数字电路逻辑设计第二章

1、数字电子技术数字电子技术第二章第二章 逻辑函数及其简化逻辑函数及其简化第二章第二章 逻辑函数及其简化逻辑函数及其简化2.1 2.1 逻辑代数逻辑代数2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化2.1.12.1.1基本逻辑基本逻辑2.1.22.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算2.1.32.1.3真值表与逻辑函数真值表与逻辑函数2.1.42.1.4逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律2.1.52.1.5三个规则三个规则2.1.62.1.6常用公式常用公式2.1.72.1.7逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式2.1 2.1 逻辑代数逻辑代数2.12.1逻辑代数逻辑代数2.1.12.1.1基本逻辑基本

2、逻辑与、或、非三种基本逻辑关系与、或、非三种基本逻辑关系(1) (1) 与与逻辑关系逻辑关系S1S2 与逻辑举例灯灯电源电源 与逻辑举例状态表开关开关S1开关开关S2灯灯断断断断灭灭断断合合灭灭合合合合断断灭灭合合亮亮与逻辑关系：只有当决定某一事件的条件全部具备与逻辑关系：只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。时，这一事件才会发生。(2)(2)或或逻辑关系逻辑关系2.12.1逻辑代数逻辑代数 或逻辑关系：或逻辑关系：只要在决定某一事件的各种条件中，有一只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。个或几个条件具备时，这一事件就会发生。S1灯灯电源电源

3、 或逻辑举例S2 或逻辑举例状态表开关开关S1开关开关S2灯灯断断断断灭灭断断合合亮亮合合合合断断亮亮合合亮亮(3)(3)非非逻辑关系逻辑关系2.12.1逻辑代数逻辑代数非逻辑关系：非逻辑关系：事件发生的条件具备时，事件不会发生；事事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。件发生的条件不具备时，事件发生。灯灯S 非逻辑举例电源电源 非逻辑举例状态表开关开关S灯灯断断亮亮合合灭灭基本逻辑关系在逻辑代数中的描述基本逻辑关系在逻辑代数中的描述2.12.1逻辑代数逻辑代数 (1)(1)真值表描述法真值表描述法真值表真值表：用状态变量和取值可以列出表示三种基本逻辑关系：用状态

4、变量和取值可以列出表示三种基本逻辑关系的图表。在逻辑代数中用字母表示逻辑变量，逻辑变量在二的图表。在逻辑代数中用字母表示逻辑变量，逻辑变量在二值逻辑中只有值逻辑中只有0 0和和1 1两种取值，以代表两种不同的逻辑状态。两种取值，以代表两种不同的逻辑状态。 与逻辑真值表 或逻辑真值表 非逻辑真值表ABP001010110001ABP001010110111AP01102.12.1逻辑代数逻辑代数(2)(2)数学表达式描述法数学表达式描述法与逻辑：与逻辑：P P = = A A 又称为与运算或逻辑乘。又称为与运算或逻辑乘。运算符。若不致混淆，可省略。运算符。若不致混淆，可省略。或逻辑：或逻辑：P

5、P = = A A + + 又称为或运算或逻辑加。又称为或运算或逻辑加。非逻辑：非逻辑：P P = = A A 读作读作“A A非非” 或或“非非A A” 。2.12.1逻辑代数逻辑代数(3)(3)逻辑符号描述法逻辑符号描述法(1)(2)(3)AB+PABP11APABPABPAP&ABPAP 基本逻辑的逻辑符号与逻辑符号与逻辑符号或逻辑符号或逻辑符号非逻辑符号非逻辑符号ABP现行国家标准现行国家标准过去适用的符号过去适用的符号国外常用的符号国外常用的符号逻辑门电路：逻辑门电路：能实现基本逻辑关系的基本单元电路。能实现基本逻辑关系的基本单元电路。如与门、或门、非门（反相器）等。如与门、

6、或门、非门（反相器）等。2.12.1逻辑代数逻辑代数2.1.22.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算 逻辑加（或运算）逻辑加（或运算）P = A +运算规则：运算规则：0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1一般形式：一般形式：A + 0 = AA + 1 = 1A + A = A逻辑乘（与运算）逻辑乘（与运算）P = A 运算规则：运算规则：0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1一般形式：一般形式：A 1 = AA 0 = 0A A = A2.12.1逻辑代数逻辑代数逻辑非（非运算）逻辑非（非运算）P = A运算规则：运算规则：0 = 11 =

