现代数字信号处理课件Chapter3

1、第三章 自适应数字滤波器 3.1 引言引言 3.2 LMS横向自适应滤波器横向自适应滤波器 3.3 LMS格型自适应滤波器格型自适应滤波器 3.4 LS自适应滤波自适应滤波 3.5 自适应滤波的应用自适应滤波的应用 3.1 引引 言言n自适应数字滤波器n自适应数字滤波器的应用n本章讨论的主要内容1、自适应数字滤波器n维纳滤波存在的问题：适用于平稳随机信号的最佳滤波；维纳滤波器的参数是固定的；必须已知信号和噪声的有关统计特性。n自适应的概念是从仿生学中引伸出来的，生物能以各种有效的方式适应生存环境。n实际上，自适应滤波器是一种能自动调节本身的单位脉冲响应h(n)以达到最优化的维纳滤波器。n自适应

2、数字滤波器自适应数字滤波器：利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号与噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。 H(z) x(n)=s(n)+(n) )( )(nsny( 维纳滤波器的输入输出关系101( )( )( ) ()NNiiimiy ns nh m x nmh xy22( )minE e nEss自适应滤波器原理图 H(z)y(n)x(n)d(n)e(n)e(n)=d(n)-y(n) 自适应滤波器H(z)的系数根据误差信号，通过一定的自适应算法，不断地进行改变， 使输出y(n)最接近期望信号d(n)。 实际中，d(n)要根据具体情况进

3、行选取。图 3.1.3 自适应线性组合器 x1jx2jxNjdjejyjw1w2wN1Njiijiyw xz1z1x(n1)x(n2)x(n N)z1d(n)e(n)y(n)x(n)w2w3wN1wNw1图 3.1.4 横向FIR结构的自适应滤波器 n自适应滤波器的特点自适应滤波器的特点：滤波器的参数可以自动地按照某种准则调整到最佳滤波，是一种最佳的时变数字滤波器；实现时不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识；具有学习和跟踪的性能。2、自适应数字滤波器的应用n1967年由美国B.Windrow 及Hoff等人提出自适应数字滤波算法，主要用于随机信号处理。n自提出以来，自适应滤波器发展很快，在各

4、个方面得到了广泛的应用：系统模型识别；通信信道的自适应均衡；雷达与声纳的波束形成；消除心电图中的电源干扰；噪声中信号的检测、跟踪、 增强和线性预测等。n 自适应滤波器分类： FIR自适应滤波器、IIR自适应滤波器 最小均方误差（LMS）自适应滤波器、最小二乘（LS）自适应滤波器 横向结构、格型结构3、本章讨论的主要内容n主要内容：LMS自适应滤波器、LS自适应滤波、自适应滤波的应用；n分析思路：根据LMS或LS准则，求得自适应滤波器的最佳单位脉冲响应w(n) ，或者说求其最佳的滤波器加权系数wj。2( )( )jmin E e nw nw或2*minjjeW3.2 LMS自适应滤波器自适应滤波

5、器n本节讨论的主要问题及方法本节讨论的主要问题及方法nLMS自适应滤波器的基本原理自适应滤波器的基本原理n最陡下降法最陡下降法nWidrow-Hoff LMS算法算法 nLMS算法的收敛性质算法的收敛性质1、本节讨论的主要问题及方法本节讨论的主要问题及方法n讨论的主要问题讨论的主要问题：LMS自适应滤波器的基本原理、最佳权系数的求解方法（最陡下降法和Widrow-Hoff LMS算法）。n分析方法：分析方法：2( )jmin E e nw2、LMS自适应横向滤波器的基本原理自适应横向滤波器的基本原理H(z)y(n)x(n)d(n)e(n)e(n)=d(n)-y(n) 2( )min E e n

6、w n10)()()(Nmmnxmwny1Njiijiyw xnLMS自适应横向滤波器的基本原理：自适应横向滤波器的基本原理：自适应数字滤波器的单位脉冲响应h(n)受误差信号e(n)控制；根据e(n)的值而自动调节，使之适合下一刻(n+1)的输入x(n+1)，以使输出y(n+1)更接近于所期望的响应d(n+1),直至均方误差 达到最小值；y(n)最佳地逼近d(n)，系统完全适应了所加入的两个外来信号，即外界环境。n注意：注意： x(n)和d(n)两个输入信号可以是确定的，也可以是随机的，可以是平稳的随机过程，也可以是非平稳的随机过程。n从图中可见：自适应数字滤波器是由（普通数字滤波器+相关抵消

