材料力学第四章弯曲应力.

1、材材 料料 力力 学学第1页 / 共158页第四章第四章 弯曲应力弯曲应力4-1 4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图4- -2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4- -3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图4- -4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件4- -5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件4- -6 梁的合理设计梁的合理设计材材 料料 力力 学学第2页 / 共158页4- -1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图. 关于

2、弯曲的概念关于弯曲的概念 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线垂直于轴线的横向外力或外力偶作用（区别于扭转）。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第3页 / 共158页弯曲变形第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第4页 / 共158页第四章第四章 弯曲应力弯曲应力工程实例F2F1材材 料料 力力 学学第5页 / 共158页纵向对称面 对称弯曲对称弯曲外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵向对称面内的平面曲线。 非对称弯曲非对称弯曲梁不具有纵对

3、称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第6页 / 共158页. . 梁的计算简图梁的计算简图 对于对称弯曲的直梁，在计算简图中通常通常用梁的轴线来代表梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第7页 / 共158页(1) 支座的三种基本形式支座的三种基本形式1. 固定端实例如图a，计算简图如图b, c。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(b)(c)MRFRxFRy(a)材材 料料 力力 学学第8页 / 共158页 2. 固定铰支座实例如图中

4、左边的支座，计算简图如图b，e。 3. 可动铰支座实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第9页 / 共158页悬臂梁(2) 梁的三种基本形式梁的三种基本形式简支梁外伸梁第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第10页 / 共158页 在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。(3) 静定梁和超静定梁静定梁和超静定梁 图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第11页 / 共158页4-2 梁的剪力和

5、弯矩梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图. 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 图a所示跨度为l的简支梁其约束力为lFaFlalFFBA , 梁的左段内任一横截面mm上的内力，由mm左边分离体(图b)的平衡条件可知：xlalFxFMlalFFFAA,S第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 截面法截面法材材 料料 力力 学学第12页 / 共158页 它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是 mm右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。 故根据作用与反作用原理，mm左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示

6、相同，但指向和转向相反。这一点也可由mm右边分离体的平衡条件加以检验：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第13页 / 共158页0, 0SByFFFF00 xlFxaFMMBClalFlFaFFFFBS从而有xlalFxllFaxaFxlFxaFMB从而有第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第14页 / 共158页 梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第15页 /

7、共158页 为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力剪力正负号：剪力正负号：dx微段，微段，左端向上右端向下时，左端向上右端向下时，为正。反之为负。为正。反之为负。弯矩正负号：弯矩正负号：dx微段下微段下凸为正，即下半部纵向凸为正，即下半部纵向受拉。反之为负。受拉。反之为负。材材 料料 力力 学学第16页 / 共158页综前所述，梁某截面上的剪力和弯矩可直接从横截面任意一侧梁上的外力进行简化： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上外力的代数

8、和。左侧左侧梁段上向上的外力梁段上向上的外力（或右侧梁段上向下的外力）将引起正值的剪力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上外力对该截面形心的对该截面形心的力矩之代数和力矩之代数和。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第17页 / 共158页 1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。 2. 截面左侧梁段上顺时针转向的左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起

9、负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第18页 / 共158页. . 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程（表示沿梁各横截面上剪力和弯矩的变化规律） xMMxFFsSS材材 料料 力力 学学第19页 / 共158页 例题例题4- -1（补充）（补充） 图a所示

10、悬臂梁悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学第20页 / 共158页 距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有 lxqxxqxxMlxqxxF02202S解：1. 列剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 xMFS(x)材材 料料 力力 学学第21页 / 共158页2. 作剪力图和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如图b和图c。按照

11、习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方轴的下方(即弯矩值绘于梁弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧弯曲时其受拉的边缘一侧)。 lxqxxF0S lxqxxqxxM0 222第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 (b)(c) 抛物线：凹凸？材材 料料 力力 学学第22页 / 共158页 由图可见，此梁横截面上的最大剪力其值为FS,max=ql，最大弯矩(按绝对值)其值为 (负值)，它们都发生在固定端右侧横截面上。22maxqlM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 (b) (c) (a)材材 料料 力力 学学第23页 / 共158页 例题例题4-

