第一章试验数据的误差分析

1、第一章第一章 试验数据的误差分析试验数据的误差分析11.1 1.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念1.1.11.1.1真值和平均值真值和平均值 通过测量仪表测量某种物理量，仪表所示值（测量值）与实际值之通过测量仪表测量某种物理量，仪表所示值（测量值）与实际值之间存在的差别即是误差：间存在的差别即是误差：=|=|测量值测量值- -真值真值| |。 真值即真实值，是指在一定条件下，被测量客观存在的实际值。真值即真实值，是指在一定条件下，被测量客观存在的实际值。真真值在不同场合有不同的含义。值在不同场合有不同的含义。 理论真值理论真值：也称绝对真值，如平面三角形三内角之和恒为：也称绝对

2、真值，如平面三角形三内角之和恒为18O18O。 规定真值规定真值：国际上公认的某些基准量值，如：国际上公认的某些基准量值，如19821982年国际计量局召开年国际计量局召开的米定义咨询委员会提出新的米定义为的米定义咨询委员会提出新的米定义为“米等于光在真空中米等于光在真空中1 1299792458 299792458 秒时间间隔内所经路径长度秒时间间隔内所经路径长度”。这个米基准就当作计量长度。这个米基准就当作计量长度的规定真值。的规定真值。2 相对真值相对真值：计量器具按精度不同分为若干等级，上一等级的指示：计量器具按精度不同分为若干等级，上一等级的指示值即为下一等级的真值，此真值称为相对真

3、值。例如，在力值的传递值即为下一等级的真值，此真值称为相对真值。例如，在力值的传递标准中，用二等标准测力机校准三等标准测力计，此时二等标准测力标准中，用二等标准测力机校准三等标准测力计，此时二等标准测力机的指示值即为三等标准测力计的相对真值。机的指示值即为三等标准测力计的相对真值。 对于被测物理量，真值通常是个未知量，对于被测物理量，真值通常是个未知量，由于误差的客观存在，由于误差的客观存在，真值一般是无法测得的。真值一般是无法测得的。 测量次数无限多时，根据正负误差出现的概率相等的误差分布规测量次数无限多时，根据正负误差出现的概率相等的误差分布规律，在不存在系统误差的情况下，它们的平均值极为

4、接近真值。故在律，在不存在系统误差的情况下，它们的平均值极为接近真值。故在实验科学中真值的定义为无限多次观测值的平均值。实验科学中真值的定义为无限多次观测值的平均值。 但实际测定的次数总是有限的，但实际测定的次数总是有限的，由有限次数求出的平均值，只能由有限次数求出的平均值，只能近似地接近于真值，可称此平均值为最佳值（或可靠值）。近似地接近于真值，可称此平均值为最佳值（或可靠值）。1.11.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念nxnxxxxniin1213常用的平均值有以下几种：常用的平均值有以下几种：设有设有n n个试验值：个试验值：x x1 1，x x2 2，x xn n1.1

5、.算术平均值算术平均值2.2.加权平均值加权平均值niiniiinnnxxxxx112122111.1 1.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念i4(1)(1)当试验次数很多时，当试验次数很多时，可以将权理解为试验值可以将权理解为试验值x xi i在很大的测量总数在很大的测量总数中出现的频率中出现的频率n ni i/n/n。(2)(2)如果试验值是在同样的试验条件下获得的，但来源于不同的组，如果试验值是在同样的试验条件下获得的，但来源于不同的组，这时加权平均值计算式中的这时加权平均值计算式中的x xi i代表各组的平均值，而代表各组的平均值，而 代表每组试代表每组试验次数。验次数。

6、如书上如书上P4P4例例1 11 1，这时加权平均值即为总算术平均值。，这时加权平均值即为总算术平均值。1.11.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念组测量值平均值1234100.357,100.343,100.351100.360,100.348100.350,100.344,100.336,100.340,100.345100.339,100.350,100.340100.350100.354100.343100.343例例1 11 1求其加权平均值求其加权平均值346.10035233343.1005343.1002354.1003350.100wx1.11.1 有关数据处理

7、的基本概念有关数据处理的基本概念5此即总算术平均值此即总算术平均值例例1 12 2 测定测定PHPH值时，得到两组数据，其平均值为：值时，得到两组数据，其平均值为：02. 053. 81 . 05 . 821xx；试求它们的平均值。试求它们的平均值。53. 82500100250053. 81005 . 8250002. 011001 . 012221PHww，1.11.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念6(3)(3)根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数，如书上，如书上P4P4例例1 12 2。nxnxxxxniin1222221均方根74