7、0一般形式：一般形式：A = AA + A = 1A A = 0复合逻辑运算复合逻辑运算 (1) (1)与非逻辑与非逻辑P = A B 两输入变量与非逻辑真值表ABP001010111110(1)(1)(2)(2)(3)(3)ABPAB&ABPP与非逻辑与非逻辑 复合逻辑符号2.12.1逻辑代数逻辑代数 (2)(2)或非逻辑或非逻辑P = A+B 两输入变量或非两输入变量或非 逻辑真值表逻辑真值表ABP001010111000(1)(2)(3) 复合逻辑符号+B1AABABPPP 或非逻辑或非逻辑2.12.1逻辑代数逻辑代数(3)(3)与或非逻辑与或非逻辑P = A B + C D 2

8、-22-2输入变量与或非逻辑真值表输入变量与或非逻辑真值表ABP000000001110C0011D0101011110001110001101011000011111100011010111111111000000110101(1)(2)(3) 复合逻辑符号复合逻辑符号&1PBADCPBADC+PBADC与或非逻辑与或非逻辑(4)(4)同或逻辑同或逻辑ABBABAP 2.12.1逻辑代数逻辑代数若两个输入变量的值相同，输出为若两个输入变量的值相同，输出为1 1，否则为，否则为0 0。运算规则：运算规则：0 0 = 10 1 = 01 0 = 01 1 = 1一般形式：一般形式：A 0

9、 = AA 1 = AA A = 0A A = 1 同或逻辑真值表ABP001010111001(1)(2)(3) 复合逻辑符号B=1APBAPABP同或逻辑同或逻辑2.12.1逻辑代数逻辑代数(5)(5)异或逻辑异或逻辑BABABAP 若两个输入变量的值相异，输出为若两个输入变量的值相异，输出为1 1，否则为，否则为0 0。运算规则：运算规则：0 0 = 00 1 = 11 0 = 11 1 = 0+一般形式：一般形式：A 0 = AA 1 = AA A = 1A A = 0+ 异或逻辑真值表ABP001010110110B=1APBAPABP 异或逻辑异或逻辑(1)(2)(3) 复合逻辑符

10、号2.12.1逻辑代数逻辑代数2.1.32.1.3真值表与逻辑函数真值表与逻辑函数求解给定逻辑命题的逻辑函求解给定逻辑命题的逻辑函数表达式。数表达式。abcdAB楼道灯开关示意图第一步：消化逻辑命题并列第一步：消化逻辑命题并列写真值表。写真值表。楼道灯开关状态表和真值表ABP001010111001开关开关 A灯灯cdbdbcaa亮亮灭灭灭灭亮亮(a)(b)开关开关 B2.12.1逻辑代数逻辑代数第二步：由真值表写逻辑函数表达式。第二步：由真值表写逻辑函数表达式。方法一：把方法一：把每个输出为每个输出为1 1的一组输入变量组合状态以的一组输入变量组合状态以逻辑乘逻辑乘形式表示（形式表示（原变量

11、表示取值原变量表示取值1 1，反变量表示取值，反变量表示取值0 0），再将所有），再将所有的这些逻辑乘进行逻辑加。这种表达式称为的这些逻辑乘进行逻辑加。这种表达式称为与或与或表达式，或表达式，或称为称为“积之和积之和”式式。)()(BABAP 方法二：把方法二：把每个输出为每个输出为0 0的一组输入变量组合状态以的一组输入变量组合状态以逻辑加逻辑加形式表示（形式表示（原变量表示取值原变量表示取值0 0，反变量表示取值，反变量表示取值1 1），再将所有），再将所有的这些逻辑加进行逻辑乘。这种表达式称为的这些逻辑加进行逻辑乘。这种表达式称为或与或与表达式，或表达式，或称为称为“和之积和之积”式。式

12、。ABBAP 2.12.1逻辑代数逻辑代数例例1 1：列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表达式。有达式。有A A、B B、C C个输入信号，当个输入信号中有两个或两个个输入信号，当个输入信号中有两个或两个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。解：根据题意可得到如右所示的解：根据题意可得到如右所示的真值表：真值表：“积之和积之和”式：式：ABCCABCBABCAP “和之积和之积”式：式：)( )(CBACBACBACBAP 例 2-1 真值表1111101111

13、0100011110001001000000PCBA2.12.1逻辑代数逻辑代数2.1.42.1.4逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律逻辑函数相等逻辑函数相等假设假设F F和和G G都是变量都是变量A A1 1、A A2 2、A An n的逻辑函数，如果对应于的逻辑函数，如果对应于A A1 1、A A2 2、A An n的任一组状态组合，的任一组状态组合，F F和和G G的值都相同，则的值都相同，则F F和和G G是是相等的，记作相等的，记作F FG G。若若F FG G，则它们具有相同的真值表；反之，若，则它们具有相同的真值表；反之，若F F和和G G的真值的真值表相同，则表相同，则F F

