流动为 ()()routrinV AV A上两式常在旋转控制体（如流体机械）中运用。思考题：思考题： 所谓非惯性系是仅指：（A） 做加速运动的控制体； （B） 做匀角速度旋转的控制体；（C） 做非匀角速度旋转的控制体；（D） 包括以上三个答案。B4.2.2 运动控制体运动控制体相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动的参考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力学问题。已知：下

14、图为洒水器示意图。臂长R=150mm，喷水管面积A=40mm2，喷口偏转角 水从中心转轴底部流入，总流量Q=120mL/s，从两喷口流出。喷管角速度为=500转/分求：（1）管内水流的相对速度Vr。 （2）管口水流的绝对速度V。解：取包围喷管，并与喷管一起旋转的控制体，如图中虚线所示。对站在控制体上的观察者而言，水以速度Vr沿两支喷管做定常直线流动。由下式：30()()routrinV AV A111222rrV AV AQ例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程可得水为不可压缩流体 ，且 ，由两臂对称方程 ，上式化为：管内相对速度为：喷口的牵连速度为：由喷口的速度矢量合成，绝对速度为：

15、 2112rrrVVVAAA212rV AQ63621200 10/15/22(40 10)rQmsVm sAmsmmsrRU/85. 7)15. 0(min/602min)/500(221/2221/22cos (15/ )(7.85/ )2(15/ )(7.85/ )cos30 9.1/rrVVUV Um sm sm sm sm s例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程B4.3 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用 伯努利方程首次以动能与压强势能相互转换的形式确定了流体运动中速度与压强之间的关系。 伯努利方程由伯努利（D.Bernouli，1738）首先提出，后来由欧拉（L.Eul

16、er）完善其理论推导过程。B4.3.1 沿流线的伯努利方程沿流线的伯努利方程p 沿流线的欧拉运动方程 在无粘性流体的重力流场中沿流线S取一圆柱形体积元控制体（如图）,控制元长s, 端面面积为A; 两端面上的压强分别为p和p + p,重力为gAs, 在流线切线方向（即速度方向）运用牛顿第二定律可得d ( , ) cos( ) dpv a tg A sp ApsAA sst整理后取极限可得：1d ( , )cosdpv s tgstB4.3.1 沿流线的伯努利方程沿流线的伯努利方程d ( , )dv s tvvvtts由几何关系coszs将流体元的加速度表达为欧拉形式代回原式得：1d ( , )d

17、zpv s tvvgvsstts式中 s为流线坐标，z为高度坐标，p为圆柱形体积元端面压强， v为圆柱形体积元速度。B4.3.1 沿流线的伯努利方程沿流线的伯努利方程将上式沿流线积分，可得：2dd 2vvpsgzt常数（沿流线）上式为无粘流体沿流线作不定常运动时的积分方程。 上式为无粘流体沿流线运动的微分方程，又称一维欧拉运动方程。1zpvvgvsstsp 伯努利方程及其限制条件 当无粘性不可压缩流体沿流线做定常运动时，一维欧拉方程沿流线的积分形式可化为：22vpgzc伯努利方程的限制条件： 定常流动； 无粘流体（忽略粘性影响）； 不可压缩流体； 沿流线。 B4.3.1 沿流线的伯努利方程沿流

18、线的伯努利方程上式称为伯努利方程,式中c为常数。 p 伯努利方程的物理意义 表示单位质量流体的动能、位能和压能之和沿流线保持常数，即：表示单位质量流体所具有的动能表示单位质量流体所具有的位置势能表示单位质量流体所具有的压强势能表示单位质量流体所具有的总能（常数）c22vgzp动能+位能+压能=常数B4.3.1 沿流线的伯努利方程沿流线的伯努利方程伯努利方程是无粘性不可压缩流体在重力场中沿流线作定常流动时的机械能守恒方程。思考题：伯努利方程的限制条件是：定常无粘性不可压缩和沿流线。实际上在推导伯努利方程过程中未言明的还包括以下条件：（ ）（A）无旋流动； （B）等熵流动；（C）无机械能输入输出。

