经济数学微积分闭区间上连续函数的性质

1、一、最大值最小值定理与有界性一、最大值最小值定理与有界性二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理四、小结四、小结 思考题思考题第八节第八节 闭区间上连续闭区间上连续函数的性质函数的性质三、均衡价格的存在性三、均衡价格的存在性一、最大值和最小值定理与有界性定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgnxy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在.

2、 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y定理定理1( (有界性和最大值和最小值定理有界性和最大值和最小值定理) ) 在闭区间在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值上连续的函数有界且一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)(xfy 21121,31,110,1)(xxxxxxf

3、又如又如, ,函数函数 二、零点定理与介值定理定定理理 2 2( (零零点点定定理理) ) 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba, 上上连连续续，且且)(af与与)(bf异异号号( (即即0)()( bfaf) ), ,那那末末在在开开区区间间 ba,内内至至少少有有函函数数)(xf的的一一个个零零点点, ,即即至至少少有有一一点点 )(ba ，使使0)( f. . 定义定义: :.(000,)(0)的的零点零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交

4、点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyab)(xfy OMBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf 例例1 1证证5( )31,f xxx令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又(1)10,f 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f5310,即即531

5、0(0,1).xx 方方程程在在上上至至少少有有一一根根推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .Mm证证大值大值M与最小值与最小值m，显然有，显然有 在在 上连续，则函数上连续，则函数 在在 上有最上有最 fx a,b fx a,b 1 2imfxM,i, ,n, 于是于是 1niinmfxnM , 即即 11niimfxM ,n （i）若）若 或或 ，则可，则可 11niif afxn 11niif bfxn 取取 或或 ； a b （ii）若）若 与与 不同，由介值定理不同，由介值定理 11niif

6、xn f a , f b可知，在可知，在 至少存在一点至少存在一点 ， 使使 a,b 121nffxfxfx.n 综合（综合（i），（），（ii）可知，原命题得证）可知，原命题得证令令 则则 在在 上连续，由于上连续，由于证证 g xfxx g x a,b 故故 afxb, 00g a,g b. 若若 ，可取，可取 ； 0g a xa 若若 ，可取，可取 ； 0g b xb 若若 则由定理则由定理2知，存在知，存在 使使 00g a,g b, xa,b , 注注 这题结果称为不动点定理这题结果称为不动点定理 ，即有，即有 0g x fxx 例例4 4.)(),(.)(,)(,)( fbabbf

7、aafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即三、均衡价格的存在性 ( ( ) )( ( ) )( ( ) )Z PD PS P ；= =- -( () )( () )( () )0000,ZDS于于是是= =- - 四、小结 思考题四个定理四个定理 有界性与最值定理；根的存在性定理；介值有界性与最值定理；根的存在性定理；介值定理；均衡价格的存在性定理定理；均衡价格的存在性定理

8、.注意条件注意条件1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;思考题思考题假设有一个登山者头天上午假设有一个登山者头天上午8点从山脚开始上点从山脚开始上山，晚上山，晚上6点到达山顶，第二天上午点到达山顶，第二天上午8点从山顶点从山顶沿原路下山，下午沿原路下山，下午6点到达山脚。问该登山者点到达山脚。问该登山者在上、下山过程中，会同时经过同一地点吗？

9、在上、下山过程中，会同时经过同一地点吗？为什么？为什么？思考题解答思考题解答会会.结论。结论。亦即证明亦即证明），使），使，（存在一点存在一点由零点定理知由零点定理知且且上连续，上连续，在在则则设设上连续，且上连续，且在在、则则数为数为，第二天登山的高度函，第二天登山的高度函为为函数函数登山者头天登山的高度登山者头天登山的高度不妨设山高为不妨设山高为. 0)(188. 0)18(, 0)8(188)(),()()(. 0)18(,)8(;)18(, 0)8(18, 8)()().()(,2122112121 fhfhfxfxfxfxffhfhffxfxfxfxfh一、一、 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一个正根，并且它不超过少有一个正根，并且它不超过ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上连续，上连续，bxxxan 21 则在则在,