第三章复变函数的积分

1、 复变函数复变函数 与积分变换与积分变换 主讲：主讲：-大学大学-学院学院 二零一五年三月二零一五年三月 大学数学多媒体课件大学数学多媒体课件2022-5-202参考用书参考用书2022-5-203 目目 录录2022-5-204 内容提要：在微积分中，当引入实变量函数的积分后，可以解决很多的重要的问题，在复变函数中也一样，当引入复变函数的积分后，也可以解决很多理论及实际问题如有了积分可以证明一个区域上有导数的函数就有无穷多阶导数，可以将一般的解析函数分解成一些最简单的函数的迭加，这就给研究解析函数的性质提供了强有力的工具，今后还可以看出用复变函数的积分给计算某些定积分带来很大的方便 本章内容

2、与实变量二元函数有紧密关系，特别是二元函数的第二类曲线积分的概念、性质和计算方法，全微分及积分与的问题，格林公式等 2022-5-2053.1 复积分的概念3.2 柯西积分定理3.3 柯西积分公式3.4 解析函数的高阶导数本章小结v 思考题2022-5-206一、积分的定义一、积分的定义 有向曲线有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选 定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有向曲线与曲线C反方向的曲线记为 定义1： 简单闭曲线正向简单闭曲线正向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方，这时曲线方向称为正方向 ( )wf

3、 zD设函数定义在 内，C为区域D内起点为A终点为B的一条有向光滑的简单曲线 (1)Cn把曲线 任意分成 个小弧段，设分点为：0121,kknAzz zzzzB(0,1,2, )kkkzxiy kn其中，分1C2022-5-2071(2)(1,2,)kkkkkzzkni粗：在每个弧段上，任取一点，1()()(),kkkkkfzfzz则1.kkkkkzzzxi y 其中111()()(),nnkkkkkkkfzzfz(3)和：0n(4)精：设 表示 个小弧段的最大长度，当时，kC无论 怎样分，怎样取，( )f zCAB则称此极限值为函数沿曲线 自 到 的复积分.01( )lim().nkkCkf

4、 z dzfz记作：().类似于微积分中的曲线积分如果和式的极限唯一存在，C0zA1z1kzkz1nznzBkOxy2022-5-208( ),CCf z dz(1)若 为闭曲线，则沿闭曲线积分为(2)( )Cf z dzCAB积分表示沿曲线 自 到 的复积分，( )Cf z dzCBA积分表示沿曲线 自 到 的复积分.二、积分存在条件及其计算方法二、积分存在条件及其计算方法 ();C的正方向是逆时针方向定理1：( )( , )( , )f zu x yiv x yC设函数在光滑曲线 上连续，( )Cf z dz则复积分存在，且有积分公式：( )( , )( , )( , )( . )CCCf

5、 z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy1( )( )( ).nCCCf z dzf z dzf z dz123,nCC C CC(3)若曲线 是由等光滑曲线段依次相互连接而成，则有2022-5-209证明：11() (,)(,)()nnkkkkkkkkkkfzuivxi y 11 (,)(,) (,)(,)nnkkkkkkkkkkkkkkuxvyivxuy ( )f zC由于函数在光滑曲线 上连续，( , ), ( , ),u x y v x yC在光滑曲线 上也连续0当时，( )( , )( , )( , )( . ).CCCf z dzu x y dx

6、v x y dyiv x y dxu x y dy上式右端极限存在，且有注意：(1)( )( , )( , )f zu x yiv x yC当函数在光滑曲线 上连续，(2)( )Cf z dz可以通过两个二元实变函数的曲线积分来计算.( )Cf z dz则复积分存在；2022-5-2010( )Cf z dz( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )( )Cf z dzu x ty tiv x ty tx tiy tdt( ) ( ) ( ).Cf z dzf z t z t dt( ),( )xx tCtyy t 光滑曲线 参数方程：( )( )( ),Czz tx tiy tt 复

7、数形式的曲线 参数方程：( )( , )( , )( , )( . )CCCf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy这种计算复积分方法在已知曲线C方程的条件下适合( ),( )()().CCf zuiv dzdxidyf z dzuiv dxidy令则2022-5-2011 例1解：320iz dz沿下列路线计算积分，其中(1)3i自原点至的直线段；(2)33. i自原点沿实轴至 ，再由铅直向上直线至3i(1)连接原点至的直线的参数方程为：(3) ,01zi tt 312200(3) (3)iz dzi ti dt13 20(3) i t dt3 3 13

