二次曲线的仿射理论-精品 ppt课件

1、一、二阶曲线与无穷远直线的关系一、二阶曲线与无穷远直线的关系二、二阶曲线的中心二、二阶曲线的中心三、直径与共轭直径三、直径与共轭直径33000A双曲型抛物型椭圆型相异的实点重合的实点共轭的虚点l=A33的符号仿射不变. 有心：(A31, A32, A33); 无心：(A31, A32, 0)或(a12,a11,0)或(a22,a12,0).无穷远直线的极点称为中心.对非退化二阶曲线讨论：中心、直径与共轭直径、渐近线三、直径与共轭直径三、直径与共轭直径1. 定义(1). 直径仿射定义解几定义 无穷远点P的有穷远极线(过中心的通常直线). 一组平行弦中点的轨迹.(XY, ZP)= 1(2). 共轭

2、直径 直径AB的共轭直径为AB上无穷远点P的极线EF(相互经过对方极点的两直径). 直径AB的共轭直径为平行于AB的弦的中点轨迹EF.(XY, ZP)= 1仿射定义解几定义(3). 共轭方向：与一对共轭直径平行的方向.l不是任何二阶曲线的直径！三、直径与共轭直径三、直径与共轭直径1. 定义2. 性质(1). 有心二阶曲线 (i) 的任一对共轭直径与l一同, 构成的一个自极三点形. (ii) 的每不断径平分与其共轭直径平行的弦, 且平行于共轭直径与交点处的两切线.(2). 抛物线 (i) 的直径相互平行(l不是抛物线的直径). (ii) 的任不断径的极点为其与有穷远交点处切线上的无穷远点. (i

3、ii) 的任不断径平分其与有穷远交点处切线平行的弦. (XY, ZP)= 1. (iv) 抛物线没有共轭直径, 将被不断径平分的弦的方向称为该直径的共轭方向.三、直径与共轭直径三、直径与共轭直径1. 定义2. 性质3. 直径的方程(1). 有心二阶曲线 (i) 直径的方程. 由于直径是以的中心为束心的线束中的直线. 以两特殊直径参数表示. 取两无穷远点(1,0,0), (0,1,0), 其极线(对应的直径)方程为0:0:32322211223132121111xaxaxalxaxaxal即0021xSxS从而任不断径l的方程为12:0,(4.37)SSlkkRxx 注: k的几何意义. (4.

4、37)表示的直径l方程可改写为：001321xSkxSxS这阐明l为(1,k,0)的极线. 而(1,k,0)是l的共轭直径上的无穷远点, 从而, (4.37)中的参数k为直径l的共轭方向(共轭直径的斜率).三、直径与共轭直径三、直径与共轭直径1. 定义2. 性质3. 直径的方程(1). 有心二阶曲线 (ii) 两直径共轭的条件. 设直径0:21xSkxSl的共轭直径为l.那么l为l上的无穷远点(a12+ka22,(a11+ka12),0)的极线. 从而l的方程为. 0)()(1211222121kaaxSkaaxS即. 021xSkxS其中22121211kaakaak为l的斜率, 即)40.

5、 4()0(0) (332122211111222Aaaaakkakka从而, 两直径共轭两直径的斜率满足对合方程. 性质. 在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中, 直径与共轭直径的对应是一个对合.三、直径与共轭直径三、直径与共轭直径1. 定义2. 性质3. 直径的方程(1). 有心二阶曲线(2). 抛物线利用中心坐标, 可直接写出的直径方程为.)(012113212111bxaaybbxxaxa即为常数或者.)(022123222112bxaaybbxxaxa即为常数(a12,a11,0)或(a22,a12,0)四、渐近线四、渐近线 1. 定义. 二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线

6、.注1. 等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线.注2. 与渐近线平行的方向称为渐近方向.注3.双曲线椭 圆有两条实虚渐近线, 一对渐近方向；抛物线无渐近线.从而, 渐近线只对有心二阶曲线讨论.四、渐近线四、渐近线1. 定义2. 性质(1). 渐近线是自共轭的直径.(2). 在以二阶曲线的中心为束心的线束中, 渐近线是对合)40. 4()0(0) (332122211111222Aaaaakkakka的两条不变直线. (3). 有心二阶曲线的两渐近线调和分别其任一对相异的共轭直径.3. 求渐近线方程设知有心二阶曲线) 1 (0, 0| , )(0:3331,AaaaxxaSijjiijjiji

7、ij求的渐近线方程.双曲线双曲型对合椭 圆椭圆型对合四、渐近线四、渐近线3. 求渐近线方程设知有心二阶曲线) 1 (0, 0| , )(0:3331,AaaaxxaSijjiijjijiij求的渐近线方程.法一. 利用对合不变元素. 在)40. 4()0(0) (332122211111222Aaaaakkakka中, 令k=k得不变元素方程为021112222akaka此方程的两根即为渐近线方向. 设两根为ki(i=1,2), 分别代入021xSkxS即可得两渐近线方程. 评注：此法简单且直接, 但假设上述参数表示中的两基线之一为渐近线, 那么ki中应有0或, 实践计算时容易丧失一条渐近线.

8、四、渐近线四、渐近线3. 求渐近线方程法二. 利用中心和渐近方向. 评注：此法简单且直接, 只需求出中心的非齐次坐标, 渐近线的方程即可直接写出(普通可不分解为两个一次式).得，联立003xS, 02222221122111xaxxaxa这表示过原点的两直线, 其上无穷远点即为与l的交点, 从而它们平行于两渐近线, 化为非齐次, 得. 0222212211yaxyaxa设中心的非齐次坐标为(, ). 那么渐近线的方程为. 0)()(2)(22212211yayxaxa四、渐近线四、渐近线3. 求渐近线方程 法三. 利用切线方程. 渐近线为过中心的切线, 将中心P(A31,A32,A33)代入SppS=S2p, 即得渐近线方程. 现对此法进展整理, 由于 评注：此法推导繁, 适用不繁, 由于在做题时, 首先判别能否退化, |aij|已有, 再判别能否有心, A33也知, 从而为知.332211xxSxxSxxSSpppp由于P为中心, 所以上式前二项的系数等于0, 从而.33xxSSpp将中心坐标代入, 得.|)(33333332323131xaxAaAaA