第4章 正弦交流电路1

1、 如果电流或电压的大小和方向每经过一定时如果电流或电压的大小和方向每经过一定时间间 （T ）就重复变化一次，则此种电流）就重复变化一次，则此种电流 、电压、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波三角波、锯齿波 等。等。 记做：记做： u(t) = u(t + T ) * TutuTt* 含有正弦电源（激励）且电路各部分所产生的电含有正弦电源（激励）且电路各部分所产生的电流和电压（响应）均按正弦规律变化的电路。流和电压（响应）均按正弦规律变化的电路。 4.1 t ii实际方向和参考方向一致实际方向和参考方向一致实际方向和参考方向相反

2、实际方向和参考方向相反 tIi sinmI Im m 2 Tit OfT22Tf1t O小常识小常识瞬时值：瞬时值：正弦量在任一瞬间的值。用小写字母表正弦量在任一瞬间的值。用小写字母表 示，如示，如 i 、 u 、 e 分别表示电流、电压及电分别表示电流、电压及电 动势的瞬时值。动势的瞬时值。有效值：有效值：在一个周期内，正弦量电流的有效值等于在一个周期内，正弦量电流的有效值等于 在相同时间内产生相同热量的直流电流在相同时间内产生相同热量的直流电流 值。用大写字母表示，如值。用大写字母表示，如 I、U、E。分别分别 表示电流、电压及电动势的有效值。表示电流、电压及电动势的有效值。幅值：幅值：

3、瞬时值中最大的值。用带有下标瞬时值中最大的值。用带有下标m的大写字的大写字 母表示。如母表示。如 Im、Um、Em分别表示电流、电分别表示电流、电 压及电动势的幅值。压及电动势的幅值。有效值：有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流与交流热效应相等的直流定义为交流 电的有效值。电的有效值。则有则有 TtiTI02d1dtRiT20RTI2 TttIT1022mdsin2mI 同理：同理：2mUU 2mEE 2）交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值）交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值3）一般所讲的正弦电压或电流的大小，均指其有效值）一般所讲的正弦电压或电流的大小，均指其有效值问题与讨论问题

4、与讨论 电器电器 220V最高耐压最高耐压 =300V 若购得一台耐压为若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可的电器，是否可用于用于 220V 的线路上的线路上? ? 该用电器最高耐压低于电源电压的最大值该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以，所以不不能用能用。2有效值值 U = 220V 最大值值 Um = 220V = 311V 电电源电压电压 。 :4.1.3 初相位初相位正弦量的相位角或相位称为角度)(t it )sin(mtIiO0)(tt)sin(1mtUu如：如：)()(21 tt21 若若021 uiu i tO)sin(2mtIi 9021 90021 0211802

5、1uitui Ouitui90OuituiOtuiuiO 不同频率的正弦量比较无意义。不同频率的正弦量比较无意义。 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。与计时的选择起点无关。 ti2i1iO2）三角函数（瞬时值）表示法）三角函数（瞬时值）表示法1）正弦波形图表示法）正弦波形图表示法)sin(m tUu3）相量（复数）表示法）相量（复数）表示法ut OUU &+j+1Abar 0复数表示形式复数表示形式设设A为复数为复数:A =a + jbabarctan22bar复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角式中式中:racosrbsi

6、n)sinj(cossinjcosrr rA由欧拉公式由欧拉公式:2jeesinjj ,2eecosjj rAje sinjcosej 可得可得: rrrjrbaA jesincosj rA )(sinmtUu设正弦量设正弦量:相量相量: 表示正弦量的复数称为相量（在大写字母上表示正弦量的复数称为相量（在大写字母上 打打“.”） UUejsincosUUj& 或：或：UeUjsincosUUmjmmm&jeUjbaU&在第一象限在第一象限 设设a、b为正实数为正实数jeUjbaU&在第二象限在第二象限jeUjbaU&在第三象限在第三象限在第四象限在第四象

7、限jeUjbaU& 相量的复数运算相量的复数运算1. 加加 、减运算减运算222111jbaUjbaU&设：设：jUebbjaaUUU)()(212121&则：则：111222UUUU&设：设：121212UU UU U&则：则：111222UUUU&设：设：111222UUUU&则：则：3. 除法运算除法运算2. 乘法运算乘法运算)(sinmtIi 非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。只有只有同频率同频率的正弦量才能画在同一相量图上。的正弦量才能画在同一相量图上。 I&U&IeImjm= 模模用最大值表示用最