14、G G 。例例2 2：设：设F F( (A A, ,B B, ,C C)=)=A A( (B B+ +C C) )，G G( (A A, ,B B, ,C C)=)=ABAB+ +ACAC，请证明：，请证明：F F = = G G。解：列写函数解：列写函数F F和和G G的真值表，如果二者的真值表完全一致，则说的真值表，如果二者的真值表完全一致，则说明明F FG G。2.12.1逻辑代数逻辑代数例2 真值表1111111011111010000100110000100010000000G=AB+ACF=A(B+C)CBA由真值表可见，对于任何一组变量的取值，由真值表可见，对于任何一组变量的取值

15、， F F和和G G的值完全相同，的值完全相同，所以所以F FG G。2.12.1逻辑代数逻辑代数逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律(1)(1)关于变量和常量关系的公式关于变量和常量关系的公式+A 1 = AA 0 = AA A = 1+A 0 = AA 1 = AA A = 1A 1 = AA 0 = 0A A = 0A + 0 = AA + 1 = 1A + A = 1(2)(2)交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律交换律：交换律：A + B = B + AA B = B AA B = B AA B = B A+A B C = (A B) C 结合律：结合律：A + B + C

16、= (A + B) + C A B C = (A B) C A B C = (A B) C +2.12.1逻辑代数逻辑代数 分配律：分配律：A ( B + C ) = AB + AC A ( B C ) = AB AC +A + BC = ( A + B )( A + C )A + ( B C ) = (A + B ) (A + C ) (3) (3)特殊规律特殊规律重叠律：重叠律：A + A = AA A = AA A = 1A A = 0+反演律：反演律：A + B = A BAB = A + B A B = A B A B = A B +2.1.52.1.5三个规则三个规则 任何一个含有

17、变量任何一个含有变量A A的等式，如果将所有出现变量的等式，如果将所有出现变量A A的地方的地方都代之以一个逻辑函数都代之以一个逻辑函数F F，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。例例3 3：已知等式：已知等式A A( (B B + +E E)=)=AB AB + +AEAE，试证明将所有出现试证明将所有出现E E的地方代的地方代之以之以( (C C+ +D D ) ) ，等式仍成立。，等式仍成立。解解 ： 原式左边原式左边A A B B +(+(C C + +D D )AB AB + +A A( (C C + +D D ) ) AB AB + +AC AC + +ADAD原式右边原式右边AB

18、AB + +A A( (C C + +D D ) ) AB AB + +AC AC + +ADAD所以等式仍然成立所以等式仍然成立。代入规则代入规则2.12.1逻辑代数逻辑代数反演规则反演规则反演规则：对任何一个逻辑表达式反演规则：对任何一个逻辑表达式Y Y，若将其中所有的，若将其中所有的与、或与、或互换互换，“0 0”、“1 1”互换互换，原、反变量互换原、反变量互换，长非号（两个或长非号（两个或两个以上变量上的非号）不变两个以上变量上的非号）不变，这样可得，这样可得Y Y 的反函数的反函数 Y例例4 4： 求函数求函数 的反函数：的反函数：DBCAL)()(DBCAL解：解：例例5 5：

19、求函数求函数 的反函数：的反函数：DCBALDCBAL解：解： 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例4。（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例5。 对偶规则对偶规则2.12.1逻辑代数逻辑代数设设F F是一个逻辑函数表达式，如果将是一个逻辑函数表达式，如果将F F中所有的中所有的与运算和或与运算和或运算互换；常量运算互换；常量0 0和常量和常量1 1互换互换，则可得到一个新函数式

20、，则可得到一个新函数式F F。F F称为称为F F的对偶式。的对偶式。 1* 0 * CABAFCABAFCBAFCBAF例例如如：推论：推论：等式的对偶式也是等式，即：等式的对偶式也是等式，即： 。则则如如果果*,GFCBAGCBAF 2.12.1逻辑代数逻辑代数2.1.62.1.6常用公式常用公式（吸收律）（吸收律） . 1ABAAB ABABA 对对偶偶式式： . 2AABA ABAA 对对偶偶式式： . 3BABAA BABABAAABAA 1 证证明明： ABBAA 对对偶偶式式：2.12.1逻辑代数逻辑代数CAABBCCAAB . 4 CAABBCAABCCAABBCAACAABB

21、CCAAB 证证明明： CABACBCABA 对对偶偶式式：CAABBCDECAAB 推论：推论： BACACAAB . 5 BAACCABA 对对偶偶式式：2.12.1逻辑代数逻辑代数2.1.72.1.7逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式最小项表达式最小项表达式(1)(1)最小项最小项设有设有n n个变量的逻辑函数，在由此个变量的逻辑函数，在由此n n个变量组成的个变量组成的乘积项乘积项（与项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式（与项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，出现一次，而且仅出现一次而且仅出现一次，则这样的乘积项称为，则这样的乘积项称为n n变量逻辑函数的变量逻