8、011(3)|(3) .33i ti(2):,03:3,01OA zxxAB ziyy曲线方程为：，32220iOAABz dzz dzz dz312200(3)(3)x dxiy diy3 33 10011(3) 33xiy333311113(3)3(3)3333ii注意：沿不同的路径积分的结果是相同的，即积分与路径无关， 33 i2022-5-2012 例2010.()nCdzCzrnzz计算，其中 为以 为中心， 为半径的正向圆周， 为整数解：22200()()xxyyr圆周的参数方程为：00cos,02sinxxryyr00(cos )(sin ),02zxri yr复数形式的参数方程

9、为：000()(cossin ),02izxiyrizre10()nCdzzz2221(1)000iinni nninnire diidedrer er0n 当时，21002;()nCdzidizz0n 当时，2100(cossin)0.()nnCdziindzzr102,00,0()nCindznzz综上所述：这个积分结果以后常用，它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关 2022-5-2013 例3CzdzC计算的值，其中 为01(1)1(1) ,01ziCzi tt 沿从原点到点的直线段 ：12(2)1,01zCztt 沿从原点到点的直线段：1031,01zzCzitt 与从 到 的直线

10、段：所接成的直线.01zi 11z 解：1100(1)()(1)21;Czdztiti dttdt23(2)CCCzdzzdzzdz1100(1)tdtit idt11()122ii 由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，但由于沿不同的曲线积分，所以积分值也是不同的2022-5-2014三、复积分的性质三、复积分的性质 因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立 (1)( )( );CCf z dzf z dz (2)( )( ),();CCkf z dzkf z dz k为常数(3) ( )( )( )( );CCCf zg z dzf z dzg z d

11、z1212(4)( )( )( );CCCf z dzf z dzf z dzCCC，(其中(5)( )( ).CCf z dzf z ds2022-5-2015证明性质（5）： 1|()|nkkkfz1|()|nkkkfz1|()|,nkkkfs1kkkszz其中是小弧段的长，22|kkkkzxys 22| |dzdxidydxdyds注意：，因此01lim|()|nkkkfz01lim|()|nkkkfz01lim|()|nkkkfs( )( )CCf z dzf z ds( )( )CLf zCf zM特别地，若曲线 的长度为 ，函数在 上有界，即：( )( )CCf z dzf z d

12、sML（估计不等式） 2022-5-2016 例434,Ci设曲线 为从原点到点的直线段解：(34 ) ,01Czi tt 的参数方程为：11CCdzdszizi由估计不等式：221111(34 )3(41)9(41)zii tittittC因为在 上，所以21534925()2525t155255.333CCdzdszi从而有：1.Cdzzi试求积分绝对值的一个上界2022-5-2017 例532| |0lim0.1zrrzdzz试证：证明：0,1rr这里讨论故不妨设，334222| |2|2111zrzrrdzrzrr0r 上式右端当时的极限为0，故左端极限也为0,32| |0lim0.1

13、zrrzdzz即：有估计不等式得：| zr因为在上，33332222,1111zzzrzrzz2022-5-2018从上一节所举的例子来看: 2( )f zz例1中的被积函数在复平面内是处处解析的，它沿连接起点及终点的任何路线积分值都相同，换句话说，积分是与路径无关的 ( ),f zzuxvyCR 例3中的被积函数，它的实部虚部不满足方程，.Czdz所以在平面上处处不解析，且积分与路径有关0010()nzCzz例2中的被积函数当时为，它在以 为中心的圆周 内部00zz不是处处解析的，因为它在 没有定义，当然在 处不解析，而此时积分：020.Cdzizz 由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线

