同济大学材料力学总复习

1、材料强度材料强度结构稳定性结构稳定性123强度理论强度理论xy xy轴向拉伸轴向拉伸扭转扭转弯曲弯曲组合变形组合变形（判断：弯曲中心+形心主惯性轴）（内力图-应力）（内力图-应力）（内力图-应力）（应力分析）结构刚度结构刚度轴向拉伸轴向拉伸扭转扭转弯曲弯曲组合变形组合变形（合成挠度）（内力图-单位长变形-节点位移）（内力图-单位长变形）（内力图-挠度/转角）载荷性质：载荷性质：静载荷静载荷 / / 动载荷动载荷内力图截面法内力图特性结构性质结构性质：静定型静定型 / / 超静定超静定挠曲线微分方程-积分法-叠加法22)( lEIFNcr22EcrSP能量法一、基本变形一、基本变形（注意：变形特

2、征、应力分布特征）（注意：变形特征、应力分布特征）刚度条件刚度条件截面法求截面法求FS、M(x)或微分关系微分关系求截面法求截面法求Mn(x)截面法求截面法求FN(x)内力内力1、挠曲线微分方程；、挠曲线微分方程；2、积分法；积分法；3、叠加法、叠加法变形变形,强度条件强度条件应力应力 受力特征受力特征弯曲弯曲扭转扭转拉伸与压缩拉伸与压缩AxFN)(PnIxM)()()(,)(*ySbIxFyIxMzzSzmaxmaxmaxmaxdxxFEAllN)(1lnPdxxMGI)(1180maxmaxPnGIM,maxmax ww传动轴转速传动轴转速n (转转/分分)、功率、功率P(kW) 及其外力

3、偶矩及其外力偶矩Me之间的关系：之间的关系：nPM260103e)mN(1055. 93nP剪力图、弯矩图特性：剪力图、弯矩图特性：1、结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称；、结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称； 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称。结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称。2、集中力作用处，剪力图发生突变，突变幅度为集中力值；、集中力作用处，剪力图发生突变，突变幅度为集中力值；遇向上力，遇向上力，剪力沿剪力沿x轴正突变。轴正突变。 集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变幅度为集中力偶值；集中力偶作用处，弯矩图发

4、生突变，突变幅度为集中力偶值；遇遇顺顺时针力偶，弯矩沿时针力偶，弯矩沿x轴正突变。轴正突变。3、自由铰接点处，弯矩必为零；剪力为零的截面，弯矩必有极值。、自由铰接点处，弯矩必为零；剪力为零的截面，弯矩必有极值。4、q(x)-FS(x)-M(x) 之间的微分（斜率、凹向）、积分（面积、内力的之间的微分（斜率、凹向）、积分（面积、内力的区间递增）关系：区间递增）关系：qdxxdFS)()()(xFdxxdMSqdxxMd22)(注意剪力图、弯矩图特性的参照坐标参照坐标（上图）baSSdxxqaFbF)()()(baSdxxFaMbM)()()(a, b区间的内力增量内力增量a, b区间的分布图面积

5、分布图面积1nbh32bh=结构对称、外力对称时，剪力图为反对称，弯矩图为正对称。结构对称、外力对称时，剪力图为反对称，弯矩图为正对称。_ _ 弯曲弯曲集中力作用处，剪力图集中力作用处，剪力图发生突变，突变幅度为发生突变，突变幅度为集中力值；集中力值；遇向上力，遇向上力，剪力沿剪力沿x轴正突变。轴正突变。集中力偶作用处，弯矩图集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变幅度为集发生突变，突变幅度为集中力偶值；中力偶值；遇逆时针力偶，遇逆时针力偶，弯矩沿弯矩沿x轴负突变。轴负突变。剪力为零的截面，弯矩剪力为零的截面，弯矩必有极值。必有极值。例例1:1:作图示梁的剪力图和弯矩图。作图示梁的剪力图和弯矩图。