22、辑函数的最小项最小项。最小项可用符号最小项可用符号m mi i 表示，下标表示，下标 i i 的确定方法是：对于最小的确定方法是：对于最小项中的各变量，用项中的各变量，用1 1代替其中的原变量，用代替其中的原变量，用0 0代替其中的反变量代替其中的反变量，得到一个二进制数，下标得到一个二进制数，下标 i i 就是与此二进制数等值的十进制数。就是与此二进制数等值的十进制数。例如三变量逻辑函数的最小项：例如三变量逻辑函数的最小项： 30mBCAmCBA2.12.1逻辑代数逻辑代数3变量最小项AB00011000C0101100111110101对应最小项对应最小项(m i)A B C = m0A

23、B C = m1A B C = m2A B C = m3A B C = m4A B C = m5A B C = m6A B C = m7最小项的性质：最小项的性质： 对于任意一个最小项，只有一组变量的取值可以使其对于任意一个最小项，只有一组变量的取值可以使其值为值为1 1，其余均为，其余均为0 0；任意两个最小项任意两个最小项m mi i 和和m mj j 之积为之积为0 0（i ij j）；）；n n个变量的所有最小项（个变量的所有最小项（2 2n n个）之和为个）之和为1 1。2.12.1逻辑代数逻辑代数(2)(2)最小项表达式最小项表达式全部由最小项相加而构成的与或表达式称为全部由最小项

24、相加而构成的与或表达式称为最小项表达最小项表达式式，又称为，又称为标准与或式标准与或式，或，或标准积之和式标准积之和式。 最小项表达式的书写形式：最小项表达式的书写形式： mCBAFmmmmCBAFCBABCACABABCF7 , 6 ,3 , 1,1367或写成：或写成：可以简写成可以简写成：对于逻辑函数：对于逻辑函数：2.12.1逻辑代数逻辑代数(3)(3)逻辑函数展开成最小项表达式逻辑函数展开成最小项表达式方法：先变换成方法：先变换成与或与或表达式，然后将各与项中所缺的变表达式，然后将各与项中所缺的变量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟一的最小项表达式。量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟一的最小项

25、表达式。 展开成最小项表达式 展开成最小项表达式D DC CCDCDA AABCABC将F将F: :例6例6 DCBBAACDBBADDABCDCCDAABCF 解解DCBADCBADCBADCABCDBACDBADABCABCD 04812371415, mmmmmmmmDCBAF 或或写写成成：最大项最大项表达式表达式2.12.1逻辑代数逻辑代数 (1)(1)最大项最大项设有设有n n个变量的逻辑函数，在由此个变量的逻辑函数，在由此n n个变量组成的个变量组成的和项（或和项（或项）项）中，若每个变量都以中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，而原变量或反变量的形式出现一次，而且仅出

26、现一次且仅出现一次，则这样的和项称为，则这样的和项称为n n变量逻辑函数的变量逻辑函数的最大项最大项。最大项可用符号最大项可用符号M Mi i 表示，下标表示，下标 i i 的确定方法是：对于最大的确定方法是：对于最大项中的各变量，用项中的各变量，用0 0代替其中的原变量，用代替其中的原变量，用1 1代替其中的反变量代替其中的反变量，得到一个二进制数，下标得到一个二进制数，下标 i i 就是与此二进制数等值的十进制数。就是与此二进制数等值的十进制数。例如三变量逻辑函数的最大项：例如三变量逻辑函数的最大项： M MC CB BA A M MC CB BA A4 47 72.12.1逻辑代数逻辑代

27、数3变量的最大项AB00011000A+B+C=M0C0101100111110101对应最大项对应最大项(M i)A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+B+C=M6A+B+C=M7最大项的性质：最大项的性质：对于任意一个最大项，只有一组变量的取值可以使其对于任意一个最大项，只有一组变量的取值可以使其值为值为0 0，其余均为，其余均为1 1；任意两个最大项任意两个最大项M Mi i 和和M Mj j 之和为之和为1 1（i ij j）；）；n n个变量的所有最大项（个变量的所有最大项（2 2n n个）之积为个）之积为0 0。2.12.1逻辑代数逻辑