14、积分值为零的条件与被积函数的解析性及区域的单连通性有关究竟关系如何，下面我们讨论此问题 00zzC如果把 除去，虽然在除去 的 的内部，函数处处解析，但是这个区域已经不是单连通区域.2022-5-2019一、柯西积分定理一、柯西积分定理 ( )f zD设函数在单连通区域 内定理2：（柯西古萨基本积分定理） ( )f zDC那么函数在 内沿任何一条封闭曲线 的积分为零，( )0.Cf z dz D(1)单连通区域C(3)闭曲线(2) ( )f zD在区域 内处处解析( )0.Cf z dz 则柯西积分定理表明，函数满足一定的条件，则积分与路径无关 处处解析，即：2022-5-2020证明：( )

15、( )( )f zDfzfz因为函数在区域 内解析，故存在,(下面在连续的假设下证明uv因为 与 的一阶偏导数存在且连续，故应用格林公式得：( )()()( , )( , )( , )( . )CCCCf z dzuiv dxidyu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy()()GGvuuvdxdyidxdyxyxy ( ),GCf zCR其中 为简单闭曲线 所围区域，由于函数解析，方程成立( )0.Cf z dz( , ),( , )LP x y Q x y格林公式：（1）曲线 封闭、正向；（2）具有一阶连续偏导数；().LDQPPdxQdydxdyxy则( )(

16、).f zfz以后我们会证明只要函数解析，必连续2022-5-2021说明：(1)( )CGf zGC若曲线 是 的边界，如果函数在 内和 上解析，那么仍有：( )0.Cf z dz D(1)单连通区域C(2)闭曲线(3) ( )f zGC在 内和 上解析( )0.Cf z dz 则(2)( )f zGGGC若函数在 内解析，在闭区域上连续，仍有：( )0.Cf z dz D(1)单连通区域C(2)闭曲线(3) ( )f zGGGC在 内解析，在上连续( )0.Cf z dz 则2022-5-2022定理3：01( )f zDzzD设函数在单连通区域 内解析， 与 为 内任意两点，120112

17、CCzzCCD与为连接 与 的积分路线，与都含于 内，则12( )( )CCf z dzf z dz1C2C0z1zD12( )( )CCf z dzf z dz1212( )( )( )0CCCCf z dzf z dzf z dz证明：依柯西-古萨基本定理12( )( ).CCf z dzf z dz2022-5-2023 例6sin|1| 102.CzdzCz计算积分，其中 是圆周的上半周，从 到解：sin z因为函数是全平面的解析函数，由柯西-古萨基本定理:1,C它的积分与路径无关，于是可以换一条路线沿实轴从0到2积分得：1sinsinCCzdzzdzoxyC1C220sin1 cos

18、2.xdx 2022-5-2024二、复合闭路定理二、复合闭路定理 定理4：（闭路变形定理） 1212CCCC设与是两条简单闭曲线，在内部，1212( )f zCCDDDCC函数在与所围成的二连通区域 内解析，而在上连续，12( )( ).CCf z dzf z dz1C12CABCD1,LAB BC CD DA设2,LBA AD DC CB由柯西 古萨基本定理得：12( )0,( )0LLf z dzf z dz12( )( )LLf z dzf z dz证明：112( )( )0,CCf z dzf z dz12( )( ).CCf z dzf z dz 一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因

19、闭曲线在区域内作连续的变形而改变它值这事实称闭路变形定理闭路变形定理 则2022-5-2025推论：（复合闭路定理） CD设 为多连通区域 的一条简单闭曲线，12,nC CCC 是在 内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以12,( )nC C CCDf zD为边界的区域全包含于 ，如果函数在 内解析，则1( )( ),knCCkf z dzf z dz1C2CnCCD( )0f z dzkCC其中 及均取正方向.(1,2, )kCCkn这里 为 及，C是 按逆时针进行，所围成的复合闭路,其方向kC按顺时针进行.2022-5-2026002CdzCzizz在本章第一节的例2知：当 为

20、为中心的正向圆周时，002.PdzzPizz根据闭路变形原理，对包含 的任何一条正向简单闭曲线 ，都有 例121.CdzCzzz计算积分的值，其中 为包含圆周在内任何正向简单闭曲线1C2CC1z 解：21( )f zzz因为函数在复平面内0,1Czz所以在 内以为圆心分别作2(1)CCdzdzzzz z11()1Cdzzz0,1zz除两个奇点外是处处解析的，两个互不包含也互不相交的正向圆周12CC与，根据复合闭路定理，得：121111()()11CCdzdzzzzz02200ii2022-5-2027三、原函数与不定积分三、原函数与不定积分 定理5：( )( )Cf zDf z dz设函数在单