7、回路）构成。2( )E e n表示成矩阵形式： jjjXWWXyTT式中 T21T21,NjjjjNxxxXwwwW误差信号表示为 jjjjjjjXWdWXdydeTT1Njiijiyw xn 利用利用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差 误差信号被用来作为权系数的控制信号。均方误差（性能函数）为 222TTT2TT() 2 2jjjjjjjjjdxxxE eE dyE dE d XWW E X XWE dR WW R W 上式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时， 均方误差信号Ee2j是权系数的二次函数，它是一个中间上凹的超抛物形曲面，是具有唯一最小

8、值的函数。图 3.2.5 二维权矢量性能表面 minw1optw2optw1w2v2v1 调节加权系数调节加权系数W使均方误差最小，相当于沿超抛物使均方误差最小，相当于沿超抛物形曲面下降到最小值。形曲面下降到最小值。 在数学上，可用梯度法沿着该曲面调节权矢量的各在数学上，可用梯度法沿着该曲面调节权矢量的各元素得到均方误差元素得到均方误差Eej2的最小值。的最小值。n用 表示Eej2的梯度向量，用公式表示如下： jT22212,NjjjjweEweEweE为求最佳权系数，令 即0j 122,2 0TjjjjjjjNeeeE eE e Xwww 当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时，其误差信号和输入信

9、号是正交的。可以得到 22jxxdxR WR 最佳权矢量最佳权矢量W*： dxxxRRW1*均方误差将取最小值均方误差将取最小值：22*min2*2TTjjdxxxTjdxE eE dR WWR WE dR W或者将上式取转置，用下式表示： dxTjjRWdEeE*2min2*11TTTTdxxxdxxxWRRRR 例例 .1 一个单输入的二维权矢量自适应滤波器如图 所示，图中输入信号与期望信号分别为 jNdjNxjj2cos2,2sin求：该滤波器的最佳权矢量和最小均方误差。 两个权的自适应滤波器w1z1xjw2djyjej1121211T11222sinsin()0.5co

10、s0,12222cossin()sin0,120.50.5cos20.5cos0.5,0, sNjj njNjj njjjjxxjjjdxjjjjE x xjjnnnNNNNE d xjjnnnNNNNxx xNRExxxNRE d x d x T2inN解： （1）、计算相关矩阵Rxx和Rdx（2）、求梯度向量NwNwNwwNwwNNRWRdxxxj2sin22cos2cos2sin0212cos2cos122212121j22T*min22cot220sin022cscjjdxNE eE dR WNN（3）、求最佳权矢量和最小均方误差：TT21*2csc2,2cot2NNwwW*1*0jx

11、xdxWR RW 利用或求3、 最陡下降法最陡下降法n存在问题：存在问题：自适应滤波过程是寻求W*的过程 ，需要知道Rxx和Rdx。n解决方法：解决方法：采用最优化的数学算法最陡下降法（Steepest Descent Method），搜索性能函数表面寻找最佳权系数。 dxTjjRWdEeE*2min2dxxxRRW1* 自适应过程的物理意义2*(1)( ) ( )0,jW jW jdEe nWw wdw 自适应的物理意义：根据递推式，连续地调节 ，去寻找“碗”的底点：即点。n 最陡下降法的递推公式最陡下降法的递推公式1jjjWW 其中,是一个控制稳定性和收敛速度的参量，称之为收敛因子。 方向

12、是性能函数下降最快的方向，因此称为最陡梯度下降法。j- Ee2(j)与W的关系在几何上是一个“碗形”的多维曲面。 收索方向为梯度负方向，每一步更新都使目标函数值减小。4、 Widrow-Hoff LMS算法算法 n存在问题：存在问题：采用最陡下降法递推求最佳权系数W*时，关键是如何适时地求得（或估计得） ？ n解决方法：解决方法：由Widrow等人提出，采用梯度的估计值代替梯度的精确值。jjj T222212222212,jjjjjNjjjjjNE eE eE eE ewwweeeewww n LMS LMS算法的权值计算算法的权值计算 LMS(Least Mean Square)算法的梯度估