8、大值表示 ，则用符号：，则用符号：mmI U&、 相量图相量图: 把相量表示在复平面的图形把相量表示在复平面的图形 实际应用中，模多采用有效值，符号：实际应用中，模多采用有效值，符号：I U&、I&U&如：已知如：已知)V45(sin220 tu45 Vom220&U45 Vo2202&U则则或或)jsincos(ejUUUU &相量式相量式:90je 旋转旋转 因子：因子：j90sinj90cosej90 rAje &90 相量相量 乘以乘以 ， 将逆时针旋转将逆时针旋转 ，得到，得到A& 90jeB&A&

9、;90相量相量 乘以乘以 ， 将顺时针旋转将顺时针旋转 ，得到，得到C& A& -j90eA&90C&+1+joB&A&符号说明符号说明瞬时值瞬时值 - 小写小写u、i有效值有效值 - 大写大写U、I复数、相量复数、相量 - 大写大写 + “.”U&最大值最大值 - 大写大写+ +下标下标mUV452220 U？)V45(sin220 tuVe22045m U&？)A30(sin24 t？Ae4j30 I&j45 )A60(sin10ti？V100 U？Ve100j15& U？ 2.已知：已知：A6010 I&am

10、p;V15100 U&1U& 202U& 452U&1U& 落后于落后于1U&2U&超前超前落后落后？V)45(sin21102tuV)20(sin22201tu+1+jV202201 U&V451102 U&解解：A506 .86301003024 .141jI&V5 .190110602206021 .311jU&已知瞬时值，求相量。已知瞬时值，求相量。已知已知: : V3314sin1 .311A6314sin4 .141tuti求：求： i 、u 的相量的相量 506 .86301003024 .1

11、41jI&5 .190110602206021 .311jU&2203/U&I&1006/求：21ii、已知相量，求瞬时值。已知相量，求瞬时值。 已知两个频两个频率都为为 1000 Hz 的正弦电电流其相量形式为为：A )306280sin(210A )606280sin(210021titi解：6280100022fj21A10A6010030&eI&I例例2: 已知已知)A60sinj60cos11()A30sinj30cos12.7( 有效值有效值 I =16.8 A)A 30 (314sin2.7 12 1ti )A 60 (314sin

12、211 2ti。 iii21A) 10.9 314(sin216.8 ti求：求：A3012.7 1 I&A60112 I&A6011A3012.721 III&A10.916.8j3.18)A-16.5( 21UUU&222111 sin2 sin2tUutUu同频率正弦波的同频率正弦波的相量画在一起，相量画在一起，构成相量图。构成相量图。 同频率正弦波相加同频率正弦波相加 -平行四边形法则平行四边形法则U&22U&1U&1设设tUusinmRUI tRU2RtURuisinsinmtI2tIsinsinm0 iu 相位差相位差 ： R

13、iu+_根据欧姆定律根据欧姆定律:iRu I&U&相量图相量图A&0Ie2IeIIj0mj0V&0UeUUeUj0mj02ituO 的正弦波形图的正弦波形图设设tUusinmtRU2RtURuisinsinmtI2tIsinsinmiup(1) 瞬时功率瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积瞬时电压与瞬时电流的乘积tIU2mmsin)2cos(121mmtIU结论结论: ( (耗能元件耗能元件),),表示外电路从电源取用能表示外电路从电源取用能 量量 0ptUtUutItIimmsin2sinsin2sinpituOtpOiuTTtiuTtpTP00d1d1UI

14、ttUITT0)dcos2(11ttIUTTd)2cos(12110mmIUP 单位单位:瓦瓦 (W),千瓦千瓦 (kW) 2RI P RU2Riu+_pptO(1) 自感电动势的参考方向自感电动势的参考方向(2) 自感电动势瞬时极性的判别自感电动势瞬时极性的判别tiLeLdd 0 tiLeLdd i 0 tidd 基本基本关系式：关系式： U =I L 90iu相位差相位差tiLeuLdd设：设：tItIimsin2siniu+-eL+-L90utu iiOttILud)sind(m)90(sin)90(sintUtUm2)90(sin2)90(sintLItILm)90(sin2tLIut

15、Iisin2LUI LXIU 则则: : 电感电感L具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用f = 0, XL =0，电感，电感L视为视为短路短路LfLXL2 fLXL2 L IUfXLLfLXL2LX)(jjLXILIU&fLUI 2U&I&相量图相量图90IU&超前超前)90(sin2tLIutIisin2根据：根据： 0II& 9090LIUU&LIUIU j90 &则：则：LXI,fOtUI2sin)90(sinsinmmttIUuiptIUttIU2sin2cossinmmmm)90(sin2)90(sinmtLItUutItIim

