重极限与累次极限

1、1浙江师范大学数学系浙江师范大学数学系2二元函数极限的定义.|)(|),(, 0, 0)(lim000APfDPUPAPfDPPP有3 讨论函数.0 x,xy0, 1)y,x(f2，其余部分时，当等值图当点(x,y)沿任何直线趋于原点时，.)y,x(flim)0,0()y,x(不存在所以但是，当点(x,y)沿抛物线 y=k x2(0k1)趋于点(0,0)时，当 时的极限.)0 , 0(),(yx总有, 0),(yxf有 . 1),(yxf4 设)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2222yxyxyxyxxyyxf图像作极坐标变换 x= rcos , y= rsin . 由于|0),(|

2、yxf2222yxyxxy|4sin|412r什么值都有| f(x,y)-0| , 0),(lim)0,0(),(yxfyx证明：241r,0,2时当取r. 0),(lim)0,0(),(yxfyx即不论 取因此，对 , 05 讨论函数34244)yx(yx)y,x(f函数图像等值图分析：则有3422442)sinr(coscossinrf(x,y)=f(rcos,rsin)当 =0, /2, ,3/2 时，上式的值为0；当 取任一给定的且不等于k/2(k=0,1,2,3)的值时，总有：0)sinr(coscossinrlim34224420r作极坐标变换 x = rcos ,y = rsin

3、 ( ),20当 时的极限.) 0 , 0(),(yx6|f(rcos,rsin)|下面我们对例2和例3中的过程作一个比较.|f(rcos,rsin)|0, 对任意 x U0(x0; ),存在极限)y,x(flimlim00yyxx也存在，且. )y,x(flim)x(0yy则累次极限),(lim),(limlim),(),(0000yxfyxfyxyxyyxx16. )y,x(flim)x(0yy在(*)式中令yy0, 这就说明了)y,x(flimlim00yyxx)x(lim0 xx=A. ,A)y,x(flim)y,x()y,x(00设点(x0,y0)记为P0,.|)(|Ax由定义，对

4、当 时，有, 0, 01),(),(100PUyxP取 ),min(1* (*).|),(|Ayxf由条件，对 存在极限),(*00 xUx则当 时,),(*00 xUx17若 f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限)y,x(flim)y,x()y,x(00与累次极限)y,x(flimlim00yyxx则它们必相等.18如果重极限和两个累次极限都存在，它们是否相等？如果两个累次极限存在但不相等，重极限可能存在吗？19若累次极限 )y,x(flimlim),y,x(flimlim0000 xxyyyyxx和重极限)y,x(flim)y,x()y,x(00都存在，则三者相等.若累次极限 )y,x(flimlim)y,x(flimlim0000 xxyyyyxx与存在但不相等，则重极限.)y,x(flim)y,x()y,x(00必不存在20 函数yxyxyx)y,x(f22在点(0,0)的两个累次极限分别为yxyxyxlimlim220y0 xxxxlim20 x=1yxyxyxlimlim220 x0yyyylim20y= -1与因此，根据上面的推论2，重极限yxyxyxlim22)0,0()y,x(不存在. 21作业：P129 2