13、计值用一条样本曲线进行计算，公式如下： Njjjjjwewewee222122因为 jjjXWdeT所以 jNjjjXweweweT21,jjjXe2对梯度估计值求统计平均， 得到 jjjjXeEE2 上式说明梯度估计值是无偏估计的，梯度的估计量在理想梯度j附近随机变化。 12jjjjjjjjWWWWe X 最陡下降法的递推公式修改为： 权系数也是在理想情况下的权轨迹附近随机变化的 搜索方向为瞬时梯度负方向，不能保证每一步更新都使目标函数值减小，但总趋势使目标函数值减小。图 3.2.8 FIR第i个支路的控制电路 z1wi(n1)xi(n)wi(n)2e(n)控制电路Nixewwijjijij

14、, 3 , 2 , 12, 1控制1控制2控制 Nx1(n)x2(n)xN(n)w1w2wNy(n)d(n)e(n)图 3.2.8 LMS自适应滤波器总计算框图5、 LMS算法的收敛性质122 22jjjjTjjjjjjTjjjjjWWe XWX dX X WIX XWX d对加权矢量取统计平均： *T12)2()(2(22WRWERIWERRWEWXXEXdEWEXeEWEWExxjxxjxxdxjjjjjjjjjjj*1*10*212*01*100(2) 20(2) 21(2) 2(2)2 (2)2(2)2(2)jxxjxxxxxxxxxxxxxxxxxxjjijxxxxxxiE WIRE

15、 WR WjE WIRE WR WjE WIRE WR WIRE WIRR WR WE WIRE WIRR W 将Rxx进行分解，得到 Rxx=QTQ,=QTRxxQ 其中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，是由特征值组成的对角矩阵， 用下式表示： ),(Diag21NTT1QQIQQ-11-1-1*100(2)2(2)jjijiE WIQQE WIQQQQ W其中-11-111(2)(2)(2)(2)jjjjIQQQQQQQ IQQIQ11-1-1*100(2)2(2)jjijiE WQIQ E WQIQ QQ W 欲使上式收敛必须满足max1lim200jjI2maxtr( )()tr()xxix

16、xiRE XP的对角元素 收敛条件还可以表示为21100()xxiitr RE X或 LMS算法加权矢量是在最陡下降法加权矢量附近随机变化的， 其统计平均值等于最陡下降法的加权矢量。-1-1*101-1-1*lim 2(2)122jijjiE WQIQ QQ WQQ QQ WW1011lim(2)(2)2jijiIII 值对收敛稳定性和收敛速度影响很大，首先必须选择得足够小，使之满足收敛条件，同时，它还影响收敛速度。 n 加权矢量的收敛性质加权矢量的收敛性质偏大收敛快跟踪性能差偏小收敛慢跟踪性能好*1jjjjWWWWWW假设2jWW 2jjWWW 2jWW W*W WjWEej2jWW 图 3

17、.2.7 值的影响(a) 较小时的情况； （b） 较大时的情况 (a)(b)w2w1w(0)w(0)w1w2 性能函数和最小均方误差分别为： WRWWRdEeExxdxjjTT222令 =Ee2j, 则 WRWWRRWxxdxdxTTT*min2dxxxRRW1*又n 最陡下降法的过渡过程最陡下降法的过渡过程dxTjjRWdEeE*2min2可得 T*T*TTmin*TTmin*T*TTmin*TT*TTmin* T*min*2()()dxTdxdxxxTdxxxxxxxxxxxdxxxxxxxRRWRWRR WW R WWRWWW R WWR WWWW R WWWR WWRWR WRWWWW

18、W令 V=W-W*=v1, v2, , vNT V称为偏差权向量，它表示权向量对最佳权向量的偏差。这样性能函数可以表示得更简单： VRVxxTmin*1122)22(WRWRIWWRRWWxxjxxjjxxdxjj在上式两边都减去W *,并令Vj=W j-W*, 得到 Vj+1=I-2RxxVj dxxxjWRWR21jjjWW因为 所以 dxxxRRW1*0(2)jjxxVIRV 将Rxx进行分解，得到 Rxx=QTQ, =QTRxxQ 其中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，是由特征值组成的对角矩阵， 用下式表示： 12Diag(,)N 由此可得 TTminTminV Q Q VVV令 ,T21T

