函数的连续性7PPT学习教案

1、会计学1函数的连续性函数的连续性7返 回什么是连续函数什么是连续函数?直观感受直观感受: 图象上的点都连在一起的函数叫作连图象上的点都连在一起的函数叫作连续函数续函数.直观描述直观描述: 当自变量越来越接近时当自变量越来越接近时, 其函数值也其函数值也越来越靠近的函数就是连续函数越来越靠近的函数就是连续函数.可惜的是可惜的是, 上面这种定性描述的要求过强了些上面这种定性描述的要求过强了些, 可以举出直观上连续的函数可以举出直观上连续的函数, 但不满足上面的但不满足上面的要求要求.| )()(| ,|,0)(,0:2121 xfxfxx时时当当定定性性描描述述第1页/共27页.uuu).(uuu

2、uuuuu01010110 记作记作或增量或增量的改变量的改变量变量变量称为称为之差之差与初值与初值终值终值，变到终值变到终值从初值从初值变量变量.)x( f)x( f)xx( f)x( f)x( fy000的改变量的改变量称为函数称为函数相应地，相应地， .xx,xxx),x(Ux,)x(U)x( f0000的改变量的改变量在点在点称为自变量称为自变量内有定义内有定义在在设函数设函数 第2页/共27页 20202000002xxx2x)xx()x( f)xx( fy,xxxx,x)x( f1 函函数数的的改改变变量量为为时时变变化化到到从从当当自自变变量量设设例例时时变化到变化到，即自变量从

3、，即自变量从当当2 . 222 . 0 x, 2x0 84. 02 . 02 . 022y2 时时变化到变化到，即自变量从，即自变量从当当8 . 122 . 0 x, 2x0 76. 0)2 . 0()2 . 0(22y2 第3页/共27页二、连续函数的概念二、连续函数的概念 定义定义1 1 设函数设函数 在点在点 的某领域内有定义的某领域内有定义, ,如果当自变量如果当自变量的改变量的改变量 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函数的改变量对应的函数的改变量 也趋向于零也趋向于零, ,即即 则称函数则称函数 在点在点 处连续处连续, ,称称 为为 的连续点的连续点. .x y ylim0 x 0

4、)x( f)xx( f lim000 x )x( f0 x0 x)x( f0 x)x( fxy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 第4页/共27页例例2 2.),(xsiny内任一点连续内任一点连续在区间在区间函数函数证明证明 证证),(x0 任取任取00 xsin)xxsin(y )2xxcos(2xsin20 , 1)2xxcos(0 ,x2xsin2y 故故. 0y,0 x 时时当当.),(xxsiny0都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 .),(xcosy内任一点连续内任一点连续在区间在区间函数函数同理，同理， 第5页/共27页定义

5、定义2 2 设函数设函数)x( f在点在点0 x的某领域内有定义的某领域内有定义, ,如果函数如果函数)x( f在点在点0 x处满足处满足 )x( f)x( flim0 xx0 则称函数则称函数)x( f在点在点0 x连续连续. . ,xx0 x, xxx00 时，时，令令 ),x( f)x( f)x( f)xx( fy000 0)x( f)x( f limylim0 xx0 x0 )x( f)x( flim0 xx0 第6页/共27页例例3 3.0 x, 0 x, 0, 0 x,x1sinx)x( f处连续处连续在在试证函数试证函数 证证, 0 x1sinxlim0 x , 0)0( f 又

6、又.0 x)x( f处连续处连续在在则函数则函数 ),0( f)x( flim0 x 第7页/共27页;x)x( f)x( f)x( flim),x( f)0 x( f,x, a()x( f00 xx0000处左连续处左连续在点在点则称则称即即且且内有定义内有定义在在若函数若函数 .x)x( fx)x( f00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数.x)x( f)x( f)x( flim),x( f)0 x( f,)b,x)x( f00 xx0000处右连续处右连续在点在点则称则称即即且且内有定义内有定义在在若函数若函数 第8页/共27页例例4 4.0 x

7、, 0 x, 2x, 0 x, 2x)x( f处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 解解)2x(lim)x( flim0 x0 x 2 )2x(lim)x( flim0 x0 x 2 .0 x)x( f处不连续处不连续在点在点故函数故函数 不存在。不存在。)x( flim0 x第9页/共27页 如果函数在开区间如果函数在开区间(a,b)(a,b)内每一点都连续内每一点都连续, ,则称函则称函数在在开区间数在在开区间(a,b)(a,b)内连续内连续. .b, a)x( f,bx,ax,)b, a(上连续上连续在闭区间在闭区间则称函数则称函数处左连续处左连续在右端点在右端点右连续右连续处处并且

8、在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .连续函数的定义连续函数的定义第10页/共27页:x)x( f0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数;x)x( f)1(0处有定义处有定义在点在点;)x( flim)2(0 xx存在存在).x( f)x( flim)3(0 xx0 .)x( fx,0的间断点的间断点为为则称点则称点要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只三、函数的间断点三、函数的间断点第11页/共27页.)x( fx),0 x(