12、2 图a所示简支梁简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：解：1. 求支反力2qlFFBA第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学第24页 / 共158页2. 列剪力方程和弯矩方程 lxqxqlqxFxFA02S lxqxqlxxqxxFxMA02222 xMFS(x)第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第25页 / 共158页 由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为 (正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为 ,即d(M(x)/dx=0时，x=l/2,发生在跨中横截面上。2max,SqlF82maxqlM

13、3. 作剪力图和弯矩图 lxqxqlxF02S lxqxqlxxM0222第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第26页 / 共158页 简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！第四章第四章 弯曲应力弯曲应力2max,SqlF82maxqlM材材 料料 力力 学学第27页 / 共158页 例题例题4-3 图a所示简支梁简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力F(a)解：解：1. 求约束力lFaFlFbFBA ,材材 料料 力力 学学第28页 / 共158

14、页2. 列剪力方程和弯矩方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力FAC段梁 axxlFbxFxMaxlFbFxFAA0 0 S xMFS(x)lFaFlFbFBA ,材材 料料 力力 学学第29页 / 共158页CB段梁 lxalFalblFFlFbxFS第四章第四章 弯曲应力弯曲应力FFx xMFS(x) lxaxllFaaxFxlFbxM lFaFlFbFBA ,如截面法，保留右侧梁，计算更简便。材材 料料 力力 学学第30页 / 共158页3. 作剪

15、力图和弯矩图 如图b及图c。由图可见，在b a的情况下，AC段梁在0 xa的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大， 为 （负值)。 弯矩图在集中力偶作用处有突变。lMFeSlbMMemax第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第38页 / 共158页剪力图和弯矩图规律：剪力图和弯矩图规律：（书上P106）1、梁上外力不连续处外力不连续处（即在集中力、集中力偶作用处、分布载荷开始和结束处），梁的弯矩方程和弯矩图应该分段弯矩方程和弯矩图应该分段。在集中力偶作用处，剪力方程和剪力图不分段，剪力方程和剪力图不分段。2、梁上集中力作用处，剪力图有突变梁上集中力作用处，剪力

16、图有突变，其左右两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力的值。而在弯矩图上相应弯矩图上相应处形成一个尖角（例题处形成一个尖角（例题4-3）。3、在集中力偶作用处，剪力图无变化在集中力偶作用处，剪力图无变化。弯矩图有突变弯矩图有突变，其，其左右两侧横截面上弯矩的代数差，等于集中力偶（例题左右两侧横截面上弯矩的代数差，等于集中力偶（例题4-4）。）。 材材 料料 力力 学学第39页 / 共158页 例题例题4-2 所示简支梁简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 lxqxqlxF02S lxqxqlxxM0222. . 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及

17、其应用弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用材材 料料 力力 学学第40页 / 共158页例4-2中： )(SxqqdxxdF. . 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用 )(2xFqxqldxxdMs )(22xqqxdxMd材材 料料 力力 学学第41页 / 共158页结论：结论：将弯矩函数将弯矩函数M(x)对对x求导数，得到剪力函数求导数，得到剪力函数Fs(x)；将剪力函数将剪力函数Fs(x)对对x求导，得到均布载荷的求导，得到均布载荷的集度集度q。材材 料料 力力 学学第42页 / 共158页. . 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用弯矩、剪

18、力与荷载集度之间的关系及其应用M(x), FS(x)与q(x)间微分关系的导出 从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第43页 / 共158页 0dd0SSSxxqxFxFxFFy从而得： xqxxFddS 02dddd0SxxxqxxFxMxMxMMC得及00CyMF由梁的微段的平衡方程略去二阶无穷小项 ，即得 2ddxxxq xFxxMSdd第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力

19、力 学学第44页 / 共158页 应用这些关系时需要注意，向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。由以上两个微分关系式又可得 xqxxM22dd第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 若某截面的剪力FS(x)=0，根据 ，该截面的弯矩为极值。 0)(d)(dSxFxxM材材 料料 力力 学学第45页 / 共158页常见荷载下常见荷载下FS，M图的一些特征图的一些特征向上）(0 cq向下）(0 cq0q)0(ScbcxF)0(212cdbxcxM)0(ScbcxF)0(212cdbxcxMcF SbcxM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力外力剪力图弯矩图材材 料料 力力 学学第46页 / 共158页集中力作