19、QVVvvvVQVN 得到最陡下降法的性能函数递推公式： 2min00(2)TjVIV假设起始值是V V0，可得到上式的递推解为 0(2)jjVI V 当 。且 随 增加的衰减比 快一倍。 min,j jWj111(2)(2)(2)jxxjjjjVIRVQ IQ VVIV下面用二维权矢量的情况说明它的几何意义。对于二维权矢量情况，有下面公式： 21*21,vvWWVwwW* T*min()()xxWWRWW(0)(1)(1)(0)xxxxxxxxxxrrRrr图 3.2.5 二维权矢量性能表面 minw1optw2optw1w2v2v1图 3.2.6 等均方误差的椭圆曲线族0w1w2v1v2v

20、1v2woptcVRVxxTmin1TcVRVxx1T cVV1/212 2112 1cvcv0(2)jjVI V110100(1 2)(1 2)(1 2)jjjjiiijjNNNvvvvvv 权矢量的过渡过程权矢量的过渡过程：第i个权系数递推方程是 0(1 2)jjiiivv令 Niii, 3 , 2 , 1e211- 上式说明第i个分量v i按指数规律变化，其时常数为 11 (1 2)iini=1, 2, 3, , N j-0eijiivv因为一般取得比较小，可以近似得到ii21i=1, 2, 3, , N 因为 jjVQV所以 Nkjkikjivqv1得到 01kjNjiikkkvq v

21、 e-*1ekjNjiijiiikkwwvwc式中 0kikikvqc ii21i=1, 2, 3, , N 第i个权矢量的时间常数为22min122min01iNjijiijNiiiE evv e 性能函数的过渡过程性能函数的过渡过程： 性能函数的时常数，即自适应学习的时间常数为 ii412imse 最终的收敛要取决于最慢的指数过程，它的时常数最大，对应最小的特征值，公式如下： minmaxmseminmax4121n 稳态误差和失调系数稳态误差和失调系数 存在问题：存在问题：实际中，工作于实时的自适应算法，权系数不能完全收敛于最佳值，只是其平均值可以收敛到最佳值。这是由于采用梯度的估计值代

22、替梯度值而产生的估计误差。 解决方法：解决方法：引入失调系数M进行描述，其定义为 minminminxxinMtr RNP均方误差的平均超量或 上式说明，和输入功率加大都会增加失调系数。跟踪能力越好，曲线稳态越接近横轴。 minminlimexexnnnn 剩余均方误差：稳态剩余均方误差：加权系数的变化均方误差的变化minvv w woptj图 3.2.10 LMS算法稳态误差1111111221124NNNiiiiiiiimseaveaveMNN 上式说明，当选择足够长的 ，M可以做到任意小。但当 一定时，M随着权数目N的增加而增大。另一方面， 越小，收敛也会越快。如此，便产生了动态特性和静

23、态特性的矛盾，这就要求我们在收敛速度和失调量间取得适当的折中。一般而言，迭代次数选择为 。 iii4imse例 设M=10%（一般M=10%可以满足大多数工程设计的要求）并设N=10，问应该取多少次迭代数？解：1010.1425msemse按经验实际迭代次数应取100（=10滤波器长度N）或取4imse图 3.2.11 LMS算法的学习曲线 3.3 LMS格型自适应滤波器格型自适应滤波器n本节讨论的主要内容及方法本节讨论的主要内容及方法n预测误差滤波器预测误差滤波器n预测误差格型滤波器预测误差格型滤波器nLMS格型自适应滤波器格型自适应滤波器1、本节讨论的主要内容及方法n讨论的主要内容：讨论的

24、主要内容：前、后向横向预测误差滤波器、预测误差格型滤波器和LMS格型自适应滤波器n主要方法：主要方法：基于前、后向横向预测误差滤波器，导出预测误差格型滤波器2、 线性预测误差滤波器线性预测误差滤波器n 前向预测误差为 ,10( )( )( )( )()()ppp kp kkke nx nx nx nax nkax nk 将前向预测误差用 表示，上式重写为 )(nefppkkpfpknxanxne1,)()()(前向预测误差滤波器 z1ap,0z1z1ap,1ap,2ap, p1ap, px(n)(nefp111,1( )( )()pfppkkenx nax nk,10( )( )1( )fpp