8、.4.均方根平均值均方根平均值5.5.调和平均值调和平均值niinxnxxxnH1211111可见，可见，调和平均值是试验值倒数的算术平均值的倒数。调和平均值是试验值倒数的算术平均值的倒数。1.11.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念3.3.几何平均值几何平均值nniinnGxxxxx12181.1.21.1.2误差与偏差误差与偏差1.1.误差的产生误差的产生（1 1）系统误差）系统误差 系统误差是由某些系统误差是由某些固定不变的因素引起固定不变的因素引起的，这些因素影响的结果的，这些因素影响的结果永远永远朝一个方向偏移朝一个方向偏移，其大小及符号在同一组实验测量中完全相同。当实

9、验，其大小及符号在同一组实验测量中完全相同。当实验条件一经确定，系统误差就是一个客观上的恒定值，条件一经确定，系统误差就是一个客观上的恒定值，多次测量的平均值多次测量的平均值也不能减弱它的影响也不能减弱它的影响。系统误差随实验条件的改变按一定规律变化。系统误差随实验条件的改变按一定规律变化。产生系统误差的原因有以下几方面：产生系统误差的原因有以下几方面：测量仪器的因素，如仪器设计上的缺点，刻度不准，仪表未进行校正测量仪器的因素，如仪器设计上的缺点，刻度不准，仪表未进行校正或标准表本身存在偏差，安装不正确等；或标准表本身存在偏差，安装不正确等；测量方法因素，如近似的测量方法或近似的计算公式等引起

10、的误差；测量方法因素，如近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差；1.11.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念9测量人员的习惯和偏向或动态测量时的滞后现象等，如读数偏测量人员的习惯和偏向或动态测量时的滞后现象等，如读数偏高或偏低所引起的误差。高或偏低所引起的误差。 针对以上具体情况，分别改进仪器和实验装置，以及提高测试技针对以上具体情况，分别改进仪器和实验装置，以及提高测试技能，对系统误差予以解决。能，对系统误差予以解决。（2 2）随机误差）随机误差 它是由它是由某些不易控制的因素造成某些不易控制的因素造成的。如外界温度的微小波动、仪器的。如外界温度的微小波动、仪器的轻微振动、

11、电压的微小波动等引起的误差。的轻微振动、电压的微小波动等引起的误差。在相同条件下做多次测量，其误差数值是不确定的，时大时小，时在相同条件下做多次测量，其误差数值是不确定的，时大时小，时正时负，没有确定的规律，这类误差称为随机误差或偶然误差。这类正时负，没有确定的规律，这类误差称为随机误差或偶然误差。这类误差产生原因不明，因而无法控制和补偿。误差产生原因不明，因而无法控制和补偿。若对某一量值进行足够多次的等精度测量，就会发现随机误差服从若对某一量值进行足够多次的等精度测量，就会发现随机误差服从统计规律，这种规律可用正态分布曲线表示。统计规律，这种规律可用正态分布曲线表示。1.11.1 有关数据处

12、理的基本概念有关数据处理的基本概念正态分布具有以下特点：正态分布具有以下特点：正态分布曲线对称，以平均值为中心；正态分布曲线对称，以平均值为中心；当平均值时，曲线处于最高点、当当平均值时，曲线处于最高点、当x x向左右偏离时，向左右偏离时，曲线逐渐降低，整个曲线呈中间高、两边低的形状；曲线逐渐降低，整个曲线呈中间高、两边低的形状；曲线与横坐标轴所围成的面积等于曲线与横坐标轴所围成的面积等于1 1。 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋近于零，所以多随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋近于零，所以多次测量结果的算术平均值将更接近于真值。次测量结果的算术平均值将更接近于真值。10过失误

13、差是一种与实际事实明显不符的误差，过失误差明显地歪曲过失误差是一种与实际事实明显不符的误差，过失误差明显地歪曲试验结果。误差值可能很大，且无一定的规律。试验结果。误差值可能很大，且无一定的规律。它主要是由于实验人员粗心大意、操作不当造成的，如读错数据，记它主要是由于实验人员粗心大意、操作不当造成的，如读错数据，记错或计算错误，操作失误等。错或计算错误，操作失误等。（3 3）过失误差）过失误差1.1 1.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念 在测量或实验时，只要认真负责是可以避免这类误差的。存在过在测量或实验时，只要认真负责是可以避免这类误差的。存在过失误差的观测值在实验数据整理时应