6、,35qaFRAqaFRB31解：由平衡方程解得解：由平衡方程解得FS5qa/3xqa/38a/3B3aACMe =3qa2axqFRAFRB例例2:2:作图示梁的剪力图和弯矩图。作图示梁的剪力图和弯矩图。,611qaFRAqaFRB61解：由平衡方程解得解：由平衡方程解得qa611qa65qa61234qa231qa叠加法中最常用的挠度叠加法中最常用的挠度- -转角公式：转角公式：EIqlB243EIqlwC38454EIFlB162EIFlwC483EIlMeB3EIqlwC84EIFlwC33弹性支座+基本弯矩图EIFlC22EIqlC63二、应力状态分析二、应力状态分析. .强度理论强

7、度理论1 1、应力状态的概念：、应力状态的概念：指受力构件某点在指受力构件某点在不同截面上不同截面上 2 2、平面应力状态分析、平面应力状态分析（1 1）斜截面）斜截面上的应力上的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx（2 2）主平面）主平面和主应力和主应力2222xyyxyxyxxy2arctan210时当0yx的应力情况。的应力情况。方向的确定：yx时，o锐角为方向锐角为yx时，o 方向总与总与xy的的汇交方向一致汇交方向一致。（3）应力圆 （用于定性分析）OC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx1202应力圆和单元体的对应关系：应力圆和单元体的对应关系：圆上一点

8、，体上一面；圆上一点，体上一面；圆上半径，体上法线；圆上半径，体上法线；转向一致，数量一半；转向一致，数量一半；直径两端，垂直两面。直径两端，垂直两面。单向应力单元体分析、纯剪切单元体分析3、空间应力状态的概念最大切应力最大切应力231max主应力主应力三向应力圆三向应力圆O321maxBDAmax3214、应力应变关系213331223211111EEE广义胡克定律广义胡克定律:主应变主应变与主应力主应力位于同一截面！例例 求图求图a所示应力状态的主应力及方向。所示应力状态的主应力及方向。MPa100 xMPa40 xyMPa30y 解：解：y30MPa100MPa40MPax01yxMPa

9、MPaxyyxyx4011022221383010040222tan0yxxy908 .15,8 .15oo锐角为方向！yx本题例例 求图示应力状态的主应力及方向。求图示应力状态的主应力及方向。MPa20 xMPa20 xyMPa30y解：解：y30MPa20MPa20MPaxMPaxyyxyx4155)2(2 220 MPaMPa02.27, 0,02.3732154302020222tanyxxy33.109,33.190注意注意主应力主应力对应位置对应位置！习题习题：计算图示应力状态的主应力：计算图示应力状态的主应力和主平面的位置。和主平面的位置。70 MPa10 MPa40 MPa（2

10、）、各向同性材料的体积应变各向同性材料的体积应变zyxE215、空间应力状态下的应变能密度313221232221221Ev体积改变比能2321621EvV形状改变比能231232221d61Ev强度理论的统一形式：强度理论的统一形式：,ctri11r3212r313r 第一强度理论：第一强度理论： 第二强度理论：第二强度理论： 第三强度理论：第三强度理论：231232221421r 第四强度理论：第四强度理论：6 6、四个常用强度理论、四个常用强度理论注意各自的局限性！注意各自的局限性！011 1、组合变形解题步骤、组合变形解题步骤外力分析：外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解；外力向形

11、心简化并沿主惯性轴分解；内力分析：内力分析：求每个外力分量对应的内力图，确求每个外力分量对应的内力图，确定危险面；由定危险面；由中性轴中性轴确定确定危险点危险点。计算危险点的应力（叠加）；计算危险点的应力（叠加）；三、组合变形组合变形建立危险点的强度条件。建立危险点的强度条件。（有棱角截面、园截面）（有棱角截面、园截面）有棱角的截面有棱角的截面maxyyzzWMWM圆截面：圆截面：22maxWMMyz3 3、拉伸（压缩）与弯曲、拉伸（压缩）与弯曲max,max,max,maxyyzzNWMWMAF2 2、组合弯曲正应力计算、组合弯曲正应力计算有棱角的截面：有棱角的截面：圆截面圆截面maxmax