20、用处集中力偶作用处第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第47页 / 共158页材材 料料 力力 学学第48页 / 共158页 利用以上结论，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： (1) 求支座约束力； (2) 分段确定剪力图和弯矩图的形状； (3) 求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； (4) 确定|FS|max和|M|max 。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第49页 / 共158页 例题4-7 一简支梁在其中间部分受集度为 q=100 kN/m的向下的均布

21、荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力x+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2 mq(a)(b)(c)材材 料料 力力 学学第50页 / 共158页kN80m6 . 1mkN10021BAFF而根据 可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为 xqxxFddSkN80SAFF1. 校核剪力图 解：解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为第四章第四章 弯曲应力

22、弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2mq 该梁的该梁的AC段内无荷载，段内无荷载，材材 料料 力力 学学第51页 / 共158页 对于该梁的对于该梁的CD段段，分布荷载的集度分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100 kN/m。kN80m6 . 1kN/m100kN80第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图yFAFBABCDE1.6 m0.2m2 mq xqxxFddS kN/m100ddSxxF 根据 可知CD段内的剪力图应为向右下方倾剪力图应为向右下方倾斜的斜直线斜的斜直线。

23、由于由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，变，故斜直线左端的纵坐标确为80 kN。根据斜直线的斜率为 ，可证实D截面处的剪力确应为材材 料料 力力 学学第52页 / 共158页 对于该梁的对于该梁的DB段，段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-80 kN。经过校核，支座B偏左横截面上的剪力就是kN80SBFF第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图yFAFBABCDE1.6m0.2 m2 mq材材 料料 力力 学学第53页 / 共158页2. 校核弯矩图

24、mkN16m2 . 0kN800CM这与图中所示相符。 该梁的该梁的AC段内，剪力为段内，剪力为常量常量，因而根据 常量可知此段梁的弯矩图应此段梁的弯矩图应为斜率为为斜率为 的正值的斜直线。的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为 xFxxMSddmmkN100kN100即第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2 mq材材 料料 力力 学学第54页 / 共158页 对于该梁的对于该梁的CDCD段，段，根据 可知： mkN100dd22xqxxM 弯矩图是如图弯矩图

25、是如图( (c) )中所示中所示曲率为负曲率为负( (即向下凸即向下凸) )的二次的二次曲线。因为梁上曲线。因为梁上C点处无集中点处无集中力偶作用，故弯矩图在力偶作用，故弯矩图在C截面截面处应该没有突变处应该没有突变；第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2m2mq材材 料料 力力 学学第55页 / 共158页 由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接处应光滑连接。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力

26、+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2 mq材材 料料 力力 学学第56页 / 共158页mkN166 . 1100218 . 180)2 . 08 . 1 (218 . 1mkN488 . 010021180)2 . 01 (2112222mqmFMmqmFMADAE 在剪力为零的跨中截面E处，弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为同样，根据 可知， xFxxMSdd这些均与图(c)中所示相符。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm）材材 料料 力力 学

27、学第57页 / 共158页 对于该梁的对于该梁的DB段段，由于剪力为负值的常量，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负故弯矩图应该是斜率为负的斜直线的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2mq材材 料料 力力 学学第58页 / 共158页已知：图中梁的约束力为 qaFqaFDA2 ，思考（见习题思考（见习题4-54-5）：）：试指出图（a）和图（b）所示梁

28、各自的剪力图和弯矩图中的错误。正确答案：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学第59页 / 共158页图中梁的约束力为 qaFqaFBA31 35，正确答案：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(b)材材 料料 力力 学学第60页 / 共158页. 按叠加原理作弯矩图（简介）按叠加原理作弯矩图（简介）第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第61页 / 共158页 (1) 在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为 lxqxFxxMlxqxFxF0 ,20 ,2S第四章第四章

29、弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学第62页 / 共158页 这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。（工程上可查表附录（工程上可查表附录IV)IV)第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(b)(c) (a)材材 料料 力力 学学第63页 / 共158页 (2) 叠加原理 当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。第四章第四章 弯曲应力弯曲