19、B4.3.1 沿流线的伯努利方程沿流线的伯努利方程B4.3.1 沿流线的伯努利方程沿流线的伯努利方程伯努利方程的条件虽然苛刻，但揭示的规律可应用于实际流动中去，例如解释河道流动规律，虹吸管原理及机翼升力产生原因等。已知：流体密度为，U形管内液体密度为m，液位差读数为 h 求：来流速度v与这些参数的关系式。例题B4.3.1 皮托测速管：总压强与动压强 说明：皮托测速管由法国人H. Pitot发明。结构示意图如下，由粗细两根同轴管子组成，细管（直径约1.5mm）前端开口（O点），粗管（直径约8mm ）在距前端适当长距离处的侧壁上开数个小孔（B点），在孔后足够长距离处两管弯成柄状，两管的压强被引入U

20、形测压计中。测量时管轴线需沿来流方向放置。解：设流动符合无粘性不可压缩定常流动条件，从皮托管正前方的A点沿端点O至侧壁孔B是一条流线AOB（常称为零流线）。设A点的速度为v，压强为p ，沿流线AO伯努利方程为例题B4.3.1 皮托测速管：总压强与动压强(a)在管端点O，流体速度降至零 ，称为驻点（或滞止点），p0 被称为驻点压强，U形管右支管测到的为驻点压强。由于zA=zO ，由(a)式得：(b)0020222pgzvpgzvA2012ppv例题B4.3.1 皮托测速管：总压强与动压强因 vB=v，故pB=p ，U形管左支管测到的为当地静压强。U形管内静力学关系是 (d)对流线上A,B两点，忽

21、略其高度差，伯努利方程可表示为2222BBvpvp0()mppg h上式中右端第二项称为动压强，指流体质元的动能全部转化为压强势能时应具有的压强。（b）式表明驻点压强为静压强和动压强之和，故又称为总压强。由（b）式动压强可表示为2012vpp(c)例题B4.3.1 皮托测速管：总压强与动压强(g)k 称为皮托管系数，由标定测量后确定。实际流体有粘性，实际速度比(f)式略小，应加以修正：12mvkg h 由(c), (d)两式可得21()2mvg h(e)12mvg h (f)已知：图中所示一大的敞口贮水箱，侧壁下部开一小孔，孔与液面的垂直距离h（淹深）保持常数（水位不变），孔口面积为A。求：小

22、孔出流速度v ；流量Q 。例题B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应 解： 设流动符合无粘性不可压缩定常流动条件。从自由液面上任选一点（O）至小孔画一流线。列伯努利方程)(2220020apgZvpgzv液面速度取为零 v0= 0，液面和孔口均为大气压强 p0= p =0（表压），由（a）式可得02 ()2( )vg ZZghb例题B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应 讨论1：（b）式称为托里拆里（E.Torricelli, 1644）公式，该式也适用于平行于液面的狭缝出流。（b）式形式上与初始速度为零的自由落体运动一样，这是不考虑流体粘性损失的结果，液面上流体质元具有的

23、位能全部转化为小孔出流的动能。02 ()2( )vg ZZghb例题B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应 小孔出流流量应为 在孔口，由于两侧流体的运动惯性，流线不平行，形成缩颈效应，如图b所示。设缩颈处的截面积为 Ae，与孔口截面积A之比称为收缩系数 ：/( )eAAc2( )eQVAV AAghd上式中的h应取液面至小孔中心的垂直距离。收缩系数 与孔口边缘状况有关，如图所示, 图（b）为锐角边=0.61 ，图（c）为内伸管锐角边 =0.5 ，图（d）为流线型圆弧边 1 （没有收缩）。例题B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应 2( )QAghf讨论2：实际流体具有粘性，

24、在孔口因微团碰撞和摩擦均有能量损失，实际孔口出流速度应小于（b）式，流量小于（d）式，均应乘上一修正系数k0.1h ）应考虑速度不均匀分布的影响。说明：三角堰是一种简单而又实用的水力流量计。在明渠中人为设置一带三角形孔的薄壁障碍物，称为三角堰。堰造成上游水位壅高，测量壅高高度可计算渠内流量。已知：下图为一个三角堰，倒三角孔口夹角为，上游水面距角尖的淹深为 h，流动为定常的。求：三角堰流量Q的表达式。解：取 Z 轴由水面铅锤向下，通过角尖。考察三角孔口上淹深为 Z ，面积为bdz的狭缝微元面上的流量，利用托里拆里公式例题B4.3.1B 三角堰流量计：孔口速度不均匀分布其中f()应略小于理论值，由