12、,maxWMAFNy、z均为截面对称轴时例、图示带开槽的轴向拉伸杆例、图示带开槽的轴向拉伸杆问题问题：（：（1 1）弯矩图？）弯矩图？ （2 2）最危险截面及其应力分布图？）最危险截面及其应力分布图？4、弯扭组合弯扭组合223WMMnr75. 0224WMMnr统一形式：统一形式： WMriri22422375. 0nrnrMMMMMM323DW四、压杆稳定四、压杆稳定1 1、压杆稳定的概念、压杆稳定的概念2 2、细长压杆临界力（、细长压杆临界力（临界轴力临界轴力）的欧拉公式）的欧拉公式22)( lEIFcr或22Ecr3、欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围PPE2）杆的柔度（或长细比 iL

13、即仅适用于细长杆！即仅适用于细长杆！22)( lEIFcrN0.5l各种支承约束条件下各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力临界力的欧拉公式支承情况两端铰支两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状FcrABl临界力Fcr欧拉公式长度系数22lEIFcr22)7 . 0(lEIFcr22)5 . 0(lEIFcr22)2( lEIFcr22lEIFcr=1 0.7=0.5=2=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC 挠曲线拐点C、D 挠曲线拐点0.5lFcrFcrl2llC 挠曲线拐点iL cr 22 Ecr bacrP S bass PPE

14、 2 4 4、中小柔度杆的临界应力计算与临界应力总图、中小柔度杆的临界应力计算与临界应力总图SPSPscrbaE),(22最大弯曲拉、压应力最大弯曲拉、压应力五、结构的安全校核五、结构的安全校核实际工作安全系数计算实际工作安全系数计算弯曲正应力强度校核弯曲正应力强度校核低碳钢等塑性材料塑性材料：stsstsnnmaxmax|或铸铁等脆性材料脆性材料：stcbstcbcsttbsttbtnnnnmaxmaxmaxmax|)()(|)()(或或实际工实际工作安全作安全系数系数强度安强度安全系数全系数( (规范规范) )某物理量实际工作值某物理量上限n强度理论校核强度理论校核铸铁等脆性材料脆性材料：

15、strtbsttbrstrtbsttbrnnnn2211)()()()(或或实际工实际工作安全作安全系数系数低碳钢等塑性材料塑性材料：strsstsrstrsstsrnnnn4433或或SPSPscrbaE),(22强度许用应力强度许用应力),(Ecr压杆稳定校核压杆稳定校核wcrwcrcrnn工作或工作实际工作安全系数实际工作安全系数稳定安稳定安全系数全系数( (规范规范) )p动载荷小结动载荷小结（一）垂直冲击型（一）垂直冲击型势能完全转化为结构的变形能势能完全转化为结构的变形能动荷系数：动荷系数：)211 (stdhK（二）（二）“水平水平”冲击型冲击型动能完全转化为结构变形动能完全转化

16、为结构变形能能动荷系数：动荷系数：stdgvK2（三）一般冲击型（三）一般冲击型机械能完全转化为结构变形能机械能完全转化为结构变形能动荷系数：动荷系数：stddK当当 h0 时，时，2dK计算步骤：计算步骤：计算（P P 或或 mgmg）静态作用在结构冲击处时的静位移st计算动荷系数K Kd d：st2dgvK )211 (stdHK.)(.)(内力、应力、变形内力、应力、变形静响应静响应动荷系数动荷系数内力、应力、变形内力、应力、变形动响应动响应 dK计算动响应：.，例如：例如：stddK用能量守恒原理直接计算Kd“垂直垂直”冲击型冲击型“水平水平”冲击型冲击型一般冲击型一般冲击型例：已知：