30、应力材材 料料 力力 学学第64页 / 共158页例题4-10：按叠加原理做图（a）简支梁的弯矩图（查附录IV）材材 料料 力力 学学第65页 / 共158页材材 料料 力力 学学第66页 / 共158页剪力图快速画法口诀 外伸端，自由端，没有F力作零点；无力梁段水平线，集中力偶同样看；均布荷载对斜线，小q正负定增减；集中力处有突变，左顺右逆画竖线；增多少？降多少？集中横力作参考。材材 料料 力力 学学第67页 / 共158页剪力图快速画法口诀外伸端，自由端，没有F力作零点；无力梁段水平线，集中力偶同样看；均布荷载对斜线，小q正负定增减；集中力处有突变，左顺右逆画竖线；增多少？降多少？集中横力

31、作参考。材材 料料 力力 学学第68页 / 共158页剪力图快速画法口诀外伸端，自由端，没有F力作零点；无力梁段水平线，集中力偶同样看；均布荷载对斜线，小q正负定增减；集中力处有突变，左顺右逆画竖线；增多少？降多少？集中横力作参考。材材 料料 力力 学学第69页 / 共158页第四章第四章 弯曲应力弯曲应力F(b)(c)剪力图快速画法口诀外伸端，自由端，没有F力作零点；无力梁段水平线，集中力偶同样看；均布荷载对斜线，小q正负定增减；集中力处有突变，左顺右逆画竖线；增多少？降多少？集中横力作参考。材材 料料 力力 学学第70页 / 共158页第四章第四章 弯曲应力弯曲应力剪力图快速画法口诀外伸端

32、，自由端，没有F力作零点；无力梁段水平线，集中力偶同样看；均布荷载对斜线，小q正负定增减；集中力处有突变，左顺右逆画竖线；增多少？降多少？集中横力作参考。材材 料料 力力 学学第71页 / 共158页第四章第四章 弯曲应力弯曲应力x+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2 mq剪力图快速画法口诀外伸端，自由端，没有F力作零点；无力梁段水平线，集中力偶同样看；均布荷载对斜线，小q正负定增减；集中力处有突变，左顺右逆画竖线；增多少？降多少？集中横力作参考。材材 料料 力力 学学第72页 / 共158页第四章第四章 弯曲应力弯曲

33、应力剪力图快速画法口诀外伸端，自由端，没有F力作零点；无力梁段水平线，集中力偶同样看；均布荷载对斜线，小q正负定增减；集中力处有突变，左顺右逆画竖线；增多少？降多少？集中横力作参考。材材 料料 力力 学学第73页 / 共158页第四章第四章 弯曲应力弯曲应力剪力图快速画法口诀外伸端，自由端，没有F力作零点；无力梁段水平线，集中力偶同样看；均布荷载对斜线，小q正负定增减；集中力处有突变，左顺右逆画竖线；增多少？降多少？集中横力作参考。材材 料料 力力 学学第74页 / 共158页弯矩图快速画法口诀弯矩图，较复杂，对照剪图来画它；自由端，铰支端，没有力偶作零点；剪图水平弯图斜，剪力正负定增减；天上

34、下雨池水满，向上射出弓上箭；剪图轴线交叉点，弯矩图上极值点；均载边界无横力，光滑吻接无痕迹；集中力处有转折，顺着外力折个尖；集中力偶有突变，反着力偶符号弯；升多少？降多少？集中力偶作参考。材材 料料 力力 学学第75页 / 共158页4- -3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图. . 平面刚架平面刚架 平面刚架由同一平面内不同方向的杆，杆端相互杆端相互间刚性连接间刚性连接的结构。 平面刚架杆件的内力当荷载作用于刚架所在平面内时，杆件横截面上的内力除剪力和弯矩外，还会有轴力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第76页 / 共158页 作刚架内力图的方法和步骤与梁相同

35、，但因刚架是由不同方向的杆件组成，习惯上按下列约定： 弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号； 剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号； 剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第77页 / 共158页 例题例题4-11 试作图a所示刚架的内力图(即作出组成刚架的各杆的内力图)。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学第78页 / 共158页各杆的内力方程为： 0NxFCB杆：(杆的外侧受拉) 1SFxF)0()(1axxFxM 11NFxF(杆的外侧受拉)BA杆： 21SFxF lx