28、代数(2)(2)最大项表达式最大项表达式全部由最大项相与而构成的或与表达式称为最大项表达全部由最大项相与而构成的或与表达式称为最大项表达式，又称为式，又称为标准或与式标准或与式，或，或标准和之积式标准和之积式。最大项表达式的书写形式：最大项表达式的书写形式： 410,410，或写成：或写成：可以简写成：可以简写成：对于逻辑函数：对于逻辑函数：MCBAFMMMCBAFCBACBACBAF2.12.1逻辑代数逻辑代数(3)(3)逻辑函数展开成最大项表达式逻辑函数展开成最大项表达式方法：反复利用分配律方法：反复利用分配律A A+ +BCBC=(=(A A+ +B B)()(A A+ +C C) )进

29、行变换。任何逻进行变换。任何逻辑函数都有惟一的最大项表达式。辑函数都有惟一的最大项表达式。展开成最大项表达式。将例 :7BCAAF CABABCABCAAF解解)(CBBACCBA )( )( )(CBACBACBA 210MMM 210 ，M2.12.1逻辑代数逻辑代数最小项与最大项之间的关系最小项与最大项之间的关系4变量最小项和最大项A B0 0000000C00110 11110000011对应最大项对应最大项(M i)D01010101对应最小项对应最小项(m i)A B C D = m0A B C D = m1A B C D = m2A B C D = m3A B C D = m4A

30、 B C D= m5A B C D= m6A B C D= m7A+B+C+D=M0对应最大项对应最大项(M i)A+B+C+D=M1A+B+C+D =M2A+B+C+D =M3A+B+C+D =M4A+B+C+D =M5A+B+C+D =M6A+B+C+D =M7对应最小项对应最小项(m i)A B C D = m8A B C D = m9A B C D = m10A B C D = m11A B C D = m12A B C D = m13A B C D = m14A B C D = m15A B1 0000111C00111 11111110011D01010101A+B+C+D=M8A

31、+B+C+D=M9A+B+C+D =M10A+B+C+D =M11A+B+C+D =M12A+B+C+D =M13A+B+C+D =M14A+B+C+D =M15可以看出：编号相同的最小项和最大项具有互补的特性。如：可以看出：编号相同的最小项和最大项具有互补的特性。如：4433 mMMm 2.12.1逻辑代数逻辑代数(2)(2)最大项表达式最大项表达式最小项表达式最小项表达式由于由于 - - ikkikkiMFMFFFMn，所以所以 0 , 0 12i=0 已知函数已知函数 iMF ikkikkmMF利用反演律可得利用反演律可得： mMCBAF76354210,，例如例如：2.2 2.2 逻辑

32、函数的简化逻辑函数的简化2.2.12.2.1简化的意义和目标简化的意义和目标2.2.22.2.2公式化简法（代数法）公式化简法（代数法）2.2.32.2.3图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）2.2 2.2 逻辑函数的简逻辑函数的简化化1.1.意义：用化简后的表达式构成逻辑电路，可节省器件，降低意义：用化简后的表达式构成逻辑电路，可节省器件，降低成本，提高工作的可靠性。成本，提高工作的可靠性。同一函数的逻辑表达式有多种形式同一函数的逻辑表达式有多种形式例：例： F = AB ( BF = AB ( BC ) C ) AC AC BC = AB BC = AB C C对应两种逻辑电路图，如下：对

33、应两种逻辑电路图，如下：2.2.12.2.1简化的意义和目标简化的意义和目标2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化11111ABCCABABB+CACB CAB(B+C)F=AB(B+C)+AC+BC&1ABABF=AB+C&C2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化 2. 2.目标：化简为最简的与或表达式。目标：化简为最简的与或表达式。一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如且能互相转换。例如逻辑函数式的常见形式有逻辑函数式的常见形式有：BAACL 与与或表达式或表达式)(CABA 或或与

34、表达式与表达式BAAC 与非与非与非表达式与非表达式CABA 或非或非或非表达式或非表达式BAA C与与或或非表达式非表达式2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化其中，其中，与与-或或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。表达式是逻辑函数的最基本表达形式。逻辑函数的最简逻辑函数的最简“与与或表达式或表达式” 的标准：的标准：（1 1）与项最少，即表达式中）与项最少，即表达式中“+ +”号最少。号最少。（2 2）每个与项中的变量数最少，即表达式中）每个与项中的变量数最少，即表达式中“ ”号最少。号最少。化简的主要方法：化简的主要方法：公式法（代数法）；公式法（代数法）；图解法（卡诺图法）图解法

35、（卡诺图法）.2.2.2 2.2.2 公式化简法（代数法）公式化简法（代数法）2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化1.1.合并项法：合并项法：C C) )B BC CA A( (B B) )C CB BA A( (B BC CL L例例1：CBACABCBAABC )()(CCBACCAB BAAB ABBA )(运用公式运用公式 ， 将两项合并为一项，将两项合并为一项，消去一个变量消去一个变量。A AB BA AABAB1,1,A AA A吸收法：吸收法：2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化运用吸收律运用吸收律 A A+ +ABAB= =A A 、AB + AC + BC =