9、 f)0 x( f,x)x( f0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但右极限都存在右极限都存在处左处左在点在点如果如果 .xx00处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在在点在点时函数的间断点且函数时函数的间断点且函数若若.第二类间断点第二类间断点除此以外的间断点称为除此以外的间断点称为.)f(xx0的第一类间断点的第一类间断点为为称称.)x( fxx)x( f),x( fA)x( flim,x)x( f000 xx00的可去间断点的可去间断点为函数为函数处无定义则称点处无定义则称点在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果 跃间断点。跃间断点。又分为可去间

10、断点和跳又分为可去间断点和跳第一类间断点第一类间断点.非无穷型第二类间断点非无穷型第二类间断点又分为无穷型间断点和又分为无穷型间断点和第二类间断点第二类间断点.xx)x( f00穷型间断点穷型间断点为无为无，则称，则称一个为一个为处的左右极限中至少有处的左右极限中至少有在点在点如果如果 .间断点间断点点称为非无穷型第二类点称为非无穷型第二类除此以外的第二类间断除此以外的第二类间断第12页/共27页 , 1x, x11x, 1x0, 1,x2)x( foxy112xy 1xy2 .0 x为函数的可去间断点为函数的可去间断点 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义可去间断点只要改变或

11、者补充间断处函数的定义, , 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. .第13页/共27页., 0 x, x, 0 x,x1)x( f oxy, 0)00( f ,)00( f .1间间断断点点为为函函数数的的第第二二类类无无穷穷型型 x第14页/共27页x1sin)x( f xy1sin .0 x点点为第二类非无穷型间断为第二类非无穷型间断 .断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间第15页/共27页.x)0)x(g()x(g)x( f),x(g)x( f),x(g)x( f,x)x(g),x( f000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数 例如例如,),(x

12、cos, xsin内连续内连续在在.xcsc, xsec, xcot, xtan在其定义域内连续在其定义域内连续故故四、连续函数的性质四、连续函数的性质1.连续函数的四则运连续函数的四则运算算第16页/共27页).x(lim f)u( f)x( flim,u)x(lim,u)u( f000 xx0 xx0 xx0 则有则有若若连续连续在点在点函数函数2.复合函数的连续性复合函数的连续性.xx)x( fy,uu)u( fy,u)x(,xx)x(u00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点数数而函而函且且连续连续在点在点设函数设函数 第17页/共27页单调连续函数必有连续的

13、反函数，且单调性不变单调连续函数必有连续的反函数，且单调性不变. .例如例如, ,2,2xsiny上单调增加且连续上单调增加且连续在在 .1 , 1xarcsiny上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 ;1 , 1xarccosy上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 .),(xcotarcy, xarctany内单调且连续内单调且连续在在 反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. .3.反函数的连续性反函数的连续性第18页/共27页三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.)1a, 0a(ayx 指数函数指数

14、函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1a, 0a(xlogya 对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在4.初等函数的连续性初等函数的连续性xy xlogaa ,ayu . xlogua ,), 0(内连续内连续在在 , 不同值不同值讨论讨论均在其定义域内连续均在其定义域内连续.基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的. .第19页/共27页例例5 5. 1esinlimx1x 求求1esin1 原式原式. 1esin 例例6 6.x1x1lim20 x 求求解解解解)1x1

15、(x)1x1)(1x1(lim2220 x 原式原式1x1xlim20 x 20 . 0 第20页/共27页例例7 7.x)x1ln(lim0 x 求求. 1 x10 x)x1ln(lim 原式原式)x1(limlnx10 x eln 解解例例8 8.x1elimx0 x 求求. 1 )y1ln(ylim0y 原式原式解解,y1ex 令令),y1ln(x 则则. 0y,0 x 时时当当y10y)y1ln(1lim 第21页/共27页 定理定理( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定取得最大值和最小值取得最大值和最小值. .ab2 1 x

16、yo)(xfy ).x( f) ( f),x( f) ( f,b, ax,b, a ,2121 有有使得使得注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质第22页/共27页 定理定理( (有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界有界. .xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 第23页/共27页MCmab2x1xxyo)(xfy 定理定理( (介值定理介值定理) ) 设函数设函数)x( f在闭区间在闭区间 b, a上连续，且在上连续，且在 b, a上的最大值与最小值分别为上的最大值与最小值分别为M M与与m,m,则对于则对于m m与与M M之间的任之间的任意一个数意一个数C(mCM)(mCM)，在开区间，在开区间 b, a内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得C) ( f . . 第24页/共27页推论推论( (零值定理零值定理) ) 设函数设函数)x( f在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且上连续，且)a( f与与)b( f异号异号( (即即0)b( f)a( f ),),那末在开区间那末在开区间 b, a内至少有内至少有函数函数)x(