14、该剔除。失误差的观测值在实验数据整理时应该剔除。112.2.误差与偏差的基本概念误差与偏差的基本概念（1 1）绝对误差）绝对误差绝对误差是指实测值与被测之量的真值之差绝对误差是指实测值与被测之量的真值之差：绝对误差绝对误差= =观察值观察值- -真值真值xxxxxxtt或或(2)(2)相对误差相对误差相对误差是指绝对误差与被测真值（或实际值）的比值相对误差是指绝对误差与被测真值（或实际值）的比值：真值真值绝对误差绝对误差相对误差相对误差1001.1 1.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念%100tRxxE 由于误差是不可避免的，故真值往往是得不到的。所以由于误差是不可避免的，故真

15、值往往是得不到的。所以绝对误绝对误差、相对误差的概念只有理论上的价值差、相对误差的概念只有理论上的价值。121.11.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念（3 3）偏差）偏差 表示测量值与平均值之间的差值表示测量值与平均值之间的差值。 一组试验数据的精密度可以用一组试验数据的精密度可以用平均偏差平均偏差和和标准偏差标准偏差两种方法来表示。两种方法来表示。 我们可以根据测量仪器的精度等级或最小刻度来计算最大绝对误我们可以根据测量仪器的精度等级或最小刻度来计算最大绝对误差差 。例如某压强表注明的精度等级为。例如某压强表注明的精度等级为1.51.5级，则表明该表绝对误差为最级，则表明该表

16、绝对误差为最大量程的大量程的1.5%1.5%，如果最大量程为，如果最大量程为0.4MPa0.4MPa，则该压强表的绝对误差为，则该压强表的绝对误差为0.006MPa0.006MPa；又如某天平的最小刻度为；又如某天平的最小刻度为0.1mg0.1mg，则其最大绝对误差为，则其最大绝对误差为0.1mg0.1mg。ndnxxdniinii11标准偏差标准偏差标准偏差又称均方根误差、标准误差，简称标准差。标准偏差又称均方根误差、标准误差，简称标准差。A A、当试验次数、当试验次数n n无穷大时，称为无穷大时，称为总体标准差总体标准差：nnxxnxxndniniiiniinii12121212/)()(

17、平均偏差平均偏差 设试验值和算术平均值之间的偏差为设试验值和算术平均值之间的偏差为d di i，则平均偏差定义式为：，则平均偏差定义式为：d131.11.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念1/)(1)(112121212nnxxnxxndsniniiiniinii141.1 1.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念 误差与偏差的含义不同，必须加以区别。但是由于在一般情况下，误差与偏差的含义不同，必须加以区别。但是由于在一般情况下，真实值是不知道的真实值是不知道的( (测量的目的就是为了测得真实值测量的目的就是为了测得真实值) )，因此，因此处理实际处理实际问题时常常在

18、尽量减小系统误差的前提下，把多次平均测量值当作真问题时常常在尽量减小系统误差的前提下，把多次平均测量值当作真实值，把偏差当作误差。实值，把偏差当作误差。 例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.4537.45，37.2037.20，37.5037.50，37.3037.30，37.2537.25（% %），计算测量结果的平均值、平均偏差、相对），计算测量结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差。平均偏差、标准偏差、相对标准偏差。B B、试验次数一般为有限次，于是称为、试验次数一般为有限次，于是称为样本标准差样本标准差：%

19、34.37x%108. 05/)%09. 016. 004. 014. 011. 0(d%29. 0%100%34.37%108. 0%100 xd 35. 0100%34.37%13. 0%13. 0RSDs各次测量值的偏差分别是：各次测量值的偏差分别是：0.11%0.11%，-0.14%-0.14%，-0.04%-0.04%，0.16%0.16%，-0.09%-0.09%解：解：1.1 1.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念15 在在ExcelExcel中，可以用有关内置函数来计算这些试验值的常用统计量：中，可以用有关内置函数来计算这些试验值的常用统计量：3.试验数据的精准度