36、 AB + AC AB + AC + BC = AB + AC ，消，消去多余的与项。去多余的与项。)(DECBABAL 例例2：BA A AB BD DD DC CA AC C ABDABDADADD DC CACAC A AB BD DD DC CA AB BC CC CD DB BA AA AC CL L例例3：A AD DD DC CA AC C D DC CA AC C 2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化消去法：消去法：运用吸收律运用吸收律 消去多余因子消去多余因子。BABAA EBABAL 例例4 4：EBBA EBA CBAAB)( CBCAABL 例例5 5：CABA

37、B CAB 2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化配项法：配项法：利用公式，利用公式，将某一乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项将某一乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项进行合并化简。进行合并化简。BCCAABCAABAAAA 0 1、BCDCAABL 例例6 6：)(AABCDCAAB BCDAABCDCAAB CAAB 2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化！在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。函数化为最简。例例7 7： 化简逻辑函数：化简逻辑函数： EFBEFBABDCAABDA

38、ADL 解：解：EFBEFBABDCAABAL （利用利用 ）1 AAEFBBDCAA （利用利用A+AB=A）EFBBDCA （利用（利用 ）BABAA 2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化例例8 : 8 : 化简逻辑函数化简逻辑函数 )(GFADEBDDBBCCBCAABL 解：解：)(GFADEBDDBBCCBCBAL （利用反演律（利用反演律 ） )(GFADEBDDBBCCBA BDDBBCCBA （利用（利用A+AB=A）ABCCBBDDBCDDBBCDCA 2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化例例9: 9: 化简逻辑函数：化简逻辑函数： BACBCBBAL CAB

39、ACBCBBAL （增加多余项（增加多余项 ）CA 解法解法1 1：CABACBBA （消去一个多余项（消去一个多余项 ）CBCABACB （再消去一个多余项（再消去一个多余项 ）BA 解法解法2 2：（增加多余项（增加多余项 ）CACABACBCBBAL CABACBBA （消去一个多余项（消去一个多余项 ）CBCACBBA （再消去一个多余项（再消去一个多余项 ）BA由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。注意注意：由公式法化简的例题来看，比较复杂的综合题不太好化：由公式法化简的例题来看，比较复杂的综合题不太好化简，从哪里开始下手，能简化

40、到什么程度，很难一下看出来。简，从哪里开始下手，能简化到什么程度，很难一下看出来。 有时候，原题的给出顺序都能影响化简的思路有时候，原题的给出顺序都能影响化简的思路. .2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化代数化简法的优缺点：代数化简法的优缺点：优点：不受变量数目的限制。优点：不受变量数目的限制。缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；需要一定的技巧和经验；不易判定化简结果是否最简。需要一定的技巧和经验；不易判定化简结果是否最简。2.2.3 2.2.3 图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法） 复习：复习：最小项的定义与性

41、质。最小项的定义与性质。 最小项最小项n n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。项称为最小项。n n变量逻辑函数的全部最小项共有变量逻辑函数的全部最小项共有2 2n n个。个。 A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1变变 量量 取取 值值最最 小小 项项m0m1m2m3m4m5m6m7编编 号号CBA CBA C BABCA CBA CBA CABABC 三变量函数的最小项三变量函数的最小项2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化一、卡诺图一、卡诺图 1 1相邻最小项相邻最小项 如果两

42、个最小项中只有一个变量互为反变量，其余如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项相邻项。如最小项如最小项ABC ABC 和和 就是相邻最小项。就是相邻最小项。CBA 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。并为一项，同时消去互为反变量的那个量。ACBBACCBAABC )(如：如：2 .2 .卡诺图卡诺图 一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照照相邻性相邻

43、性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。示最小项逻辑上的相邻性。 2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化3 3卡诺图的结构卡诺图的结构（1 1）二变量卡诺图）二变量卡诺图（2 2）三变量卡诺图）三变量卡诺图 BABABAAB A Bm0m1m3m2 AB 00 01 11 10m0m2m6m4m1m3m7m5CBACBACABCBACBABCAABCCBA ABm0m2m6m4m1m3m7m5 AB 00 01 11 10C 012.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化（3 3）四变量卡诺图）四变量卡诺图卡诺图具有