25、pkkfp kp kkkEzHzazazX z pkkpfpknxanxne1,)()()(pixxipxxppixxipxxirarpkikrakr1,21,)()0(, 3 , 2 , 10)()(将上式用矩阵方程表示为 2,1,(0)(1)( )1(1)(0)(1)00( )(1)(0)xxxxxxppxxxxxxp pxxxxxxrrrparrrparprpr其Yule-Walker方程式为：n 假设前、后向预测器具有相同的系数，则后向预测误差为,000( )()()1ppbpp kp p kpkkenax npkax nka,1( )()()()()pp kkb nx npx npx

26、 npax npk 后向预测误差用 表示，上式可写为：)(nebp后向预测误差滤波器 111,1(1)()()pbppkkenx npax npkz1ap,0z1z1ap,1ap,p1ap,px(n)(nebpap,p2()x np(1)x npkkkppbpbzazzXzEzH1,1)()()(,1( )()()pbpp kkenx npax npkn 前、 后向预测误差滤波器的系数函数之间的关系是 )()(1zHzzHfpb 为了求解前、后向预测误差滤波器的最佳系数，需要解Yule-Walker方程，求解方法采用Levinson-Durbin算法。 Levinson-Durbin的一般递推

27、公式如下： )()0()1 (1, 3 , 2 , 1 )()(2202122, 1, 1,21111nxErkpkakaaakkpraprkxxpppkpppkpkppppppkxxpxxp 其中，kp称为反射系数。2p和2p-1是预测误差的均方值，因此1-k2p必须大于等于0，这样kp应要求满足下式： 1|pk由上式可知，预测误差随递推次数增加而减少。212pp3、预测误差格型滤波器预测误差格型滤波器n 由预测误差滤波器导出格型滤波器由预测误差滤波器导出格型滤波器 将前面已推导的前向预测误差公式重写如下: pkkpfpknxanxne1,)()()( 将系数ap,k(k=1,2,3,p)的

28、递推公式代入上式，并令kp=ap,p，得到 1,111,1,111,111,11,1111( )( )()()( )() ()()()()()()()(pfpp kpkppkppppp kpkpppp kkpfpppkkfkpkenx nax nkk x npx nak ax nkk xxnpknpax npx nax nx npax nkkkenek11)()bppnekn 由此，便可得到前向预测误差的递推公式， 即 ) 1()()(11neknenebppfpfp 类似地，得到后向预测误差的递推公式为 )() 1()(11neknenefppbpbp对于p=0的情况， 得到 )()()(0

29、0nxnenebf图 3.3.5 全零点格型滤波器 n 格型滤波器的性质格型滤波器的性质 (1) 各阶后向预测误差相互正交。 用公式表示如下： jineneEbjbi 0)()( (2) 平稳随机序列可由自相关函数或反射系数表征。 (3) 前向预测误差滤波器是最小相位滤波器，即它的全部零点在单位圆内。后向预测误差滤波器是一个稳定的最大相位滤波器，全部零点在单位圆外。 4、LMS格型自适应滤波器格型自适应滤波器n在满足预测误差的均方值最小的准则下，最佳自适应格型滤波器求解关键在于计算出反射系数。其方法有：222min( )( ) pfbpppLevinsonDurbinkE enenBurgk1

30、、观测数据估计自相关函数递推求、观测数据法求 采用使前、后向预测误差功率的和为最小的原则求反射系数。 公式为 0)()(22pbpfpkneneE即 111111112( )(1)2( )( )02( )(1)(1)2(1)( )( )0fbbfppppfbbppppbffppppEen enen enEenk enenEenk enen可以得到)1()()1()(2212111neEneEneneEkbpfpbpfpp实际计算时，上式中的统计平均值用时间平均计算， 公式为 1122112( )(1)( )(1)fbppipfbppiiei eikeiei对于复信号情况，公式为 | ) 1(|