20、试验数据的精准度 误差可能由随机误差或系统误差单独造成，也可能是二者的叠误差可能由随机误差或系统误差单独造成，也可能是二者的叠加，引入加，引入精密度、正确度、准确度精密度、正确度、准确度三术语来说明这一问题。三术语来说明这一问题。（1 1）精密度）精密度 精密度反映了随机误差大小的程度精密度反映了随机误差大小的程度，是指在一定的试验条件下，是指在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度，即多次试验值的彼此符合程度，即试验值分散程度试验值分散程度。161.11.1 有关数据处理的基本概念有关数据处理的基本概念（2 2）正确度）正确度()AVERAGEx ()GEOMEANxG()HARMEAN

21、H ()AVEDEVd ()2VARs样本方差()2VARP样本总体方差()STDEVs样本标准差()STDEVP样本总体标准差 准确度反映了系统误差和随机误差的综合准确度反映了系统误差和随机误差的综合，表示了试验结果与，表示了试验结果与真值的一致程度。真值的一致程度。 精密度、正确度、准确度三者之间的关系可用下图来说明：精密度、正确度、准确度三者之间的关系可用下图来说明： 图图A A精密度不好，但正确度好；图精密度不好，但正确度好；图B B的精密度好，但正确度不好；的精密度好，但正确度不好；图图C C的精密度和正确度都好，即准确度好。的精密度和正确度都好，即准确度好。171.11.1 有关数

22、据处理的基本概念有关数据处理的基本概念 正确度反映了系统误差的大小正确度反映了系统误差的大小，是指在一定的试验条件下，所，是指在一定的试验条件下，所有系统误差的综合。有系统误差的综合。（3 3）准确度）准确度1.2 1.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验1.2.11.2.1随机误差的估计随机误差的估计1.1.极差极差：极差是指一组试验值中最大值与最小值的差值。：极差是指一组试验值中最大值与最小值的差值。minmaxxxR2.2.标准差标准差：若随机误差服从正态分布，则可用标准差来反映随机误：若随机误差服从正态分布，则可用标准差来反映随机误差的大小，标准差越小，数据的分散性越低

23、，精密度越高，随机误差的大小，标准差越小，数据的分散性越低，精密度越高，随机误差越小，试验数据的正态分布曲线越尖。差越小，试验数据的正态分布曲线越尖。3.3.方差方差：方差即标准差的平方，分为总体方差和样本方差，显然方：方差即标准差的平方，分为总体方差和样本方差，显然方差也反映了数据的分散程度，即随机误差的大小。差也反映了数据的分散程度，即随机误差的大小。181.2 1.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验 随机误差的大小可以用试验数据的精密度来反映，而精密度的随机误差的大小可以用试验数据的精密度来反映，而精密度的好坏可用方差来度量，因此可用方差检验判断试验结果的随机误差好坏可

24、用方差来度量，因此可用方差检验判断试验结果的随机误差之间的关系。之间的关系。191.2 1.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验章节。学工业出版社）的第一（第二版，李云雁，化设计与数据处理检验。可以参阅试验随机误差或精密度进行的试验数据之间的检验来对具有正态分布检验、可用F2201.2 1.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验。差异的概率为显著的概率，或者说两者无表示两方差有显著差异无显著差异。判断两方差之间有与临界值进行比较，可，将计算得到的可查取临界值分布由附录的该统计量服从自由度为计量：服从正态分布，构造统，设有一组试验数据检验。适用于一个总体方差的随机误

25、差进行检验，它数据的已知的情况下，对试验方差检验是在试验数据总体检验1)(11) 1(,) 1 (222222n21222fnfsnxxx211.2 1.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验偏大）。总体方差偏小（或断数据的方差与是否比属于单侧检验，用于判、右侧检验。否则有显著增大，称为体方差无显著增大，该数据的方差与原总，、若左侧检验。否则有显著减少，称为体方差无显著减少，该数据的方差与原总，、若无显著差异的情况。检验。用于只需判断有有显著差异，称为双侧否则方差之间无显著差异，则该组数据与原总体、CB)(C)(B22222)1(22222)21(ffffA221.2 1.2 试

26、验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验。修后稳定性有显著变化之外，显然仪器经过检落在区间。，查取临界值双侧检验：，可用映的是随机误差的大小解：“稳定性”实际反）（性是否有了显著变化。问仪器经过检修后稳定。试，样的样品，数据如下：用它测定同，分光光度计检修后，正常情况下测定方差的浓度，在某样品中：用某分光光度计测定例新版教材)449.14,237. 1 (449.14)6(237. 1)6(036. 015. 0000135. 0) 17() 1(000135. 005. 0165. 0159. 0176. 0145. 0161. 0156. 0142. 015. 0Al5110P220

