昆明理工大学第三章_平稳随机过程的谱分析.

1、第三章 平稳随机过程的谱分析主要内容：主要内容：n 介绍平稳随机过程的功率谱密度的概念、性质，介绍平稳随机过程的功率谱密度的概念、性质，以及功率谱密度与自相关函数之间的关系。介绍平稳以及功率谱密度与自相关函数之间的关系。介绍平稳离散时间随机过程的功率谱密度的定义及其与自相关离散时间随机过程的功率谱密度的定义及其与自相关函数的关系，并阐述了如何将香农采样定理推广应用函数的关系，并阐述了如何将香农采样定理推广应用于平稳随机过程，建立起连续时间随机过程与离散时于平稳随机过程，建立起连续时间随机过程与离散时间随机过程之间的相互变换关系，论及了两个联合平间随机过程之间的相互变换关系，论及了两个联合平稳随

2、机过程的互谱密度的定义、性质及其与互相关函稳随机过程的互谱密度的定义、性质及其与互相关函数的关系。最后，扼要介绍白噪声的定义和性质。数的关系。最后，扼要介绍白噪声的定义和性质。第三章 平稳随机过程的谱分析重点及其要求：重点及其要求：n（1 1）平稳过程的自相关函数与功率谱密度之间、）平稳过程的自相关函数与功率谱密度之间、联合平稳过程的互相关函数与互谱密度之间皆互为联合平稳过程的互相关函数与互谱密度之间皆互为傅立叶变换，知其一可求其二，并能求出平均功率、傅立叶变换，知其一可求其二，并能求出平均功率、互功率。互功率。n（2 2）对功率谱密度、互谱密度的定义及性质要熟）对功率谱密度、互谱密度的定义及

3、性质要熟记，以便灵活运用，解决有关问题。记，以便灵活运用，解决有关问题。3.1 随机过程的谱分析（一）随机过程的功率谱密度（一）随机过程的功率谱密度 随机过程随机过程X(tX(t) )的样本函数的样本函数x(tx(t) )不满足傅立叶变换绝不满足傅立叶变换绝对可积条件。尽管对可积条件。尽管x(tx(t) )的总能量是无限的，但其平的总能量是无限的，但其平均功率却是有限的。均功率却是有限的。TTTdttxTQ2| )(|21lim 过程的样本函数过程的样本函数x(tx(t) )的截取函数定义为的截取函数定义为TtTttxtxT|, 0|),()(3.1 随机过程的谱分析 当当T T为有限值时，截

4、取函数满足绝对可积条件，其为有限值时，截取函数满足绝对可积条件，其傅立叶变换存在，则有傅立叶变换存在，则有TTtjtjTXdtetxdtetxTX)()(),(显然显然x xT T(t(t) )也应满足帕赛瓦定理，即也应满足帕赛瓦定理，即deTXtxtjXT),(21)(dTXdttxXTT22| ),(|21| )(| 对上式作集平均、时间平均处理后，可得到随机过对上式作集平均、时间平均处理后，可得到随机过程的平均功率为程的平均功率为3.1 随机过程的谱分析dTTXEdttXETQXTTTT2| ),(|lim21)(21lim22 由此得到两个重要结论：由此得到两个重要结论：（1 1）)(

5、2tXEAQ 若过程若过程X(tX(t) )是平稳的，则有是平稳的，则有)(2tXEQ （2 2）设）设dSQX)(21则有则有TTXESXTX2| ),(|lim)(2 我们称我们称S SX X( ( ) )为随机过程为随机过程X(tX(t) )的功率谱密度函数。对平稳过程的功率谱密度函数。对平稳过程X(tX(t) )，则有，则有dStXEX)(21)(23.1 随机过程的谱分析（二）功率谱密度与复频率面（二）功率谱密度与复频率面 为了系统分析的方便，有时用复频率为了系统分析的方便，有时用复频率 来代替实频率变量来代替实频率变量 ，于是，功率谱密度便是复变量，于是，功率谱密度便是复变量S S

6、的函数，记为的函数，记为 。 最简单的情况就是，最简单的情况就是， ，此时记，此时记 ；当用当用-jS-jS代替代替 时，功率谱密度应记为时，功率谱密度应记为 或或 。 有时也用复频率面上的零、极点图来研究功率谱密度。有时也用复频率面上的零、极点图来研究功率谱密度。jS)(sSX0jS )(jsSX)(sSX3.1 随机过程的谱分析 例例3.1 3.1 设复随机过程设复随机过程 其中其中a a和和 0 0皆为实常数，皆为实常数， 是均匀分布在区间（是均匀分布在区间（0,0, /2/2）上的随机变量。试求上的随机变量。试求X(tX(t) )的平均功率。的平均功率。)cos()(0tatX 解：因