25、实验测定。例题B4.3.1B 三角堰流量计：孔口速度不均匀分布总流量为但是考虑到粘性及孔口收缩等影响，令p 沿流线法线方向的速度压强关系式 当无粘性不可压缩流体在重力流场中沿流线作定常流动时，如图，在流线上沿法线方向取圆柱形体积元由牛顿第二定律可得：B4.3.2 沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程整理后取极限，考虑几何关系：若忽略重力影响（流体平行于地面流动时），可得：B4.3.2 沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程取R 0则p/n 0，即弯曲流线外侧的压强总是大于内侧，这是流线发生弯曲的原因。上式为无粘性不可压缩流体在流线法线方向的速度压强关系式。式中R为流线曲率半径，n为曲率半径方向的

26、法线坐标，z为高度坐标，p为圆柱形体积元端面压强，v为圆柱形体积元的速度。可得：思考题： 在流线法线方向的关系式： 中 为流线曲率半径， 为流体速度，由此可判断：（1）当 和 不变时，流体速度大，要求法向压强梯度： （a）大；（b）小。（2）保持 和 相同时，密度大的流体，要求法向压强梯度： （a）大；（b）小。（A）a,a;（B）a,b;（C）b,a;（D）b,b。Rvnp2RnRRvB4.3.2 沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程p 缓变流有效截面上的压强分布 B4.3.2 沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程当流动为缓变流 R ，且考虑重力时，可得上式沿n方向积分可得或上式表明在缓变流

27、中（图中A1, A2截面），沿流线法线方向的压强分布规律与静止流体中一样。利用上述性质，通过测量缓变流边界上的压强，可计算内部流线上的压强，将伯努利方程推广应用到缓变流流束和总流上去。 （1）p 沿总流的伯努利方程 伯努利方程描述单位质量流体沿流线流动时总机械能守恒。在由无数流线组成的流束中，将伯努利方程中三项机械能在有效截面A上按质量流量积分，总机械能沿流束仍保持守恒，即工程上常将上式化为沿总流的形式，并用总流有效截面上的平均速度代替不均匀的速度分布，为此引入动能修正因子 ，定义为：若截面A符合缓变流条件，将（1）（3）代入到（2）中，考虑到 Q=常数，可得：B4.3.2 沿总流的伯努利方程

28、沿总流的伯努利方程（2）（3）（4）和（5）两式称为沿总流的伯努力方程或一维平均流动伯努力方程。沿总流伯努力方程成立的限制条件：（1）忽略粘性；（2）不可压缩流体；（3）定常流动；（4） A1、A2 截面符合缓变流条件，其它截面上允许有急变流存在。B4.3.2 沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程（4）常用的形式为沿总流取两个缓变流截面A1、A2，平均速度分别为V1、V2，可得（5）如下图所示，文丘里管（Venturi tube）是一段先收缩后扩张的变截面直管道，管截面面积变化引起流速改变，从而导致压强改变。通过测量不同截面上的压强差，利用沿总流的伯努利方程计算管内流量，是用于定常流动的常用流

29、量计。按图中所示条件，求管内流量Q。 例题B4.3.2 文丘里管：沿总流的伯努利方程解：设流动符合不可压缩流体定常流动条件，忽略粘性。取大小直圆管的截面为A1、A2，平均速度为V1、V 2，流体密度为，由沿总流的伯努利方程，设 1 =2 = 1(a)移项可得(b)例题B4.3.2 文丘里管：沿总流的伯努利方程(c)及(d)由于A1、A2截面上为缓变流，截面上的压强分布规律与U形管内静止流体一样，分别可得设U形管内液体的密度为m，液位差为h 。由于3，5点位于等压面上p3= p5，由压强公式可得例题B4.3.2 文丘里管：沿总流的伯努利方程(e)(f)将上两式代入(d)式可得将(c )、(e )