31、 )(|) 1()(22121*11ieieieiekbpifpbpifpp 如果输入数据为x(i), i=0, 1, 2, , n， 当p=1时， 00122002( )(1)( )(1) fbifbiei e ikeie i这里 )()()(00ixieiebf因此 112212( ) (1)( )(1)ninix i x ikx ix i当p=2时， ibfibfieieieiek)1()() 1()(22121112其中 101 01101 01( )( )(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )ffbbbfeieik e ix ik x ie ie ik eix ik x i

32、1122221122( )(1)( )(1) nfbinfbiei e ikeie i 以此类推，可以得到 的具体计算公式为 pknpibpfpnpibpfppieieieiek)1()() 1()(2212111 这种算法必须从低阶推起，要求较大的存储时间，有较大的计算延迟，使应用受到限制。 采用梯度算法计算反射系数22(1)( )( )( ) pfbppkppknknenen 其中，222211( )( ) ( )( ) 2( )(1)( )( )pfbfbkpppppfbbfppppenenenenken enen en将上式代入前一式中， 得到 )()() 1()()() 1(11ne

33、nenenenknkfpbpbpfppp式中，=2，为步长因子。3.4 最小二乘自适应滤波最小二乘自适应滤波n本节讨论的主要内容及方法n最小二乘（LS）滤波n递推最小二乘（RLS）算法1、本节讨论的主要内容及方法n主要内容：讨论一种以误差的平方和最小作为最佳准则的误差准则最小二乘准则，及其递推算法。n分析方法：2*min ( )jjneWWXdydeTjjjjj2、最小二乘滤波22min( )( )( )optmin E e nhnE e n 最小均方误差(LMS)滤波（统计分析法）2*min ( )jjneW 最小二乘(LS)滤波（精确分析法）n 最小二乘的基本问题最小二乘的基本问题 已知n

34、个数据x(1),x(2),x(n)，采用M个权的FIR滤波器对数据进行滤波，假设期望信号为d(i)，滤波器的输出 是对期望信号d(i)的估计 )(idnikixiwidMkk, 1 , 0) 1()()(1 n时刻的估计误差为 Mkkknxnwndndndne1) 1()()()()()(图 3.4.1 M个权的FIR滤波器z1z1x(i1)x(i M1 )z1d(i)x(i)e(i)d(i)w1(i)w2(i)wM(i) 误差信号的平方加权和为 21( )( )nn iine i 为了后面叙述方面，引入一些符号。TT21)1(,),1(),()()(,),(),()(Mnxnxnxnxnwn

35、wnwnwMMMe(n)=e(1), e(2), , e(n)T d(n)=d(1), d2), , d(n)T XM(n)=xM(1),xM(2),xM(n) TT)(,),2(),1 ()(nxxxnXCMMMM 应用这些符号，期望信号的估计、估计误差和误差信号能量分别为 T1T( )( ) (1)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )MkMMMkMMMd nw i x ikXn wnCwne nd nd nd nXn wnd nCwn)()()()()(T21nenneienniin式中 100000021nn为了推导简单起见， 取=I，则误差信号能量重新表示

36、为)()(d)()(d)()()(TTnCwnnCwnnenenMM要使(n)取得最小值，满足 ( )( )( )0( )MwnMnnwnTTTT2 ( )( )0( ) ( )0 ( )( )MMMCd nCwnXn e nC CwnC d n引入M维向量pM(n)以及MM维矩阵RM(n)， niTMMTMMMMniMMixixnXnXCCnRixidndnXndCnp1T1T)()()()()()()()()()()(TTT ( )( )( )( )( )MMMMC CwnC d nRn wnpn可以转换为可得wM(n)的最小二乘估计wLS(n) )()()()()()()()(11T1n

37、dnXnXnXndCCCnpnRnwMTMMTMMLS若rankXM(n)M, 则wM(n)不能唯一辨识。 当 存在时，最小二乘的估计值 为 )(nwLS)(nd)()()(TnwnXndLSM 最小二乘估计的误差信号能量min为 TminTTTTT( )( ) ( )( ) ( )2( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )LSMLSMLSLSMnen e ndn d nwn pnwn Rn wndn d nwn pn2T1T1Tmin()TLSLSzAnzAddewC CC dA AA zn 最小二乘估计的模型描述最小二乘估计的模型描述 令误差信号能量为J，并取加权矩阵=I，