36、xFaFxM112110 解：此刚架的C点为自由端，故求内力时如取包含自由端的那部分分离体作为研究对象，则可不求固定端A处的约束力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学第79页 / 共158页 绘内力图时，轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧，但需注明正负号(图b及图c)；弯矩图则画在杆件弯曲时受拉的一侧(图d)。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学第80页 / 共158页. 平面曲杆平面曲杆 平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面(亦即圆弧形曲杆的径向截面)。当荷载作用于曲杆所在平面内时，其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力 。第四章第四章 弯曲应力弯

37、曲应力材材 料料 力力 学学第81页 / 共158页4- -4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 纯弯曲纯弯曲 梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力MeM材材 料料 力力 学学第82页 / 共158页 横力弯曲横力弯曲 梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面上既有正应力又有切应力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力FCSFMFMFAC材材 料料 力力 学学第83页 / 共158页. . 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式的推导计算公式的推导 (1) 几何方面

38、几何方面 藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第84页 / 共158页 1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第85页 / 共158页 2. 相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材

39、材 料料 力力 学学第86页 / 共158页 根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第87页 / 共158页 横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着

40、它转动的轴 中中性轴性轴 。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力（f)材材 料料 力力 学学第88页 / 共158页令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根据曲率的定义 有xdd1rryxyOOBBABBBdd21111纵向线应变在横截面范围内的变化规律纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(c)材材 料料 力力 学学第89页 / 共158页 即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变与该点至中性轴的距离

41、y 成正比。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(c)弯曲变形弯曲变形ry材材 料料 力力 学学第90页 / 共158页 小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。 (2) 物理方面物理方面 藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律 找出横截面上正应力的变化规律。ry 假如梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时（如低碳钢），有ryEE 这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力M材材 料料 力力 学学第91页 / 共158页 (3) 静力学方面静力学方面 藉以找出确定中性轴位置的条件以及

42、横截面上正应力的计算公式。MAyMAzd 由于梁上仅有外力偶Me的作用，梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素dA(图d )不可能组成轴力( )，也不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩( )，只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即0dNAAF0dAyAzM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(d)材材 料料 力力 学学第92页 / 共158页将 代入上述三个静力学条件，有ryE0ddNrrzAAESAyEAF(a)0ddrryzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzrrdd2(c)第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第93页 / 共158页

43、 其中 为截面对于z轴的静矩或一次矩，其单位为m3。AzAySd 为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。AyzAyzId 为截面对于z轴的惯性矩或二次轴矩，其单位为m4。AzAyId2第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第94页 / 共158页 由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而该两式要求：rE 1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零， ；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；0dAAy 2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零， ；在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。0dAAyz0ddNrrzAAESAyEAF(a)0

44、ddrryzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzrrdd2(c)第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第95页 / 共158页由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。zEIMr1 将上式代入得出的式子 即得弯曲正应力计算公式：ryEzIMy(c)MEIAyEAyMzAAzrrdd2第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第96页 / 共158页 应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正的坐标系来定

45、义式中 y 的正负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第97页 / 共158页 中性轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (图c) ，其横

46、截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力dzyo(b) yc,max yt,maxyz bd1 hOd2(c) hbzyo(a)材材 料料 力力 学学第98页 / 共158页zzzWMyIMIMymaxmaxmax 中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值max为式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。hbzyodzyo第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第99页 / 共158页 中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为zIMymax, tmaxt,zIMymaxc,m

47、axc,第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第100页 / 共158页. 纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广 工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即hlzzWxMIyxM)( ,)(ma

48、x第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第101页 / 共158页 例题例题4- -13 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力max和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力a。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第102页 / 共158页 解：解：在不考虑梁的自重( )的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为mkN041. 1 mkN3754m10kN1504maxFlM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第103页 / 共158页由型

49、钢规格表查得56a号工字钢截面3cm2342zW4cm65586zIMPa160m102342mN10375363maxmaxzWMMPa148m1065586m021. 02m56. 0mN10375483maxzaaIyM于是有危险截面上点a 处的正应力为第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第104页 / 共158页MPa148 MPa1602m56. 0m021. 02m56. 0maxmaxyyaa 该点处的正应力a亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的max=160 MPa来计算：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材