30、式代入(b)式，整理后可得2221(1)2mVVgh由连续性方程例题B4.3.2 文丘里管：沿总流的伯努利方程上式中代入（f）式，整理后可得大管的平均速度为(g)称为流速系数，文丘里管的流量公式为(h)(i)讨论：当、m确定后，Q与h的关系仅取决于文丘里管的面积比 A1 / A2，且与管子的倾斜角无关。文丘里管中收缩和扩张段内的流动不符合缓变流条件，伯努利方程的计算截面不能选择在这两段内。在本例中，选择的A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不影响应用伯努利方程。B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义沿总流的伯努利方程可改写为：该式表示无粘性不可压缩流体作定常流动时单位质量流

31、体沿总流机械能守恒，该式是水力学中常用的形式。如图，在水力学中：将相应的水头高度连成线称为水头线。水面线为测压管水头线，总水头线保持定值。思考题： 在下图所示的伯努利方程的水头线图中，理论总水头线（实线）保持水平，但实际水流的总水头线（虚线）是逐渐下降的这是因为（ ）（A）下游坡度变陡（B）下游水中压强增大（C）水的粘性影响。B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义B4.3.4 不定常伯努利方程不定常伯努利方程对于粘性不可压缩流体的不定常流动，由欧拉一元运动方程沿流线从位置1到位置2积分可得：上式为不定常流伯努利方程。式中最后一项表示单位质量流体的非定常惯性力沿流线从位置1到

32、位置2所做的功。已知：图示开口式U形管，管内液柱长 l 。设液柱从液面高度差位为2h的静止状态开始，在重力作用下做震荡运动，各点的速度随时间变化。求：液柱振荡规律。解：取平衡位置为坐标原点，z轴铅垂向上，左右液面分别记为（1）和（2）。例题B4.3.4 U形管内振荡流：不定常流伯努利方程因管截面面积处处相等由不可压连续性方程，速度也处处相等：)()()(21tVtVtV非定常惯性力所做功为ldtdVldtdVdldtdVdltV212121(a)例题B4.3.4 U形管内振荡流：不定常流伯努利方程因 z1=-z2, p1=p2=0，（表压），由不定常流伯努利方程可得上式表明非定常惯性力所做功与

33、流体位能的守恒关系。考虑到v2=dz2/dt，上式可化为上式为简谐振动方程。当初始条件为 t = 0时， z2=h及 dz2/dt =0，可解得0222 gzdtdVl(b)022222zlgdtzd)2cos(2tlghz (c)例题B4.3.4 U形管内振荡流：不定常流伯努利方程讨论：该简谐振动的频率为 ，由重力加速度和液柱长决定，液柱越长振动频率越低，这种情况同单摆相似（单摆振动频率为 ，l为摆长）。液柱振动周期为 ，振幅为h。lg2glT22lg)2cos(2tlghz B4.4 积分形式的动量方程及其应用积分形式的动量方程及其应用设 ，流体系统的动量为vr)t ,(根据牛顿第二定律上

34、式称为流体系统的动量方程， 为作用在流体系统上的合外力。B4.4.1 固定控制体固定控制体 如下图，在流场中取固定不变形的控制体CV，控制面CS。设在 t 时刻，作用在流体系统上的合外力与作用在控制体上的外力也重合。上式为对固定不变形控制体的流体动量方程, 式中v均取绝对速度。设在 t 时刻，流体系统与控制体相重合，利用输运公式可得系统动量在控制体上的随体导数：当流动为定常时，动量方程中的当地项为零，方程变为：上式为对固定不变形控制体的定常流动动量方程，该式表明: 定常流动中作用在控制体上的合外力等于从控制面净流出的动量流量（见图）B4.4.1 固定控制体固定控制体p 沿流管的定常流动 B4.

35、4.1 固定控制体固定控制体图示为一维流管控制体，出入口截面为A1, A2，平均速度为 V1, V2，净流出流管的动量流量为这里 , ，为出入口质量流量大小，式中负号是因为入口端的(v n) 0。1m 2m 上式称为沿流管的定常流动动量方程或一维定常流动动量方程。 运用可压缩流体定常流动连续性方程B4.4.1 固定控制体固定控制体mmm21FVV)(m12由动量方程可得它表明: 流出流管的动量流量减去流入流管的动量流量等于作用在流束上的合外力。 思考题: 对一维定常流动的动量方程 ，请判断如下说法哪个是错误的（ ）（A） 坐标系可任意设定；（B） 合外力作用方向可任意设定；（C） 但分量式中速