21、连通区域 内处处解析，则积分与连接.C起点及终点的路线 无关015zz由定理 知：解析函数在单连通区域内积分只与曲线的起点 及终点 有关，10( )( ),zCzf z dzf z dz即：表示与积分路径无关.1积分上限函数 01zzz若固定 ，让上限变动，则积分0( )zzf z dzz称为积分上限 的函数，记作：00( )( )( ).zzzzF zf z dzfd2022-5-2028定理6：( )( )f zDF zD设函数在单连通区域 内解析，则函数必为 内的一个解析函数，0( )( )( )zzF zfdf z证明：,zzkD以 为中心作一含于的小圆zzzk取充分小，使在 内，于是

22、00()( )( )( )zzzzzF zzF zfdfd00( )zzzfdzz由于积分与路径无关，因此的积分路线可取先从 到 ，zzz然后再从 沿直线段到，00( )zzzzfd而从 到 的积分路线取得与积分的积分路线相同，于是有( )( )zDf zDf zD设 为 内任意一点，因为函数在 内解析，所以在 内连续，00zD 因此对，总可以找到一个，使得对于满足( )( ).ff z的一切 ，都有且2022-5-2029根据积分估值性质：()( )1( )| ( )( )|zzzF zzF zf zff z dzz11( )( )zzzff z dszzz0()( )lim( )0zF z

23、zF zf zz 也就是说，( )( ).F zf z即：0zzzzk小圆半径为 的圆周()( )1( )( )( )zzzF zzF zf zfdzf zzz从而1( )( )zzzzzzfdf z dz1 ( )( )zzzff z dzD2022-5-20302原函数的概念 ( )( )( )( )F zDf zF zf z定义：如果函数在区域 内的导数等于，即，( )( ).F zf zD则称函数为在区域 内的原函数0( )( )( )zzF zfdf z(1)积分上限函数是的一个原函数；( )f z(2)函数的任意两个原函数之差为一常数；( )( )f zDF z(3)如果函数在区域

24、 内有一个原，那么它( ),F zC C就有无穷多个原函数( 为任意常数).结论： 2022-5-2031定理7：( )( )( )f zDG zf z设函数在单连通区域 内解析，函数为的一个原函数，则1010( )( )()zzf z dzG zG z01,.zzD,其中为区域 内的两点证明：0( )( )( )zzF zf z dzf z因为是函数的一个原函数，0( )( )zzf z dzG zC所以，0000( )()0zzzzf z dzG zC当时，0(),CG z 00( )( )()zzf z dzG zG z于是，1010( )( )().zzf z dzG zG z类似于微

25、积分学中的基本定理和牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 有了定理7，复变函数的积分就可用跟实变量函数微积分学中类似的方法计算，分部积分法分部积分法，换元积分法换元积分法均可用在复变函数积分中 2022-5-2032 例21ln(1)Im( )0,Re( )011izzzzdzz试沿区域内的圆弧，计算积分的值.解：ln(1)( )1zf zz因为函数在所设区域内解析，2111ln(1)1ln(1) ln(1)ln (1)|12iiizdzzdzzz221ln (1)ln 22i2211( ln2)ln 2224i23ln 2ln2.3288i 例311izze dz求积分的值.解：( )zf zz

26、e函数在全复平面内解析，111111|iizzizze dzzee dz111(1)|izii eee 111(1)iiii eeie(cos1sin1)ieieeii( sin1cos1).ei2022-5-2033一、柯西积分公式一、柯西积分公式 0( )( )0.CDzDf zDf z dz 设 为一单连通区域， 为 中一点，如果在 内解析，则000( )f zzDzCzz但函数在 处不解析，所以在 内沿围绕 的一条封闭曲线 的积分0( )Cf zdzzz一般不为零，那它又为多少呢？0z根据闭路变形定理，这个积分沿着任何一条围绕 的简单闭曲线都是相同的，00zzz我们取以 为中心，半径为