27、25. 02975. 0222222223sns231.2 1.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验性较之前有显著减少。波动说明技改后甲醇含量的查取临界值左侧检验：用以前有明显减少，应该解：判断波动性是否比）小。（醇含量的波动性是否更。试问技术改造后甲量的方差个样品结果样品甲醇含抽检，技术改造后，艺下甲醇含量的方差的含量的波动性。原工醇，以减少工业酒精中甲：某工厂进行技术改造例新版教材, 3 .10848.13)24(3 .1035. 015. 0) 125() 1(05. 015. 02535. 06110P2295. 0222222sns241.2 1.2 试验数据误差的估

28、计与检验试验数据误差的估计与检验否则有显著增大。无显著增大，比方差，则判断方差，且右侧检验：若。减小，否则有显著减小无显著比方差，则判断方差，且左侧检验：若异。著差异，否则有显著差无显与方差，可判断方差双侧检验：若可作出检验结果。值与临界值比较，即，将分布。对于给定的该统计量服从，构造统计量：和方差分别为都服从正态分布，样本，两组数据，和，设有两组试验数据：的精密度的比较。态分布的试验数据之间检验适用于两组具有正检验21),(121),(121),(F),(FF),(FFFF)2(2121)1(21221)21(2122212221)2()2(2)2(1)1()1(2)1(121ffFFFff

29、FFFffFffffssssxxxxxxnn251.2 1.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验有显著提高。新法比旧法的精密度没），（。因为），（左侧检验。查取临界值减小，即旧法的方差是否有显著要检验新法方差比旧法有显著提高，只需）新法的精密度是否比（没有显著差异。两种测量方法的精密度值介于二者之间，。查取临界值，双侧检验法）采用解：（）密度有显著提高。（）新法是否比旧法的精（否有显著差异；）两种方法的精密度是试问（，旧法：，新法：的含量，结果如下：某废水中（旧法）测定新法）和：用原子吸收光谱法（例新版教材,109319. 01092F779. 3)10, 9(F,252. 0

30、)10, 9(F350. 01023. 11029. 4F ,1023. 11029. 4105. 021179. 0183. 0164. 0174. 0176. 0161. 0156. 0155. 0165. 0181. 0153. 0173. 0174. 0179. 0166. 0161. 0169. 0168. 0159. 0175. 0163. 0AlEDTA7111P95. 095. 0025. 0975. 04522214225213FFFFssssF1.2.21.2.2系统误差的检验系统误差的检验秩和检验法秩和检验法 秩和检验法可以检验两组数据间是否存在显著性差异，如果秩和检验法

31、可以检验两组数据间是否存在显著性差异，如果一组数据无系统误差时，可用该法判断另一组数据有无系统误差一组数据无系统误差时，可用该法判断另一组数据有无系统误差。 设有两组实验数据：设有两组实验数据：x x1 1(1)(1)， x x2 2(1)(1)， x xn1n1(1)(1)与与x x1 1(2)(2)， x x2 2(2)(2)， x xn2n2(2)(2) ，其中，其中n n1 1，n n2 2分别是两组试验数据的个数，假设这两组试验数据分别是两组试验数据的个数，假设这两组试验数据是相互独立的，是相互独立的，n n1 1nn2 2。 首先将这首先将这n n1 1+n+n2 2个试验数据混在

32、一起，按从小到大的次序排列，个试验数据混在一起，按从小到大的次序排列，每每个试验值在序列中的次序号叫该值的秩个试验值在序列中的次序号叫该值的秩，然后将属于第，然后将属于第1 1组数据的秩组数据的秩相加，其和记为相加，其和记为R R1 1，同理可得，同理可得R R2 2。如果两组数据之间无显著差异，则。如果两组数据之间无显著差异，则R R1 1就不应该太小或太大，对于给定的显著水平就不应该太小或太大，对于给定的显著水平 和和n n1 1，n n2 2，由秩和，由秩和临界值表（见附录临界值表（见附录1 1）可查得）可查得R R1 1的上下限的上下限T T1 1和和T T2 2。261.2 1.2