36、度和外力的正负号与坐标 系的选择和外力方向的设定均有关；（D） 作用在控制体上的合外力等于净流入的 动量流量。B4.4.1 固定控制体固定控制体p 在具有多个一维出入口的控制体上的定常流动 B4.4.1 固定控制体固定控制体当控制面上有多个一维出入口时，由不定常流动动量方程可得：FVVinout)()(iiiimm式中：out代表是出口，in代表是入口， 应满足连续性方程要求。思考题： 关于动量方程中的 ，下列说法正确的是（ ） （A）流体对固壁的作用力合力；（B）固壁对流体作用力的合力；（C）作用在控制体上的作用力合力；FB4.4.1 固定控制体固定控制体已知：下图是人主动脉弓模型示意图。血

37、液从升主动脉1经主动脉弓流向降主动脉5，方向改变约180，主动脉弓上分支出头臂干动脉2，左颈总动脉3和左锁骨下动脉4。设所有管截面均为圆形，管直径分别为d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量分别为 Q1=6L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。设血液密度为=1055 kg/m3试求：血流对主动脉弓的平均冲击力F。 例题B4.4.1A 主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程yx解：由取图中虚线所示控制体，并建立坐标系如图所示。血流对主动脉弓的冲击力为F，设控制体受到的外力仅为-F

38、。这是控制面有多个一维出入口的问题，用动量方程：例题B4.4.1A 主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程yx质流量例题B4.4.1A 主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程主动脉弓的平均受力为(mV)x = Q1(0.11V2sin16+ 0.07V3sin6+ 0.04 V4sin23) = (0.1055kg/s) 0.11(0.116m/s)(0.2756) + 0.07(0.182m/s)(0.1045) + 0.04(0.08m/s)(0.3907) = 110 4 N (mV)y = Q1(0.11V2cos16+ 0.07V3cos6+ 0.04 V4cos23 0.78V5 V1

39、 ) = (0.1055kg/s)0.11(0.116m/s)(0.9613) + 0.07(0.182m/s)(0.9945) + 0.04(0.08m/s)(0.9205) 0.78(0.248m/s) (0.204m/s) = 0.039 N讨论：结果表明血流的平均冲击力很小。实际上主动脉弓除了受到血流冲击力外还有各出入口压强合力，而且由于心脏的搏动，这些力都是随心动周期变化的。xFyF已知:如下图，收缩喷管底面积为 ，进出口速度为： ，现设喷管前半部向下弯曲，偏转角 , 忽略重力。求：喷管所受的力F。 smQmA/02. 0,00636. 0320smVsmV/29.28,/14. 3

40、3030解：建立图示坐标系oxy和包围喷管内流体的控制体CV。忽略重力，沿管轴列伯努力方程例题B4.4.1B 弯曲喷管受力分析：压强合力影响因上式中 ，i为x方向单位矢，动量方程的x方向分量式为 设力 F 如图所示，则流体控制体上受喷管合外力为 -F。由一维定常流动动量方程可得：例题B4.4.1B 弯曲喷管受力分析：压强合力影响3100.0220/mQKg s压强合力动量变化例题B4.4.1B 弯曲喷管受力分析：压强合力影响y方向分量式为讨论：从上述结果可看到弯曲喷管受力中压强合力占主要部分，流体加速造成的动量变化引起的力只占次要部分。当角改变时，压强合力保持不变，仅动量变化引起的力发生变化，

41、且占的比例较小。如在Fx中动量变化占的比例在 =83.62为零。在 =180时最大为25 。因 ，故 ；由不可压缩条件 。已知:如下图，一股由喷管流出的自由射流沿水平方向冲入固定导流片水平入口，水流截面积 ，速度 。设水流沿导流片偏转以角度 后流出，忽略质量力和粘性影响。求：射流对固定导流片的冲击力 与 的关系。 解：建立图示坐标系和控制体，按一维流动处理，设出口速度为 ，由伯努力方程：2110cmA smV/451F2V例题B4.4.1C 自由射流冲击固定导流片：偏转角的影响120pp12VVV12AAA例题B4.4.1C 自由射流冲击固定导流片：偏转角的影响123342 (10g/)(45