16、sin2sin0d)(2sind1oo ttUIT1tpTPTTp 0分析：分析：瞬时功率瞬时功率 ：uiptUI2sinui+-ui+-ui+-ui+-+p 0p 0p 0p XC 时时， 0 ，u 超前超前 i 呈呈感性感性当当 XL XC 时时 ， 0 感性感性)XL XC由电压三角形可得由电压三角形可得:cosUURsinUUxU&RU&CLUU& XU&CU&I&RU&( 0 容性容性)XL XC CU&LU&CLUU&U& RjXL-jXCRU&+_LU&+_CU&+_U

17、&+_I&由相量图可求得由相量图可求得: RXXXXRZCLCLarctan)(22ZIXRIXXRIUUUUCLCLR )()(222222 由阻抗三角形：由阻抗三角形：cosZR sinZX U&RU&CLUU& XU&ZRCLXXXt It Uiupsin)(sinmmt UIt IU2sinsinsincos2mm储能元件上储能元件上的瞬时功率的瞬时功率耗能元件上耗能元件上的瞬时功率的瞬时功率)(sinsinmmt Uut Ii设：设：RLCRu+_Lu+_Cu+_u+_i cos)d(2coscos1d100UIttUIUITtpTPT

18、T 单位单位: W cosUIP 所所以以总电压总电压总电流总电流u 与与 i 的夹角的夹角coscos 称为功率称为功率因数，用来衡因数，用来衡量对电源的利量对电源的利用程度。用程度。上消耗的电能有功功率是电阻性元件单位：单位：varsinUIQ 总电压总电压总电流总电流u 与与 i 的夹角的夹角根据电压三角形可得：根据电压三角形可得：RIIUUIPR2cos电阻消耗电阻消耗的电能的电能)()(2CLCLCLXXIIUUIUIUQ根据电压三角形可得：根据电压三角形可得：U&RU& XU&电感和电电感和电容与电源容与电源之间的能之间的能量互换量互换 电路中总电压与总电流

19、有效值的乘积。电路中总电压与总电流有效值的乘积。2IZUIS单位：单位：VA 注：注： SNUN IN 称为发电机、变压器称为发电机、变压器 等供电设备等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。大有功功率。22QPS QPS阻抗三角形、阻抗三角形、电压三角形、电压三角形、功率三角形功率三角形SQP22)(CLXXRZ sincosZXZR2)(CL2RUUUUsincosUUUUXR22QPSsincosSQSPRU&U&CLUU&将电压三角形的有效值同除将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形得到阻抗

20、三角形将电压三角形的有效值同乘将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形得到功率三角形RCLXX Z例例1：已知已知:)V20314(sin2220 tuF40127mH,30CLR求求:(1)电流的有效值电流的有效值I与瞬时值与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的各部分电压的有效值与瞬时值；有效值与瞬时值；(3) 作相量图；作相量图；(4)有功功率有功功率P、无功功率无功功率Q和视在功率和视在功率S。在在RLC串联交流电路中，串联交流电路中，解：解：,40101273143 LXL,801040314116- CXC,5080)(4030)(2222 CLXXRZ(1)4.4AA50220 ZU

21、I)A73314(sin244ti.-533080-40arctanarctanRXXCL 73,-53iiu所所以以因因为为 (2)V73314(sin2132tuR132V30V4.4 IRUR)V163314(sin2176tuL176VV404.4 LLIXU)V17314(sin2352tuC352V804.4CCIXU53U&LU&CU&CLUU&I&RU&通过计算可看出：通过计算可看出：CLRUUUUCLRUUUU&而是而是(3)相量图相量图(4)580.8W)W53(cos4.4220cos UIP或或580.8W2RII

22、UPR(4)-774.4var)var53(sin4.4220sin UIQ或或-774.4var)()(2CLCLXXIIU-UQ呈容性呈容性5350j40)30()( j CLXXRZA734.4A53-5020220 ZUI&V7313230V734.4 RIUR&V163176V7340j4.4j LLXIU&V17-352V7380j4.4j CCXIU&V20220 U&解：解：因为交流物理量除有效值外还有相位。因为交流物理量除有效值外还有相位。 CLCLRXXIIRUUUU？在在R-L-C串联电路中串联电路中在在正弦交流电路中正弦交流电路中