44、很强的卡诺图具有很强的相邻性：相邻性：（1 1）直观相邻性，）直观相邻性，只要小方格在几只要小方格在几何位置上相邻何位置上相邻（不管上下左（不管上下左右），它代表的右），它代表的最小项在逻辑上最小项在逻辑上一定是相邻的。一定是相邻的。（2 2）对边相邻性，）对边相邻性，即与中心轴对称即与中心轴对称的左右两边和上的左右两边和上下两边的小方格下两边的小方格也具有相邻性也具有相邻性。 m0m4m12m8m1m5m13m9m3m7m15m11m2m6m14m10DCBADCBADCABDCBADCBADCBADCABDCBACDBABCDAABCDCDBADCBADBCADABCDCBA A BCD

45、AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 102.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化 二、用卡诺图表示逻辑函数二、用卡诺图表示逻辑函数1 1从真值表到卡诺图从真值表到卡诺图例例1010： 已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。解：该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将解：该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将8 8个最小项个最小项L L的取值的取值0 0或者或者1 1填入卡诺图中对应的填入卡诺图中对应的8 8个小方格中即可。个小方格中即可。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01

46、 0 11 1 01 1 1A B C00010111L 真值表真值表CAB0000111110 111100002 2从逻辑表达式到卡诺图从逻辑表达式到卡诺图（1 1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。7630mmmmF 解：写成简化形式：解：写成简化形式：例例1111： 用卡诺图表示用卡诺图表示3 3变量逻辑函数变量逻辑函数: :然后填入卡诺图：然后填入卡诺图：F AB 00 01 11 10 C 0111110000方法如下：方法如下：逻辑函数包含哪些最小项，其对应的方格填逻辑函数包含哪些最小项，其对应的方格填1 1。逻辑函数不

47、包含的最小项，其对应的方格填逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填0 0或空着。或空着。 2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化ABCCABBCACBAF 2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化 = m (12,13,5,7,10,11,14,15)ABCDDABCCDBADCBABCDADCBADCABDCAB ACBDACABF 解：解： AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 101111111100000000（2 2）如不是最小项表达式，应先将其先化成最小项表达式，再）如不是最小项表达式，应先将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。填入卡诺图。例例1212：用

48、卡诺图表示：用卡诺图表示4 4变量逻辑函数变量逻辑函数: :ACBDACABF（2 2）如不是最小项表达式，可由）如不是最小项表达式，可由“与与- -或或”表达式直接填入。表达式直接填入。例例1313：用卡诺图表示：用卡诺图表示4 4变量逻辑函数变量逻辑函数: :解：直接填入解：直接填入 AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 101111110100000000观察法观察法： 乘积项中只要有一个变量因子的值为乘积项中只要有一个变量因子的值为0 0，该乘积项则为，该乘积项则为0 0； 乘积项中所有变量因子值全部为乘积项中所有变量因子值全部为1 1，该乘积项则为，该乘积项则为1 1

49、； 乘积项没有包含全部变量（非最小项），只要乘积项现有因乘积项没有包含全部变量（非最小项），只要乘积项现有因子能满足使该乘积项为子能满足使该乘积项为1 1的条件，该乘积项则为的条件，该乘积项则为1 1；2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化BDDCCBAF2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化解：直接填入：解：直接填入：DCBBAG 例例 1414： 用卡诺图表示用卡诺图表示4 4变量逻辑函数变量逻辑函数: : AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 1011111100000000002.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化 三、卡诺图合并最小项三、卡诺图合并最

50、小项ABAAB1 1卡诺图合并最小项的原理卡诺图合并最小项的原理 : :（1 1）2 2个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去1 1个取值不同的变量。个取值不同的变量。F AB 00 01 11 10 C 0110000010CAF F AB 00 01 11 10 C 0110000001CBF F AB 00 01 11 10 C 0101100000ABF 2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化DACBCDBDADCB AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 101110000001000111（1 1）2 2个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小

51、项可以合并，消去1 1个取值不同的变量。个取值不同的变量。2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化（2 2）4 4个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去2 2个取值不同的变量。个取值不同的变量。F AB 00 01 11 10 C 0110010110AF F AB 00 01 11 10 C 0110001101BF F AB 00 01 11 10 C 0101011100CF 2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化BD AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 101111000001100101DBFDBDBF AB 00 01 11 10 CD

52、 00 01 11 100000111110011010（2 2）4 4个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去2 2个取值不同的变量。个取值不同的变量。DC AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 101011100100010010ABF2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化（2 2）4 4个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去2 2个取值不同的变量。个取值不同的变量。（3 3）8 8个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去3 3个取值不同的变量。个取值不同的变量。2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化DB AB