33、试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验 如果如果R R1 1TT2 2或或R R1 1TT1 1, ,则认为两组数据有显著差异，如果则认为两组数据有显著差异，如果T T1 1RR1 1TTT2 2，故两组数据有显著差异，乙组数据有系统误差。，故两组数据有显著差异，乙组数据有系统误差。1.2 1.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验281.2.31.2.3过失误差的检验过失误差的检验 在一组条件完全相同的重复试验中，个别的测量值可能会出现异在一组条件完全相同的重复试验中，个别的测量值可能会出现异常。如测量值过大或过小，这些过大或过小的测量数据是不正常的，常。如测量值过大

34、或过小，这些过大或过小的测量数据是不正常的，或称为可疑的。对于这些可疑数据应该用数理统计的方法判别其真伪，或称为可疑的。对于这些可疑数据应该用数理统计的方法判别其真伪，并决定取舍。常用的方法有拉依达法、格拉布斯法。并决定取舍。常用的方法有拉依达法、格拉布斯法。1.1.拉依达法拉依达法 当试验数据较多时使用拉依达法最为简单，因为此法无须查表，当试验数据较多时使用拉依达法最为简单，因为此法无须查表，但是试验数据较少时，不能应用拉依达法，即但是试验数据较少时，不能应用拉依达法，即n10n10时用时用3s3s作界限，作界限，或或n5n5时用时用2s2s作界限均无法舍去异常数据。注意：作界限均无法舍去异

35、常数据。注意：计算计算s s时应该包括时应该包括可疑数据可疑数据x xp p。 如果如果 则应将则应将x xp p从该组试验值中剔除。从该组试验值中剔除。 例子见书上例子见书上P11P11例例1 16 6ssxxdpp23 或s205. 0s301. 0取，取291.2 1.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验例例1 16 6 有一组数据：有一组数据：0.1280.128，0.1290.129，0.1310.131，0.1330.133，0.1350.135，0.1380.138，0.1410.141，0.1420.142，0.1450.145，0.1480.148，0.167

36、0.167，用拉依达法判断偏差较大的，用拉依达法判断偏差较大的0.1670.167这一数据是否属于异常值？这一数据是否属于异常值？计算包括计算包括0.1670.167在内的平均值及标准偏差：在内的平均值及标准偏差：0116. 0140. 0sx，027. 0140. 0167. 0 xxdpp0335. 001116. 033s不应该剔除。这一值并不异常，时，当0.1670.013sdp1.2 1.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验302.2.格拉布斯法格拉布斯法 格拉布斯法能够适用于试验数据较少时的检验。格拉布斯法能够适用于试验数据较少时的检验。s)n ,(xxdpp),(

37、n 当当 则应该将则应该将x xp p从该组试验值中剔除。这里从该组试验值中剔除。这里 称为格拉布斯检称为格拉布斯检验临界值，它与试验次数验临界值，它与试验次数n n及显著水平及显著水平 有关，附录有关，附录2 2给出了给出了 的数值。的数值。),(n例子见书上例子见书上P12P12例例1 17 7。311.21.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验例例1 17 7 有一组数据：有一组数据：10.2910.29，10.3310.33，10.3810.38，10.4010.40，10.4310.43，10.4610.46，10.5210.52，10.82(%) 10.82(%)

38、，试问是否有数据应该被剔除？（，试问是否有数据应该被剔除？（ =0.05=0.05）(1)(1)检验检验10.8210.8203216045108050.s.x),.(；查表得，32. 016. 003. 2)8 ,05. 0(s这个值应该被剔除。所以8210320370.dp(2)(2)检验检验10.5210.52小，都应保留。据的偏差都比不应该被剔除，剩余数故，5210521015012015007809419410780401070507050.d.s.s.xp),.(),.(1.2 1.2 试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验321.3 1.3 有效数字和试验结果的表示有效

39、数字和试验结果的表示1.3.11.3.1有效数字有效数字 能够代表一定物理量的数字，称为有效数字。有效数字只能具有能够代表一定物理量的数字，称为有效数字。有效数字只能具有一位可疑值，有效数字的末位数往往是估计出来的，具有一定的误差。一位可疑值，有效数字的末位数往往是估计出来的，具有一定的误差。测量中所使用的仪器仪表只能达到一定的精度，因此有效数字的位数测量中所使用的仪器仪表只能达到一定的精度，因此有效数字的位数可反映试验的精度或表示所用试验仪表的精度，不能随便多写或少写。可反映试验的精度或表示所用试验仪表的精度，不能随便多写或少写。 数字数字0 0是否是有效数字，取决于它在数据中的位置。一般是