23、？ZUI Zui ？ZUI ？在在 R-L-C 串联电路中，假设串联电路中，假设？222CLRUUUU？22CLXXRIU在在R-L-C串联电路中，假设串联电路中，假设0II&？UUUCLarctan？RCLarctan？RXXCLarctan？RCLUUU arctan正误判断正误判断ZUI ？ZUI Zui ？ZUI&？在在RLC串联电路中，串联电路中， ZUI&？UUUCL arctan？RXXCL arctanRCLUUU arctan？ ？CXLXRUI？CLRUUUU？CLRuuuu？)CLXXRZj(RCL arctan？ ？CLXXRZ 0II&

24、设设UZZZU&2122 ZUI& 分压公式：分压公式：21ZZZ等效阻抗为：对于阻抗模一般对于阻抗模一般21ZZZ 注意：注意：IZZIZIZUUU&)( 212121 UZZZU&2111+U&Z-I&+U&1U&2U&1Z2Z+-+-I&通式通式: kkkXRZZj解：解：同理：同理：+U&1U&2U&1Z2Z+-+-I&3010j58.664)j(92.5)(6.1621 ZZZA022301030220 ZUI&V55.6239.822V55.610.922Vj9)

25、(6.1611 IZU&V58103.622Vj4)(2.522 IZU&j96.161Z例例1:有两个阻抗有两个阻抗j42.52Z它们串联接在它们串联接在V30220 U&的电源的电源;求求:I&和和21UU&、并作相量图。并作相量图。1U&U&I&2U&5830 55.6 21UUU&注意：注意： 21UUU +U&1U&2U&1Z2Z+-+-I&V58103.6V30220j58.66j42.52122 UZZZU&V55.6239.8V30220j58.66j96.1

26、62111 UZZZU& 下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？思考思考两个阻抗串联时两个阻抗串联时,在什么情况下在什么情况下:21ZZZ成立。成立。7ZU=14V ? 14ZU=70V ?(a)3 4 V1V2 6V8V+_U&6 8 30V40V(b)V1V2+_U&2121ZUZUIII& IZZZI&21122121ZZZZZ即：ZUI& 对于阻抗模一般对于阻抗模一般21111ZZZ21111ZZZ得：+U&1Z-I&2Z1I&2I&+U&Z-I&IZ

27、ZZI&2121通式通式:k11ZZ解解:同理：同理：+U&1Z-I&2Z1I&2I&26.54.4710.511.81650j68j4337105352121 ZZZZZA5344A535022011 ZUI&A3722A3701022022 ZUI&j431Z有两个阻抗有两个阻抗j682Z它们并联接在它们并联接在V0220 U&的电源上的电源上;求求:I&和和21II&、并作相量图。并作相量图。 21III相量图相量图1I&U&I&2I&533726.5 21III&注意

28、：注意：A26.549.226.54.470220 ZUI&或或A26.549.2A3722A53-44 21 III&思考思考 下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？2ZI=8A ?2ZI=8A ?(c)4A4 4A4 A2I&A1(d)4A4 4A4 A2I&A11、根据原电路图画出相量模型图、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变电路结构不变)Ee 、Ii 、UuX C 、XL 、 RRCL&jj2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图、根据相量模型列出相量方程式或画相量图3、用相量法或相量图求解、用相量法

29、或相量图求解4、将结果变换成要求的形式、将结果变换成要求的形式2121(2)i ,iII I &、iIZZZ &21 (1)、分析题目：分析题目：已知已知:Vsin2220tu 400,200100,501CLXX,RR求求: i21ii,+U&-1RCXj-LXjRI&1I&2I&+U&-50I&1I&2I&100j200j400-V0220 U&(11j100j200) LZRX2jj400CZX33440240)j32050(j400j200100j400)(j200)(10050 ZA330.5A3

30、34400220 ZUI&A59.6-0.89A330.5j400j200100j4002121 I I&ZZZI)A33(sin20.5 ti所所以以)A59.6(sin20.891ti)A93.8(sin20.52ti同理：同理：+U&-50I&1I&2I&100j200j400-A93.80.5A330.5j400j200100j2001002112 I I&ZZZI例例2： 下图电路中已知：下图电路中已知：I1=10A、UAB =100V，求：总电压求：总电压表和总电流表表和总电流表 的读数。的读数。分析：已知电容支路的电流、电压