42、/ )(40 10)180/mmmQVAkmm smkg s质流量为设F如图示，控制体所受的合外力为F ，由动量方程21()m VVF12()AFVVV或2(cos )(1 cos )(180/ )(45/ )(1 cos )8100(1 cos ) ()xFVA VVV Akg sm sN2sinsin8100sin()yFVAVV AN例题B4.4.1C 自由射流冲击固定导流片：偏转角的影响讨论：本题中水流对导流片的冲击力完全由出入口动量变化决定。作用力大小和方向由（a）和（b）式决定。随着角增大，冲击力F逐渐增大，方向从y 轴负方向（=0+）逐渐转到x轴正向（ =180 ）。1(/)si

43、n/(1 cos )yxarctg FFtg228100 2(1 cos ) ()xyFFFN（a）（b）作用力大小和方向令 ， vr为运动坐标系中的相对速度。由动量定律和输运公式可得B4.4.2 匀速运动控制体匀速运动控制体 当控制体作匀速运动时，固结于控制体上的坐标系仍是惯性系。上式为匀速运动控制体的流体动量方程。rv FnvvvAtrrrd)(dCSCV当流动为定常时： 如下图，对具有多个一维出入口的控制体中的定常流动：B4.4.2 匀速运动控制体匀速运动控制体()()rrrroutinmmvvF式中： 为运动坐标系中的质流量rm 已知:一车厢以 的速度做匀速直线运动，一般由固定喷管流出

44、的自由射流沿车厢前进方向冲入固结于车厢上的导流片，水流截面积 ，速度 ，水流沿导流片偏转一角度 后流出，忽略质量力和粘性影响。求：射流对固定导流片的冲击力F 与 的关系。 解：建立图示坐标系和控制体，按一维流动处理，在坐标系中，入口和出口的速度分别为 ,由伯努力方程：2140cmA smVe/15smV/4521,rrVV例题B4.4.2 自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响因 ，故 ，由不可压缩条件 ，质流量为例题B4.4.2 自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响120pp121(45 15)/30/rrreVVVVVm sm s12AAA123342 (10g/)(30/ )(40

45、 10)120/rrrrrmmmQV Akmm smkg s作用在控制体上的外力为 ，由动量方程21()rrm VVF12()rrrAFVVV或2(cos )(1 cos )(120/ )(30/ )(1 cos )3600(1 cos )xrrrrFV A VVV Akg sm s2sinsin3600sinyrrrFV AVV A例题B4.4.2 自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响讨论：计算结果表明与例B4.4.1C相比，除了冲击力减小外，其余结果相似，相当于用绝对速度 v=30m/s，冲击固定导流片情况一样。结果相似1(/)sin/(1 cos )yxarctg FFtg22360

46、0 2(1 cos )xyFFF（a）（b）作用力大小和方向B4.5 积分形式的动量矩方程积分形式的动量矩方程B4.5.1 固定的控制体固定的控制体根据动量矩定律，流体系统的动量矩方程为：设 ，r为从原点到流体元的矢径，v为流体元的速度。由系统广延量定义，流体系统的动量矩为)()t ,(vrrsyssysdvrLsyssysdddddMvrLttM为作用在流体系统上的合外力矩。（a）如图，在流场中取固定不变形的控制体CV，控制面为CS。设在 t 时刻流体系统与控制体相重合，利用输运公式，可得系统动量矩在控制体上的随体导数：设在t时刻作用在流体系统上的合外力矩与作用在控制体上的合外力矩也重合:B

47、4.5.1 固定的控制体固定的控制体CSCVsyssysd)(d)(dddAtDtDtnvvvrvrLr（b）上式为对固定不变形控制体的流体动量矩方程。式中v为绝对速度。合外力包括重力、表面力等全部外力对原点的力矩：B4.5.1 固定的控制体固定的控制体由（a）式和（b）式可得：CSCVd)(d)(tMnvvrvrAt)(FrMB4.5.1 固定的控制体固定的控制体当流体绕定轴旋转时常单列出由转轴产生的力矩，称为轴矩Ts, 即将动量矩方程应用于定轴转动的流体机械时，在一般情况下，重力和表面力对转轴的力矩与轴矩相比可以忽略，而且正常运行时流动可视为定常的，方程可简化为p 定轴旋转流场动量矩方程