38、则 )()()()(TTAzAzAzAzJ3、 递推最小二乘法递推最小二乘法(RLS)n基本思想：新的估计值是在老的估计值的基础上修正而成的。新的估计值(k)=老的估计值(k-1)+修正项 最小二乘递推算法的关键是得到修正项的表达式n 递推最小二乘法递推最小二乘法(RLS)(RLS) 根据最小二乘估计式,用a(i)表示第i步迭代时A的取值，Ak表示前k步A的数值构成的向量。定义一个变量P： 1111T11T1def)()() 1(def)()()(kTkkikTkkiAAiaiakPAAiaiakP其中 T)(,),2(),1 (kaaaAk那么 1T11TT1T11T1)()() 1()()

39、()()() 1()()()()()(kakakPAAkPkakakPkakaiaiakPkkkik-1时刻的估计值为 )()()1()() 1(111T111T1kikkkkLSiziakPzAAAk上式两边同时左乘P-1(k-1)，得 )()() 1() 1(111kiLSiziakkPT11TT1T1 ( )( )()( )( ) ( )( )(1)(1)( ) ( )( )(1)( ) ( )(1()( ) ( )(1)() ()kLSkkkkiLSLSLSLSkA AA zP ka i z iP kka k z kP kka k z kkPkPkPz kakak akka kk定义q

40、(k)为)()()(kakPkq)1()()()() 1()(Tkkakzkqkk 根据矩阵反演公式 T111T11T1()()ACCAA C IC A CC A1T1T1TTT1TT( )(1)( )( )(1)(1) ( )1( ) (1) ( )( ) (1)(1)(1) ( )( ) (1)( ) (1) ( ) 1(1) ( )( )1(1)( ) (1) ( ) 1P kPka k akP kP ka kak P ka kak P kP kP ka k ak P kak P ka kP ka k akP kak P ka k由此可得 最小二乘递推算法： TTT( )( )( )(1

41、)(1) ( )( )( )1(1)( ) (1) ( ) 1( )(1)( ) ( ) ( )LSe kz kakkP ka k akP kP kak P ka kkkP k a k e k3.5 自适应滤波的应用自适应滤波的应用n自适应抵消器n自适应陷波滤波器n自适应逆滤波n自适应信号分离器1、自适应抵消器、自适应抵消器n自适应滤波器的重要特性：能有效地在未知环境中跟踪时变的输入信号，使输出信号达到最优。n自适应噪声抵消器，利用干扰源的输出，通过一个数字滤波器，最佳地估计出干扰值，从而从混有干扰的输入中减去干扰估值，实现了干扰与信号相当完善的分离。输入：原始信号（含信号与噪声），参考信号（

42、与待抵消噪声信号相关）；输出：无噪声信号图 3.5.1 自适应对消系统 信 号 源噪 声 源自 适 应滤 波 器原 始 输 入系 统 输 出参 考 输 入xj n1dj sj n0yjZjn 对消原理对消原理原始输入端：dj=sj+n0, n0是要抵消的噪声，并且与s不相关；参考输入端：xj =n1，n1是与n0相关、与s不相关的噪声信号；系统的输出：zj=dj-yj；u滤波器的传输函数可以根据系统的输出信号自动调整，假定s, n0, n1是零均值的平稳随机过程jjjjjynsydz0 输出信号的均方值 )(2)()()(02022022jjjjjjjjjynsEynEsEynsEydEzE由

43、于s与n0, n1不相关，因此s与yj也不相关，则 2220() jjjE zE sE ny2200min() min,jjjjjjE nyE zsyn zs （输出信号只包含有用信号）jjjjjynsydz0n 性能分析性能分析 参考输入端噪声与原始输入端噪声相关性； 参考输入端存在一定的有用信号。 2220222002220() 2 jjjjjjjjE zE sE nyE sE nE yE n yE sE nE y 由此可知，原始信号进来什么信号，出来什么信号，这时自适应滤波器关闭。要使其完成自适应噪声抵消任务，则参考输入必须与被抵消信号相关。若n0与 n1不相关，其与yj也不相关，则 n