40、否是有效数字，取决于它在数据中的位置。一般第一个第一个非非0 0数前的数字都不是有效数字数前的数字都不是有效数字，而第一个非而第一个非0 0数后的数字都是有效数数后的数字都是有效数字字。例如。例如29mm29mm和和29.00mm29.00mm并不等价，前者为两位有效数字，后者是四并不等价，前者为两位有效数字，后者是四位有效数字，它们是用不同精度的仪器测量得到的数值。位有效数字，它们是用不同精度的仪器测量得到的数值。 小数点的位置并不影响有效数字的位数，例如小数点的位置并不影响有效数字的位数，例如50mm50mm，0.050m0.050m，5.05.010104 4umum的有效数字位数都为的

41、有效数字位数都为2 2，三个数据的准确度是相同的。改，三个数据的准确度是相同的。改变单位不能改变有效数字的位数，如变单位不能改变有效数字的位数，如5.05.010104 4umum，不能写成，不能写成50000um 50000um 。1.3.21.3.2有效数字的运算规则有效数字的运算规则331.31.3 有效数字和试验结果的表示有效数字和试验结果的表示341.31.3 有效数字和试验结果的表示有效数字和试验结果的表示3.3.乘方、开方运算乘方、开方运算: : 乘方、开方后的结果的有效数字位数应与其底数相同，也可比乘方、开方后的结果的有效数字位数应与其底数相同，也可比原数多保留一位有效数字。原

42、数多保留一位有效数字。2.42.42 2=5.8=5.8或或5.765.764.4.对数运算对数运算: : 对数的小数点后的位数与真数的有效数字位数相同。对数的小数点后的位数与真数的有效数字位数相同。例如：例如：lg5.6=0.75lg5.6=0.755. 5. 常数及自然数：常数及自然数： 在所有计算式中，常数在所有计算式中，常数,e,e等、自然数等的有效数字位数，认等、自然数等的有效数字位数，认为无限制，需要几位就取几位。为无限制，需要几位就取几位。 351.31.3 有效数字和试验结果的表示有效数字和试验结果的表示1.3.31.3.3有效数字的修约规则有效数字的修约规则 常用的常用的“四

43、舍五入四舍五入”的方法对数值进行取舍，得到的均值偏大。的方法对数值进行取舍，得到的均值偏大。 而而“四舍六入五留双四舍六入五留双”数值取舍规则数值取舍规则 ，进舍的状况具有平衡性，变，进舍的状况具有平衡性，变大的可能性与变小的可能性是一样的。规则规定：大的可能性与变小的可能性是一样的。规则规定：4 4和和4 4以下的数字舍以下的数字舍去，去，6 6和和6 6以上的数字进位；若是以上的数字进位；若是5 5这个数字，如果它前面一个数是奇这个数字，如果它前面一个数是奇数就入，是偶数就舍。如果有多位数字要舍取，不能从最后一位数字数就入，是偶数就舍。如果有多位数字要舍取，不能从最后一位数字开始连续进行取

44、舍。开始连续进行取舍。1.4 1.4 误差的传递误差的传递设间接测量值与直接测量值之间存在下面的函数关系：设间接测量值与直接测量值之间存在下面的函数关系：),(21nxxxfy361.31.3 有效数字和试验结果的表示有效数字和试验结果的表示对上式进行全微分：对上式进行全微分：nndxxfdxxfdxxfdy2211nxxxy,21用用 分别代替分别代替ndxdxdxdy,21nnxxfxxfxxfy2211或或niiixxfy1 考虑最不利的情况考虑最不利的情况直接测量误差不抵消，从而引起误差的累直接测量误差不抵消，从而引起误差的累积，故取绝对值得到间接测量值的绝对误差为：积，故取绝对值得到间接测量值的绝对误差为：371.41.4 误差的传递误差的传递niiixxfy1381.41.4 误差的传递误差的传递误差传递系数式中ixf直接测量值的误差ix误差间接测量值的最大绝对iy相对误差的计算公式为：相对误差的计算公式为：niiiyxxfyy1391.4 1.4 误差的传递误差的传递niiiyxf122 或或niiiysxfs122项，得到两