27、 的很小的圆周（取其正向）作为积分( )( )Cf zCf z曲线 ，由于函数的连续性，在 上函数的值将随 的缩小00( )Cf zzdzzz而逐渐接近于它的圆心 的值，从而可以猜想：积分的值也将随 的缩小而逐渐接近于0000( )1()2()CCf zdzf zdzif zzzzz2022-5-20340zC00( )f zzzz在 处不解析100( )( )CCf zf zdzdzzzzz由闭路变形定理：1C2C3CnC200( )( )nCCf zf zdzdzzzzz( )f z由于函数的连续性,0( )(),f zf z0000()( )2().CCf zf zdzdzif zzzz

28、z猜想：2022-5-2035定理8：(柯西积分公式） ( )f zC设函数在简单闭曲线 所围成的区域0DDDCzD内解析，在上连续，为 内任意一点，则001( )().2Cf zf zdzizz证明：00( )f zzz由于函数在 解析，当然在 点连续，000,( )0,( )().zzf zf z 当时，都有00zk zzC作以 为中心， 为半径的圆周 ：，使其全部在 的内部，且，则00( )( )Ckf zf zdzdzzzzz0000()( )()kkf zf zf zdzdzzzzz000( )()2()kf zf zif zdzzz0000( )()( )()2kkCf zf zf

29、 zf zdzdsdszzzz而00( )2()2,kf zdzif zzz00( )2().Cf zdzif zzz于是0zL2022-5-2036说明：(1)( )f zCC如果在 所围区域内及 上解析，则上式仍成立；(2)C这个公式把一个函数在 内部任一点的值用它在边界上的积分值表示，这是解析函数的又一特征.推论1：（平均值公式） 00( )|f zzzRzzR设函数在内解析，在上连续，则20001()(Re ).2if zf zd这表明解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.推论2：12( ),f zC CD设函数在简单闭曲线所围成的二连通域 ，12,C C并在210CCzD上连续

30、，在 的内部， 为 内一点，则120001( )1( )().22CCf zf zf zdzdzizzizz2022-5-2037 例1计算下列积分| | 41sin(1),2zzdziz412(2)().13zdzzz解：41sin(1)2zzdziz0sin|0.zz412(2)()13zdzzz441213zzdzdzzz2226.iii 例2( )( )f zg zDCD设函数与在区域 内解析， 为 内任意一条简单( )( )Df zg zC闭曲线，它的内部完全属于 ，如果在 上所有的点( )( ).Cf zg z都成立，试证明在 内所有的点处也成立2022-5-2038000()()

31、.Czf zg z在 内部任意取一点 ，只需证明即可( )( )( )F zf zg z设，( )( )( )0Cf zg zF z因为在 上有，则，( )F zD而又是 内的解析函数，由柯西积分公式，得：0001( )1( )( )()022CCF zf zg zF zdzdzizzizz0()0,F z00()().f zg z从而0( )( ).zCf zg z由于 的任意性知：在 内部有成立证明：( )( )CDCf zg z因为 为 内任意一条简单闭曲线，在 上，( )( ).Cf zg z现在证明在 内部2022-5-2039 例3计算下列积分 2,(1)Cdzz z 3.2C z

32、i其中 ：的正向解：210(1)Czziz z因为函数在 内有两个奇点，及，12104zziCC所以分别以及为圆心，以为半径作圆周及，由复合闭路定理，得：12222(1)(1)(1)CCCdzdzdzz zz zz z12211(1)()()CCzz zidzdzzzi122(0)2( )ifif i122().2iii2022-5-2040二、最大模原理二、最大模原理 由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.定理9：（最大模原理） ( )( )f zDf z设函数在区域 内解析，又函数不是常数，|( )|Df z则在 内没有最大值. 这个定理表明一个解析函数的模

33、，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数这是解析函数一个非常重要的原解析函数一个非常重要的原理理 推论1：DD区域 内解析的函数，若其模在 的内点达到最大值，则此函数必恒为常数.推论2：( )f zDD若函数在有界区域 内解析，在 上连续，|( )|f zD则必在 的边界上达到最大值.说明：最大模原理不仅是复变函数论一个很重要的原理，而且在实际上也是很有用的原理，它在流体力学上反映了平面稳定流动在无源无旋的区域内流体的最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流体 2022-5-2041 例3| |( )0( )max |( )|zrf zrM rf z设在全