48、sTFrM)(上式为定轴匀速转动流场的动量矩方程一般式，常用于涡轮机械。p 欧拉涡轮机方程 右图为涡轮机转子示意图，转子绕z轴以匀角速度旋转，流体以均匀分布的绝对速度V1 流入内圆面（半径为r2），质流量为 ；以均匀分布的绝对速度V2流出外圆面（半径为 r1），质流量守恒质流量守恒。m B4.5.1 固定的控制体固定的控制体B4.5.1 固定的控制体固定的控制体定义轴功率 ，由上式可得：ssWTmVrVrW2)(112s考虑到牵连速度 ，上式又可表示为UrmVUVUWs)(1122由定轴匀速转动流场的动量矩方程得：mVrVrTs)(1122上式称为欧拉涡轮机方程，式中V1 , V2 为转子内外

49、圆上切向速度分量，负号是因为在内圆上(vn)0 。该式适用于各类定轴旋转流体机械。思考题: 请指出下列说法中正确的说法：（ ）（A） 欧拉涡轮机方程仅适用于涡轮机，即输出功的机械； （B） 欧拉涡轮机方程既适用于输出功的机械（Ts0 ，如泵类）；（C） 欧拉涡轮机方程仅适用于不可压缩流动。B4.5.1 固定的控制体固定的控制体mVrVrTs)(1122已知:如图一小型离心泵（轴向进水，径向出水），入口直径 , 出口直径 ，叶轮宽 , 叶轮转速 ,出流径向速度为 。试求：（1）输入叶轮的轴距 ； （2）输入轴功率解：取包围整个叶轮的固定控制体如图中虚线所示，忽略体积力和表面力。设流动是定常的，由

50、连续性方程可得:smVn/32mmd301mmd1002mmb10min/4000 rn )(mNTs()sW W例题B4.5.1 混流式离心泵：固定控制体动量矩方程)kg/s9.425(30.011 . 010mm32221nbVd例题B4.5.1 混流式离心泵：固定控制体动量矩方程叶轮旋转角速度为 = 2n / 60 = 24000 / 60 = 418.88 (rad/s )V2 = R2 = d2 /2 = 418.880.1 / 2 = 20.94 (m/s)流体的出口切向速度为因入口为轴向流动，V1= 0，由欧拉涡轮机方程，轴矩为)mN(9.869.42520.9420.12)(2

51、112-mVdmVrVrT12s输入功率为)kw(4.139.86418.88)(2122ssTmVrVrWB4.6 积分形式的能量方程积分形式的能量方程设 (r, t)=e，e为单位质量流体的储存能：B4.6.1 固定的控制体固定的控制体22veegzsyssysEe d式中: e为单位质量流体的内能，v2/2为单位质量流体的动能，gz为单位质量流体的重力势能。 由系统广延量的定义式，流体系统的能量为(1) 设在 t 时刻流体系统与控制体相重合，利用输运公式，可得系统能量在控制体上的随体导数：Ddd()dDsysCVCSeeeAttvn如图，在流场中取固定不变形的控制体CV，控制面为CS。B

52、4.6.1 固定的控制体固定的控制体dddddsyssysEeQWtt根据热力学第一定律，流体系统的能量方程为(2)(3)B4.6.1 固定的控制体固定的控制体 设在 t 时刻, 单位时间外界传入系统的热能与外界传入控制体的热能相同，系统对外界所做的功与控制体内流体对外界所做的功也相同，由(2)和(3)式，可得：d()dCVCSeeAQWtvn上式中， 包括在控制面上流体压强所作功率 和通过旋转轴表面所作的功率（轴功率） , 及粘性切应力所作摩擦功 ：WCSApd)(nvsWvWCSvsWWApWd)(nv(4)(5)上式为对固定不变形控制体的流体能量方程。u 若流动为定常的，上式可变为：2d()()d2svCVCSvpeegzAQWWvnB4.6.1 固定的控制体固定的控制体将（5）式代入（4）式中，并利用（1）式，可整理得：2()()d2svCSvpegzAQWWvnu 当控制体有多个一维出入口时（如图），忽略粘性切应力所做功率，由定常流动能量方程可得：B4.6.1 固定的控制体固定的控制体sinin2outout2)2()2(WQmpgzVempgzVe)2(2pgzVe上式中 取出入口截面上的平均值。 u 若只有一个出口（如图） ：B4.6.1 固定的控制