7、为解：因为X(tX(t) )的均方值的均方值taadtaataaEtaEtXE0222/002202202222sin2)22cos(222)22cos(22)(cos)( 是时间是时间t t的函数，故的函数，故X(tX(t) )不是宽平稳的。可以求得不是宽平稳的。可以求得X(tX(t) )的的平均功率平均功率22sin221lim)(20222adttaaTtXEAQTTT3.1 随机过程的谱分析 例例3.2 3.2 设设2410510)(242XS 解：用解：用 =-js=-js代入得代入得 求用复频率求用复频率s=js=j 表示的表示的S SX X(s(s) )6)(6)(2)(2()5

8、)(5(102410510)()(242sssssssssjsSsSXXj665522习 题 3.1 3.1 设平稳随机过程设平稳随机过程X(tX(t) )的功率密度为的功率密度为225341625)(242XS 求用复频率求用复频率s=js=j 表示的表示的S SX X(s(s) )，并在复频率面上画出，并在复频率面上画出S SX X(s(s) )的零、极点图。的零、极点图。3.2平稳随机过程的功率谱密度性质（一）平稳过程（一）平稳过程X(tX(t) )的功率谱密度的性质的功率谱密度的性质(1).(1).0)(XS(2). (2). 功率谱密度功率谱密度S SX X( ( ) )是是 的实函

9、数。的实函数。(3).(3).)()(XXSS(4). S(4). SX X( ( ) )可积可积(5). (5). )()(2XXSS(6). (6). 在平稳过程中，有一大类过程，其功率谱密度是在平稳过程中，有一大类过程，其功率谱密度是 的有理函数，即的有理函数，即02222222022222220)(dddCCCSSNMNMMMX式中式中S S0 00,M0,MN,此外，分母应该无实数根。此外，分母应该无实数根。3.2平稳随机过程的功率谱密度性质例例3.3 3.3 考虑一个广义平稳随机过程考虑一个广义平稳随机过程X(tX(t) )，具有功率谱密度为，具有功率谱密度为9104)(242XS

10、解：现在我们用复频率的方法来求解：现在我们用复频率的方法来求 。首先令。首先令s=js=j , ,得得求过程的均方值求过程的均方值)(2tXE)(2tXE)3)(1)(3)(1()2)(2(910)4()(242ssssssssssSXjjXdssSjtXE)(21)(2利用留数定理，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分利用留数定理，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分3.2平稳随机过程的功率谱密度性质 左半平面有两个极点，在左半平面有两个极点，在1 1和和3 3处，于是，可以处，于是，可以分别计算两个极点的留数为分别计算两个极点的留数为163|)3)(1)(3()2)(2

11、(11ssssssK故故485|)3)(1)(1()2)(2(33ssssssK247485163)(2tXE习 题3.2 3.2 已知平稳随机过程已知平稳随机过程X(tX(t) )，具有功率谱密度为，具有功率谱密度为23)(242XS求过程的均方值求过程的均方值)(2tXE3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系（一）关系式（一）关系式dettRASjXX),()( 经分析，随机过程自相关函数的时间均值与过程功率经分析，随机过程自相关函数的时间均值与过程功率谱密度之间构成了傅立叶变换对，即谱密度之间构成了傅立叶变换对，即deSttRAjXX)(21),( 若平稳过程满足若平稳过程

12、满足dSX)(dRX| )(|3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系)()(XXSR、 利用利用 的偶函数特性，维纳辛钦定理还的偶函数特性，维纳辛钦定理还可以表示为：可以表示为：0cos)(1)(dSRXX0cos)(2)(dRSXXdeRSjXX)()(deSRjXX)(21)( 则有则有3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系（二）例解（二）例解 例例3.4 3.4 设平稳过程设平稳过程X(tX(t) )的自相关函数为的自相关函数为 其中其中a,a, 0 0均为常数。求该过程的功率谱密度。均为常数。求该过程的功率谱密度。解：解： 02cos2)(aRX)()(24

13、)(212cos2)(002)()(22020000adeeadeeeadeaSjjjjjjX3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系 例例3.4 3.4 设平稳过程设平稳过程X(tX(t) )的功率谱密度为的功率谱密度为 求该过程的自相关函数和平均功率求该过程的自相关函数和平均功率Q.Q.解：解：231)(242XSdededeRjjjX)2(121) 1)(2(12123121)(2222242利用留数定理，可求得利用留数定理，可求得| 22|22122221)(ejzzejRzjX处的留数在221)0()(2XRtXEQ习 题 3.3 3.3 设随机过程设随机过程Y(tY(t

14、)=aX(t)sin)=aX(t)sin 0 0t,t,其中其中a, a, 0 0皆为皆为常数，常数，X(tX(t) )为具有功率谱密度为具有功率谱密度S SX X( ( ) )的平稳过程。求过的平稳过程。求过程程Y(tY(t) )的功率谱密度。的功率谱密度。3.4 3.4 已知平稳随机过程已知平稳随机过程X(tX(t),),具有功率谱密度为具有功率谱密度为361316)(24XS求过程的自相关函数和均方值。求过程的自相关函数和均方值。3.4 离散时间随机过程的功率谱密度（一）离散时间随机过程的功率谱密度（一）离散时间随机过程的功率谱密度mXmR| )(| 设设X(nX(n) )为宽平稳离散时