17、例：已知：d1=0.3m, l=6m, P=5kN, E1=10Gpa, 求以下求以下两种情况的动应力。两种情况的动应力。 （1）H=1m自由下落；（自由下落；（2）H=1m, 增设橡皮垫增设橡皮垫d2=0.15m, h=20mm,E2=8Mpa. HPPhld1d1d2解：解：（1 1） =0.0425 mm 11AEPlst218211stdHKMPaKstdd42.15(2) 2211AEPhAEPlst=0.75mm, Kd=52.3 MPaKstdd7 . 3例：已知：例：已知：P=2.88kN, H=6cm; 梁：梁： E=100GPa, I=100cm4, l=1m。柱：。柱：E

18、1=72Gpa, I1=6.25cm4, A1=1cm2, a=1m, P=62.8, cr=373-2.15, nst=3。试。试校核柱的稳定性。校核柱的稳定性。 H L L a 解：（解：（1 1）求柱的动载荷）求柱的动载荷 mmAEPaEIlPst9 . 4448)2(11305. 6211stdHKkNFKFstdd71. 8288. 205. 6（2）柱的稳定性校核）柱的稳定性校核 7 .28,40,2511111AFiammAIicrcrPkNstdcrnFFn3 . 3柱是稳定的。柱是稳定的。 dxEIxMxMLZc0计算转角的莫尔定理计算转角的莫尔定理p莫尔定理莫尔定理又称单位

19、力法p适用范围适用范围线性弹性结构原受力结构l 321PPPEIzCx克隆结构lCx1EIzcp能量法小结能量法小结VVuUd结构结构应变能应变能结构结构余能余能0332211uddd其中：非线性问题应变能密度(单位体积应变能)VcCVuUd*0332211*cuddd其中：余能密度(单位体积余能)一般情形下的一般情形下的结构结构应变能应变能和和结构结构余能余能: :(Complementary Energy) (Strain Energy) p能量法小结能量法小结弹性体内的弹性体内的应变应变能能式中式中 弹性体内的弹性体内的余能余能;*CU卡氏第一定理卡氏第一定理iiUP卡氏第二定理卡氏第二

20、定理iiPUU对于线弹性结构对于线弹性结构，变形能对任一外力，变形能对任一外力的偏导数的偏导数等于等于作用点沿作用点沿 方向的方向的位移。位移。iPiPiP(Castiglianos first theorem) (Castiglianos second theorem) (可用可用于非线性材料于非线性材料)余能原理余能原理(Crotti-Engesser theorem) (可用可用于非线性材料于非线性材料)iCiPU*p能量法小结能量法小结卡氏第二定理卡氏第二定理FUii桁架结构桁架结构njiNjjjjNjiFFAElF1梁与刚架结构梁与刚架结构liidxFxMEIxM)()( 用能量法解

21、超静定系统用能量法解超静定系统: :（1 1）解除多余约束，基本静定系；）解除多余约束，基本静定系；（2 2）建立变形协调条件；）建立变形协调条件； （3 3）用能量原理建立物理关系，得补充方程；）用能量原理建立物理关系，得补充方程；（4 4）求解补充方程；）求解补充方程；（5 5）进行其他计算。）进行其他计算。 p 温度应力温度应力静定问题静定问题：温度引起的变形不会在杆中产生内力。：温度引起的变形不会在杆中产生内力。超静定问题超静定问题：由于多余约束，温度变化所引起的变：由于多余约束，温度变化所引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这种内力称形受到限制，从而将在杆中产生内力。这种内力称

22、为为温度内力温度内力。其相应的应力则称为。其相应的应力则称为温度应力温度应力。 杆的变形杆的变形包括两部分：即由温度变化所引起的变形，包括两部分：即由温度变化所引起的变形，以及与温度内力相应的弹性变形以及与温度内力相应的弹性变形。 例例 图示的等直杆图示的等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连接。的两端分别与刚性支承连接。设两支承间的距离设两支承间的距离(即杆长即杆长)为为l，杆的横截面面积为，杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为材料的弹性模量为E，线膨胀系数为，线膨胀系数为 l。试求温度升。试求温度升高高 t时杆内的温度应力。时杆内的温度应力。 解解：一次超静定：一次超静定 （1）变形：如杆只有一端）变形