矩阵续-实对称矩阵的相似矩阵

1、1/242/24()()TTTTXAXX A XAXXTTXXX X ()TTXXX X 性质性质1 1nCXCXAX )0(, AXX AXAXX ()0TX X3/24性质性质2 2实对称矩阵的属于不同特征值实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交的特征向量正交4/24021 XXT5/24性质性质3 3 设设 是是n级实对称矩阵级实对称矩阵A的的s重特征重特征 值，则矩阵值，则矩阵 的秩的秩 ， AE ()R AEns 从而对应特征值从而对应特征值 恰有恰有s 个线性无个线性无关的特征向量关的特征向量. . 证明证明 略略6/24定理定理1 任意实对称矩阵任意实对称矩阵A都与对角矩阵相似

2、都与对角矩阵相似定理定理2 设设A为为n级实对称矩阵，则存在正交级实对称矩阵，则存在正交 矩阵矩阵P，使得，使得P -1AP=D，其中，其中D是以是以 A的的n个特征值为对角元素的对角矩个特征值为对角元素的对角矩 阵阵.7/24计算步骤：计算步骤：求正交矩阵求正交矩阵P,化实对称矩阵化实对称矩阵A 为对角矩阵为对角矩阵11( )det()()0,.isnAiisijiifAEijnn 其其中中8/2412, ()0 ,.iiiiiinAE X 对对每每个个求求的的基基础础解解系系2 对每个特征值求特征向量对每个特征值求特征向量9/24将将每每组组基基础础解解系系标标准准正正交交化化；1212,

3、 ,.iiiiiniiinSchmidt 对对每每组组基基础础解解系系利利用用标标准准正正交交化化过过程程，得得10/2411111112-111(,),(,).snsssnTssPP APP APdiag 令令则则有有， , , ，1nsn4 作正交矩阵作正交矩阵P，使得，使得P-1AP为对角为对角阵阵11/24222222254254245011222242(1)254(1)2940110012(1) (10)12/2412310822(10)2540245xAE Xxx 13232 0 0 xxxx 82224520125409901124501818000 1122T 13/24123

4、1122()2440244xAE Xxx 122122244000244000 23210,011TT14/24222323322, 123122210011TTT 0221411455105 123112231210512453 5TTT 15/24122353 5214353 525033 5Q 11000010001Q AQ Q不唯一不唯一16/24 2011,T 123112231011224116TTT 12 2033212362212362Q 3123Txxx 423,0 单位化单位化230 xx 11T17/24练习练习:13124242 ,421,.ATTAT 设设实实数数域域

5、上上的的 级级对对称称矩矩阵阵求求正正交交矩矩阵阵使使得得为为对对角角矩矩阵阵18/24答案答案: 3/23503/115525523/2155455T 1235,120,1014,2 12TTT 19/2420/2431320 0XXXX，3123(,)1TXxxx 解解：设设是是属属于于的的特特征征,)1, 1, 1(3TX ,向向量量 则则由由21/24则则22/24作作 业业1. 422310 1) 242 2)121224013 求求一一正正交交矩矩阵阵，将将下下列列实实对对称称矩矩阵阵化化为为对对角角矩矩阵阵. . 12. 0 1 1 0011,.TAAA 设设三三级级实实对对称称

6、矩矩阵阵 的的特特征征值值为为 ， ， ， 的的属属于于的的特特征征向向量量为为求求23/24例1111001.10.15, 1,2,0.10.85,0(,) ,1,2,.12nnnnnnnnTnnnxxynyxyxynxynxyn L LL L考考察察栖栖息息在在同同一一地地区区的的兔兔子子和和狐狐狸狸的的生生态态模模型型。两两种种动动物物的的数数量量的的相相互互依依存存关关系系可可用用以以下下模模型型描描述述：其其中中 ，分分别别表表示示第第 年年兔兔子子和和狐狐狸狸的的数数量量，而而 ，表表示示基基年年（ ）兔兔子子和和狐狐狸狸的的数数量量，记记）写写出出该该模模型型的的矩矩阵阵形形式式；）000(,)(10,8)3TTnxyn 如如果果，求求；）当当时时，可可以以得得到到什什么么结结论论？24/24解：解：0126424 (0.95)(0.95).44nnnnA 0108 -11.10.151).,1,2,0.10.85nnAAn L L记记则则0012102).,|-