34、平面为解析函数，又对任意，令，( ).M rr求证是 的单调上升证明：0( )|rf zzr因为对于任意的，函数在上解析，( )|f zzrzr所以由最大值原理及其推论2知，函数在上的最大值必在上取得，| | |( )max |( )| max |( )|zrzrM rf zf z即：，12rr因此，当时，有：1212| | |( )max|( )| max|( )|( )zrzrM rf zf zM r( ).M rr即是 的单调上升函数2022-5-2042一、解析函数高阶导数公式一、解析函数高阶导数公式 一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分

35、来表示这一点跟实变函数完全不同，一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这个区间上是否连续也不一定 ，更不要说有高阶导数存在了下面我们讨论解析函数的各阶导数的解析问题 1( )( )2Cff zdziz我们将柯西公式：形式在积分号下对 求导得：21( )( ),2()Cffzdiz再继续又可得： 32!( )( ),2()Cffzdiz( )( )nnfz依次类推， 阶导数的可能形式是：( )1!( )( ).2()nnCnffzdiz 这是求导与积分两种运算允许交换的条件下推出的，这样作是否可行呢？我们对此加以讨论 2022-5-2043定理10：( )f zCDDDC设函数在简单闭曲线 所

36、围成的区域 内解析，而且在( )f zDDz上解析，则函数的各阶导数均在 内解析，对 内任一点 ，有( )1!( )( ),(1,2,).2()nnCnffzdniz证明：1zDn 设 为 内的任意一点，先证明的情况，即21( )( ).2()Cffzdiz0()( )( )limzf zzf zfzz 根据导数定义：，由柯西积分公式得：1( )( ),2Cff zdiz1( )()2Cff zzdizz0111( )lim( )2Czfzfdi zzzz 01( )lim2()()Czfdizzz 2022-5-204421( )()2() ()Cfzzzdizzz 221( )1( )2(

37、)2() ()CCfzfddizizzz设后一个积分为 ，那么21( )2() ()Czfdzzz 2( )12()()Cz fdszzz( ),f zCCC因为在 上解析，所以 上连续，故在 上有界0( ).Mf zM因此一定存在一个，使12dzCzzd设 为从 到曲线 各点的最短距离，并且取适当小，使满足，11,zdzd那么有，| |,2dzzzz 于是12|zzd3,()MLzLCd 所以为 之长2022-5-204500z 当时，从而有21( )( ),2()Cffzdiz.这证明了解析函数仍是解析函数nk要完成定理的证明，只需应用数学归纳法，设时公式成立，1nk证明时也成立，即证明下

38、式：( )( )()( )kkfzzfzz 221(1)!( )(1)!( )2()2()kkCCkfkfddzizziz102(1)!( )0().2()kkCkfzfzdiz 当时，有说明：（1）此公式可理解为把柯西公式 1( )( )2Cff zdizzn两边对 求 阶导，右边在积分号内求导，即( )1!( )( )2()nnCnffzdiz（2）高阶导数公式的作用不在于通过积分来求导，而在于通过求导来积分，即 ( )010( )2().()!nnCf zidzfzzzn2022-5-2046 例11.Czr求下列积分的值，其中 为正向圆周：5cos(1),(1)Czdzz22(2).(

39、1)zCedzz 解：5cos1cos(1)zCzzCz(1)函数在 内除外处处解析，而在 内处处解析，因此有：5cos(1)Czdzz(4)41122(cos)|cos |(5 1)!4!zziizz5.12i 22(2)(1)zeCziz 函数在 内的处不解析，12CiCiC我们在 内作以 为中心的正向圆周 ，以为中心的正向圆周，1222(1)zeCCCz 那么函数在由 ，和 所围成的区域内是解析的，根据复合闭路定理：12222222(1)(1)(1)zzzCCCeeedzdzdzzzz2022-5-2047122222()()()()zzCCeezizidzdzzizi2222(2 1)! ()(2 1)! ()zzz iziieiezizi2244()2()()2()22()()zzzzz iziezieziezieziiizizi( 44 )( 44 )2()2()1616iieieiii (1)(1)2222iiiiiii e