44、参考输入端存在一定的有用信号参考输入端存在一定的有用信号 当有信号分量泄漏到参考输入中时，噪声的抵消能力可以通过比较输入端的信噪比、参考输入端的信噪比及输出端的信噪比数值大小来评价。AFs(n)v(n)H(z)G(z)d(n)x(n)y(n)e(n)原始输入端参考输入端2outopt2outopt( )( )|1( )( )|( )( )|1( )( )|ssssnnvvPzPzG z WzPzPzH z Wz 噪声抵消后，输出端信号为sout(n)= spri(n)- sref(n)，噪声为 nout(n)= npri(n)- nref(n) ,其功率谱分别为 噪声抵消前，原始输入端的信号为

45、spri(n)= s(n)，噪声为npri(n)= v(n) ，其功率谱分别为 pripri( )( ),( )( )ssssnnvvPzPzPzPz 参考输入端信号 spri(n)= s(n)*g(n) ,噪声为nref(n)= v(n)*h(n)，其功率谱分别为 22refref( )( ),( )( )|( )|ssssnnvvPzPz G zPzPzH z输入端的信噪比为 )()(prizPzPvvss参考输入端的信噪比为 22ref| )(| )(| )(| )(zHzPzGzPvvss输出端的信噪比为 2optout2opt( )|1( )( )|( )|1( )( )|ssvvP

46、zG z WzPzH z Wz 参考输入端的总功率为 22| )(| )(| )(| )()(zHzPzGzPzPvvssxx 参考输入端与原始输入端的互功率为 11*( )( ) ()( )()xdssgvvhxdssvvd ns nv nx ns ng nv nh nrmrm rmrm rmPzPz G zPz H z 由此可得， 一个自适应对消器的稳态解为 2211| )(| )(| )(| )()()()()()()()(zHzPzGzPzHzPzGzPzPzPzWvvssvvssxxxdopt22optout22optref( )|1( )( )|( )|( )|1( )|1( )(

47、 )|( )|( )|ssvvvvssPzG z WzPzH zPzH z WzPzG z 结论：只要参考输入端的信噪比足够小，输出就可以得到好的信噪比。即泄露到参考输入端的有用信号越少，抵消效果越好。 在参考输入端存在信号s时，自适应抵消器输出端的信号分量将比原始输入端的信号分量有一定损失，损失大小用D(z)表示： 2opt2opt2refpripriref( )|( )( )|( )|( )( )|( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )ssssPzG z WzD zG z WzPzG zzG zD zH zzG zH zD zzz通常很小，则只要比小很多，

48、输出端的信号损失也会较小。要小，就要求原始输入信噪比大，且参考输入端信噪比小。prirefrefoutrefpri1( )1( )20( )1120( )( )20205%zzzD zz以上分析说明，参考输入端存在少量信号分量，并不会使自适应抵消器失效。例如，当，时，输出端信噪比，此时，输出端信噪比仍可比原始输入端改善倍，信号通过自适应抵消器的功率谱损失仅为。 3. 3. 应用应用 1) 消除心电图中的电源干扰 2) 胎儿心电监护 其中原始输入a(t)=f(t)+m(t)+n(t)f(t):胎儿心脏产生信号m(t):母亲心脏产生信号n(t):噪声干扰信号（主要由肌肉起的，有时称“肌肉噪声”）。

49、 采用自适应噪声抵消器消除胎儿心电图中母体心脏信号（干扰）。一般采用：四个普通胸导（每路信号相同）记录母亲心跳，作为参考输入信号。经过自适应噪声抵消器处理后，母亲心脏干扰信号被显著消弱，胎儿心声可辨。图 3.5.5 胎儿心电的监护（a） 胸部导联心电（参考输入）；（b） 腹部导联的心电（原始输入）； (c) 自适应对消器的输出 2、自适应陷波器（自适应陷波器（NF）n 当需要抵消掉的噪声是单色干扰（即单一频率的正弦波干扰）时，这样的系统称为自适应陷波器(Notch Filter,简称NF)，又称为点阻滤波器。n 自适应谱线增强器：将正弦波与宽带噪声分离开来，并提取正弦信号。1( )sin()( )piiiix nAnv n0( )( )sin()x ns nn陷波器的理想频率特