施图姆刘维尔本征值问题实用教案

1、施图姆-刘维尔本征值问题构成施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)本征值问题(本征值的全体称为给定(i dn)问题的“谱”)。例：(1) a=0，b=l，k(x)=常数，q(x)=0， (x)=常数)()( 0)()()(条件类、第三类或自然边界第一类、第二附加边界条件bxayxyxqdxdyxkdxd为本征值；(x)(x)为权重(qun zhn)(qun zhn)因子( (权函数) ) 0)(0)0(0lyyyy，lxnCxylnnnsin)(222第1页/共16页第一页，共16页。( (2) ) a=- -1，b=1，k( (x) )=1- -x2，q( (x) )=0，( (x

2、) )=1( (3) ) a=- -1，b=1，k( (x) )=1- -x2，q( (x) )= m2/(/(1- -x2) )， ( (x) )=1阶勒让德多项式或正整数为本征值llll)0( ) 1(有限) 1(0)1 (2yydxdyxdxd有限) 1(01)1 (222yyyxmdxdyxdxd连带的勒让德函数本征值) 1(ll第2页/共16页第二页，共16页。(4) a=0(4) a=0，b=0b=0，k()=k()=，q()=m2/q()=m2/， ()= ()=贝塞尔方程( (本征值问题参阅(cnyu)11(cnyu)11章详细讨论) )(5) a=-(5) a=-，b=+b=

3、+，k(x)= k(x)= ，q(x)=0q(x)=0，(x)=(x)= ( (即厄米特方程 y-2xy+y=0 ) y-2xy+y=0 )0)( )0(002yyyymddydd有限22 xxee2/2220 xxxeyxyedxdyedxd的增长不快于，第3页/共16页第三页，共16页。 ( (见P409)P409)(6) a=0(6) a=0，b=+b=+，k(x)= k(x)= ，q(x)=0q(x)=0，(x)=(x)= ( (即拉盖尔方程(fngchng) xy+(1-(fngchng) xy+(1-x)y+y=0 )x)y+y=0 ) ( (见P411)P411) 注意： 以上各

4、例中，k(x)k(x)、q(x)q(x)和(x)(x)在区间(a(a，b)b)(44xHn厄米特多项式的倍数为偶数但不是的倍数或为xxexe 2/)0(0 xxxeyxyyedxdyxedxd的增长不快于，有限，)(xLn拉盖尔多项式为整数第4页/共16页第四页，共16页。上都取正值；关于自然(zrn)(zrn)边界条件是否存在：如端点a a或b b是k(x)k(x)的一阶零点，在该端点就存在自然(zrn)(zrn)边界条件( (参阅P214)P214)；如果端点变为，则要求未知解在xx时有界，或者趋向于与x x的有限次乘幂的同阶无穷小。二、施图姆- -刘维尔本征值问题的性质：共同条件： k(

5、x) k(x)、q(x)q(x)、(x)0(x)0定理1 1：k(x)k(x)、k(x)k(x)、q(x)q(x)在(a(a，b)b)上连续，且最 多以x=ax=a，x=bx=b为一阶极点，则存在无限多 个本征值第5页/共16页第五页，共16页。 1234.n. 1234.n. 且 n0 n=1 n0 n=1，2.2.相应(xingyng)(xingyng)有无限多个本征函数 y1(x) y1(x)、y2(x)y2(x)、y3(x)y3(x)、y4(x).y4(x).证明 n0 n=1 n0 n=1，2.2.设：本征值nn对应的本征函数为ynyn，是方程的根。 则0)()()(nnnnyxyx

6、qdxdyxkdxdbanbannbanndxyxqdxdxdyxkdxdydxyx22)()( )(第6页/共16页第六页，共16页。banbanbxnnaxnnbanbanbanndxyxqdxykykyykydxyxqdxdxdykyky2222)()()()()(0)( 022banbandxyxqdxdxdyk讨论(toln)：对第一、第二类边界条件：bxnnaxnnykyyky)()(0)(0)(0)(0)(bybyayaynnnn，第7页/共16页第七页，共16页。对第三类边界条件：上式大于零(见P216)，因为(yn wi)第一项同理第二项 得 n0 0)( 0)( bxnna

7、xnnyhybxyhyax端，端，0)( )()(22axnaxnnnnaxnnykhyhkyyhykyky0)( )()(22bxnbxnnnnbxnnykhyhkyyhykyky第8页/共16页第八页，共16页。定理2：相应于不同本征值n的本征函数yn(x)在区间(q jin)a、b上带权重正交，即证明：两式分别乘以yn、ym，相减mndxxyxyxbanm 0)()()(0)(0)( nnnnmmmmyqyykdxdyqyykdxd0)()()(nmnmnmmnyyykdxdyykdxdy第9页/共16页第九页，共16页。逐项积分讨论(toln)(证明同上)：banmnmbamnnmba

8、nmmndxyydxydxdykydxdykdxykdxdyykdxdy)( )()(此项为零0)( )()()()(banmnmaxnmmnbxnmmnbanmnmbanmmndxyyykyykyykyykydxyydxykyykydxd0)(bxnmmnykyyky0)(axnmmnykyyky第10页/共16页第十页，共16页。 又定理3 3：所有的本征函数y1(x)y1(x)、y2(x).y2(x).是完备的， 即若函数f(x)f(x)满足广义(gungy)(gungy)的狄里希利条件： (1) (1)具有连续一阶导数和逐段连续二阶导 数； (2) (2)满足本征函数族yn(x)(n=

9、1yn(x)(n=1、2 2、.).)所 满足的边界条件，则必可展为绝对且 一致收敛的广义(gungy)(gungy)傅立叶级数1)()(nnnxyfxfnm0)()()( banmdxxyxyx第11页/共16页第十一页，共16页。 fn fn称为广义傅立叶系数(xsh)(xsh)； 其中模方证明： 当m=nm=n时，正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要问题bannndyfNf)()()(12banndyN22)()(1)()(nnnxyfxf1)()()()()()(nbamnbamdyffdyfbannndyfNf)()()(12第12页/共16页第十二页，共16页。关于归一化问题：对 yn ，当Nn1时，可 yn/Nn 用作为(zuwi)新的本征函数族，即归一化本征函数族。正交关系复数本征函数族一般定义：模：正交关系：mnnmbanmNdxxxyxy2)()()(或mnmnmn 0 1bannndyyN)()()(20)()()(banmdyy第13页/共16页第十三页，共16页。广义傅里叶级数及系数(xsh)公式：例：对 考虑 ， (参见式)正交关系：1)()(nnnxyfxfbannndyfNf)