50、 料料 力力 学学第105页 / 共158页显然，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为MPa7 .165Pa107 .165m102342mN103886363maxMPa7 . 5MPa1607 .165远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。mkN388mkN13mkN375842maxqlFlM 如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第106页 / 共158页 .梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而

51、且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点是处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件： max式中，为材料的许用弯曲正应力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第107页 / 共158页对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作 zWMmax 由拉、压许用应力t和c不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力t,max和最大工作压应力c,m

52、ax分别达到(或接近)材料的许用拉应力t和许用压应力c 。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第108页 / 共158页 例题例题4- -16 图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z 的惯性矩Iz=5493104 mm4。已知图a中，b=2 m。铸铁的许用拉应力t=30 MPa，许用压应力c=90 MPa 。试求梁的许可荷载F。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)(b)材材 料料 力力 学学第109页 / 共158页 解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力t,max达到t，则下边缘处最大压应力c,max为 根据 可知此c,max并未达到许

53、用压应力c，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。tt56. 18613431ct第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第110页 / 共158页 最大正弯矩在C截面处，若截面的下边缘处最大拉应力t,max达到t，则上边缘处的最大压应力c,max为 ，它远小于c。故就C截面而言，梁的强度也由最大拉应力控制。tt64. 013486第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第111页 / 共158页 由以上分析可知，该梁的强度条件系受最大拉应力控制。至于究竟是B截面上还是C 截面上的最大拉应力控制了梁的强度，可进一步分析如下：显然，B截面上的最大拉应力控制了梁

54、的强度。B截面：zzBIFIMm1086m22m108633maxt,C截面：zzCIFIMm10134m24m1013433maxt,第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第112页 / 共158页Pa1030m105493m1086m226483F 当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。 于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力t的条件来求该梁的许可荷载F：由此得F19200 N，亦即该梁的许可荷载为F=19.2 kN。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第113页 / 共158页dx4- -5 梁

55、横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件. 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力(1) 矩形截面梁矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力hbzyO材材 料料 力力 学学第114页 / 共158页 由于mm和nn上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力1和2不相等。因此，从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素mB1(图a及图b)，其两个端面mmA1A上与正应力对应的法向内力F*N1和F*N2也不相等。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第115页 / 共15

56、8页*111*1N*dddzzAzAzASIMAyIMAIMyAF*112*N2dddd)d(d*zzAzAzASIMMAyIMMAyIMMAF它们分别为第四章第四章 弯曲应力弯曲应力式中， 为面积A*(图b)对中性轴z的静矩； A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1和BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分)。*d1*AzAyS材材 料料 力力 学学第116页 / 共158页 0 xF*N1*N2SdFFF*SddzzSIMF 即由于 ，故纵截面AA1B1B上有切向内力dFS(图b)：*1N*2NFF第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第117页 / 共158页 为确定离中

57、性轴z为y的这个纵截面上与切向内力dFS对应的切应力，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力 的情况：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第118页 / 共158页 1. 由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行； 2. 对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向，亦即与侧边平行。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第119页 / 共158页从而对于狭长矩形截面可以假设：1. 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；2. 横截面上距中性轴等远处的切应

58、力大小相等。zyy第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第120页 / 共158页xbFddS 于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力 均与横截面正交，且大小相等。至于 在dx长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力 在该纵截面范围内是没有变化的。于是有第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第121页 / 共158页 以上式代入前已得出的式子*SddzzSIMF bISFzz*SxbFddSbISFbISxMzzzz*S*dd得 根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离

59、为y处的切应力 必与 互等，从而亦有第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学第122页 / 共158页bISFzz*S矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式zyyy1Ad式中，FS为横截面上的剪力；Iz 为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力 的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩， 。*d1*AzAyS第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。材材 料料 力力 学学第123页 / 共158页横截面上切应力的变化规律横截面上切应力的

60、变化规律 前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力 在与中性轴垂直方向的变化规律。 上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定的量，Iz和b也是一定的，可见 沿截面高度沿截面高度( (即随坐标即随坐标y) )的的变化情况系由部分面积的静矩变化情况系由部分面积的静矩Sz*与坐标与坐标y之间的关系确定。之间的关系确定。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力bISFzz*S材材 料料 力力 学学第124页 / 共158页222111*42dd*yhbybyAySAhyz22S22S4242yhIFyhbbIFzzbhdy1yyz