53、00 01 11 10 CD 00 01 11 101111010001111111FC AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 100110101111101111BF由上述各种合并情况，我们可以总结卡诺图合并最小项的规由上述各种合并情况，我们可以总结卡诺图合并最小项的规律如下：律如下：总之，总之，2 2i i个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去i i个取值不同的变量，个取值不同的变量，合并后乘积项有合并后乘积项有n ni i个变量组成。个变量组成。在卡诺图中，如果可画出这样的矩形包围圈在卡诺图中，如果可画出这样的矩形包围圈 ，内含，内含2 2i i 个方格

54、，个方格，且全为且全为 1 1 格，则可以合并。方法是保留圈内没有格，则可以合并。方法是保留圈内没有0 0，1 1变化的变化的变量，消去出现变量，消去出现0 0，1 1变化的变量。变化的变量。ABAAB1 1卡诺图合并最小项的原理卡诺图合并最小项的原理 : :2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化2 2卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则） （1 1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2 2i i（i i=0,1,2,3=0,1,2,3）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。（

55、2 2）圈的个数尽量少。）圈的个数尽量少。（3 3）卡诺图中所有取值为）卡诺图中所有取值为1 1的方格均要被圈过，即不能漏下取的方格均要被圈过，即不能漏下取值为值为1 1的最小项。的最小项。（4 4）允许重复圈，但在新画的包围圈中至少要含有）允许重复圈，但在新画的包围圈中至少要含有1 1个末被圈个末被圈过的过的1 1方格，否则该包围圈是多余的。方格，否则该包围圈是多余的。（5 5）孤立的最小项单独包围。）孤立的最小项单独包围。2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化 卡诺图合并最小项的过程，就是逻辑函数化简的过程，卡诺图合并最小项的过程，就是逻辑函数化简的过程，实际上就是找出有效包围圈的过

56、程。实际上就是找出有效包围圈的过程。 为说明如何才能完成函数化简，我们先说明几个概念：为说明如何才能完成函数化简，我们先说明几个概念： 主要项：当一个包围圈已经达到最大范围时，其对应的主要项：当一个包围圈已经达到最大范围时，其对应的合并乘积项称为合并乘积项称为主要项主要项。四、四、 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化F AB 00 01 11 10 C 0110010110C CA AA A主要项主要项 必要项：如果主要项包围圈中，至少有一个独立必要项：如果主要项包围圈中，至少有一个独立 1 1 格，格，它不属于任何其包围圈，则这个主要项称

57、为它不属于任何其包围圈，则这个主要项称为必要项必要项。 多余项：如果主要项包围圈中没有独立的多余项：如果主要项包围圈中没有独立的 1 1 格，则称格，则称为为多余项多余项。2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化F AB 00 01 11 10 C 0110010010B BA A必必要要项项C CA A必必要要项项F AB 00 01 11 10 C 0111010010B BA A多多余余项项C CA A必必要要项项F AB 00 01 11 10 C 0110010110A A必必要要项项C CA A多多余余项项必要项BC必要项BC1 1、圈、圈1 1法法 卡诺图化简逻辑函数的步骤：

58、卡诺图化简逻辑函数的步骤：（1 1）作出欲化简函数的卡诺图。）作出欲化简函数的卡诺图。（2 2）圈出无相邻项的孤立）圈出无相邻项的孤立 1 1 格。格。（3 3）圈出只有一种圈法的包围圈，构成主要项。）圈出只有一种圈法的包围圈，构成主要项。（4 4）余下的）余下的 1 1 格都有两种或两种以上圈法，此时的原则是格都有两种或两种以上圈法，此时的原则是在保证有独立在保证有独立 1 1 格的前提下，包围圈越大越好，圈数目格的前提下，包围圈越大越好，圈数目越少越好。所有越少越好。所有 1 1 格至少被圈过一次。格至少被圈过一次。（5 5）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规）写出化简后的表达

59、式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为则是，取值为1 1的变量用原变量表示，取值为的变量用原变量表示，取值为0 0的变量用反的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与即得最简与或表达式。或表达式。2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化例例1515： 化简逻辑函数：化简逻辑函数：F F（A A, ,B B, ,C C, ,D D）=m m（0,2,5,6,7,9,10,14,150,2,5,6,7,9,10,14,15）解：解：（1 1）由表达式画出卡诺图。）由表达式画出卡诺图。（2 2）画包围圈，合并最

60、）画包围圈，合并最小项，得简化的与小项，得简化的与或表或表达式达式: :B BC CD DC CB BD DA AD DB BA AD DC CB BA AF FDCBA AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 101110000101101011DBABDABCDC2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化例例1616： 化简逻辑函数：化简逻辑函数：F F（A A, ,B B, ,C C, ,D D）=m m（0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,150,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15）解：（解：（1 1）由表达式画出卡诺图。）由表达式画出卡诺图。（2 2）画包围圈，合并最）画包围圈，合