31、和部分参数分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数求总电流和电压求总电流和电压AB C1V51I&2I&j10Aj5I&求：求：A、V 的读数的读数已知：已知：I1= 10A、 UAB =100V，解法解法1: 所以所以AB C1V51I&2I&j10Aj5I&即：即：V0100AB U&为参考相量，为参考相量，ABU&设：设：则：则：A45210A)5j5/(1002 I&Aj10A90101 I&A01021 III&Vj100)Vj10(L IU&所所以以求：求：A、V 的读数的读数已知：已知

32、：I1=10A、 UAB =100V，AB C1V51I&2I&j10Aj5I&A01021 III&因因为为V452100j100V100AB UUUL&解法解法2: 利用相量图分析求解利用相量图分析求解画相量图如下：画相量图如下：ABU&设设 为参考相量为参考相量, ,由相量图可求得：由相量图可求得： I =10 AABU&求：求：A、V 的读数的读数已知：已知：I1=10A、 UAB =100V，10A1I超前超前1I&90ABU& A,21055100222I45AB2UI&滞滞后后101I&I&a

33、mp;452102I&AB C1V51I&2I&j10Aj5I&UL= I XL =100VV =141V由相量图可求得：由相量图可求得：求：求：A、V 的读数的读数已知：已知：I1=10A、 UAB =100V，ABU&90IUL&超超前前100ABU&101I&I&452102I&100LU&45U&AB C1V51I&2I&j10Aj5I&由相量图可求得：由相量图可求得：U&I&解：解：A1022002002L22RXRZUI210210200 LXR所

34、以所以A2545sin1045sin21 IIA2545cos2 IIRXLXC+ S1I&2I&I&U&已知已知,XRUL V,200。CLX,XR,I,开关闭合后开关闭合后 u，i 同相。同相。,A102 II开关闭合前开关闭合前求求:2I&451I&(方法方法1)开关闭合前后开关闭合前后I2的值不变。的值不变。RXLXC+ S1I&2I&I&U&(方法方法2)用相量计算用相量计算开关闭合后开关闭合后 u，i 同相，同相， 21III& Acos452 II由实部相等可得由实部相等可得 A45sin21

35、 II由虚部相等可得由虚部相等可得220252001IUXCA2545sin1045sin21 II V,0200 U&设设:A4510 2 IXRL&，所所以以因因为为4522)4510/0220(/ 22 IUZ& A0 II&所以所以 451090 01II所以所以解：解：V220UA15.62221IA112IA11 I所以所以例例4: 图示电路中已知图示电路中已知:V314sin2220tu A)90(314sin2112ti试求试求: 各表读数及参数各表读数及参数 R、L 和和 C。A)45(314sin221ti+u- ARL A1 A21iC2i

36、i VA11A90114515.621 III& (2) 相量图相量图1I&2I&LU&U&45RU&I&A11A1115.622 I根据相量图可得：根据相量图可得：10LXRH0.03182fXLLi+u- ARLA1A21iC2iVj10104514.14515.6022011 IUZ&20 CX所所以以XfC14.111IUZ1045cos1 ZR1045sin1 ZXL45ZLXRH0.03182fXLL2022IUZ即即: XC=20 F159=203141=21=CXfC90209011022

37、022 IUZ&例例5：图示电路中图示电路中,已知已知:U=220 V,=50Hz,分析下列情况分析下列情况:解解: (1) S打开时打开时:A221 IIcosUIP 0.8222203872cosUIPV1760.8V220cos UUR所所以以V1320.6V220sin UUL+U&-1RLXI&1I&2I&2ZS+822387222 IPR10IUZ622LRZXV1768V22 IRUR所以所以V1326V22 LLIXU1I&2I&U&方法方法2:A221 III&+U&-1RLXI&1I&a

38、mp;2I&2ZS+1.功率因数功率因数:。scoU&I&ZRXjXRZ+U&-ZI&的的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角sinUIQ 1cos功率功率AkV1000NNNIUS若用户：若用户： 则电源可发出的有功功率为：则电源可发出的有功功率为： 1cos若用户：若用户： 则电源可发出的有功功率为：则电源可发出的有功功率为： 0.6cos800kvarsinNNIUQ而需提供的无功功率为而需提供的无功功率为:600kWcosNNIUPcos1000kWcosNNIUP无需提供的无功功率。无需提供的无功功率。(费电费电)设输电线和发电机绕组的电阻为设输电线和发电机绕组的电阻为 :r要求要求:(、定值定值)时时cosIUP cosUPI rIP2cos( (导线截面积导线截面积) )IS 日常生活中多为日常生活中多为感性负载感性负载-如电动机、日光灯，如电动机、日光灯，其等效电路及相量关