15、间随机过程，其自相关函数为宽平稳离散时间随机过程，其自相关函数R RX X(m(m) )满足满足定义定义1 X(n1 X(n) )的功率谱密度的功率谱密度S SX X( ( ) )为为R RX X(m(m) )的离散傅立叶变的离散傅立叶变换，即换，即mTjmXXemRS)()(它是周期连续函数，其周期为它是周期连续函数，其周期为2 2 q q( (即即NyquistNyquist频率频率) )，即，即Tq3.4 离散时间随机过程的功率谱密度qqdeSmRTjmXqX)(21)( 且有且有 在离散时间系统分析中，有时用在离散时间系统分析中，有时用Z Z变换更为方便，变换更为方便，所以也用广义平稳

16、离散时间随机过程的功率谱密度定所以也用广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为义为R RX X(m(m) )的的Z Z变换。变换。qqdSRnXEXqX)(21)0(| )(|23.4 离散时间随机过程的功率谱密度定义定义2 X(n2 X(n) )的功率谱密度的功率谱密度 为为 的的Z Z变换变换 显然有显然有mmXXzmRzS)()()(zSX)(mRX)()(XTjXSeS R RX X(m(m) )则为则为 的逆的逆Z Z变换，即变换，即)(zSXdzzzSjmRmXDX1)(21)( 式中式中D D为收敛区中的简单闭合围线。为收敛区中的简单闭合围线。3.4 离散时间随机过程的功率谱密

17、度（二）平稳过程的采样定理（二）平稳过程的采样定理ccXXSS|, 0|),()( 若零均值的限带平稳过程若零均值的限带平稳过程X(tX(t) )的功率谱密度为的功率谱密度为在采样周期在采样周期 时，可将时，可将X(tX(t) )按其振幅采样展开为按其振幅采样展开为cfT21NNnccNntntnTXtX)sin()(lim)(此式就是平稳过程的采样定理。此式就是平稳过程的采样定理。3.4 离散时间随机过程的功率谱密度（三）功率谱密度的采样定理（三）功率谱密度的采样定理TnSTSqnqCX, )2(1)( 若平稳连续时间实随机过程若平稳连续时间实随机过程X(tX(t) )，其自相关函数和功，其

18、自相关函数和功率谱密度分别以率谱密度分别以 记；对记；对X(tX(t) )采样后，所采样后，所得离散时间随机过程得离散时间随机过程X(nX(n)=X(nT)=X(nT) )，X(nX(n) )的自相关函数的自相关函数和功率谱密度分别用和功率谱密度分别用 表示，则有表示，则有)()(CCSR和上式就是功率谱密度的采样定理。上式就是功率谱密度的采样定理。)()(SmR和)()(mTRmRC3.4 离散时间随机过程的功率谱密度（四）例解（四）例解 例例3.5 3.5 设平稳离散时间随机过程设平稳离散时间随机过程X(nX(n) )的自相关函数为的自相关函数为求求X(mX(m) )的功率谱密度的功率谱密

19、度|)(mXemR)()(XXSzS和解：解：0101|)()()(mmnnnmmmmmmmmmmmXXezzezezezezmRzS上式等号右边第一个和式在上式等号右边第一个和式在 处收敛为处收敛为第二个和式在第二个和式在 处收敛为处收敛为 故我们得到故我们得到ez |)/1 ()/(ezezez1|)(1 11 ez3.4 离散时间随机过程的功率谱密度 故我们得到故我们得到则则) 1)() 1()(111)(21ezzezeezezezzSX若若T=1T=1时，上式变为时，上式变为ezeeze11或者1cos21) 1)() 1()()(222TeeeeeeeeeeSSTjTjTjTjXX

20、1cos21)(22eeeSX3.5 互谱密度（一）互谱密度（一）互谱密度 设设X(t),Y(tX(t),Y(t) )为联合平稳随机过程，若为联合平稳随机过程，若 分别为分别为 的傅立叶变换，则可定义这两个过的傅立叶变换，则可定义这两个过程的互谱密度为程的互谱密度为),(),(TXTXYX、)()(tytxTT、),(),(21lim)(*TXTXETSYXTXY),(),(21lim)(*TXTXETSXYTYX 于是两个随机过程于是两个随机过程X(tX(t) )和和Y(tY(t) )的互功率为的互功率为dSQXYXY)(21dSQYXYX)(213.5 互谱密度（二）互谱密度与互相关函数的

21、关系（二）互谱密度与互相关函数的关系 对于两个实随机过程对于两个实随机过程X(t),Y(tX(t),Y(t) )有有dettRASjXYXY),()( 若实过程若实过程X(tX(t) )、Y(tY(t) )联合平稳，则有联合平稳，则有deSttRAjXYXY)(21),(deRSjXYXY)()(deSRjXYXY)(21)(3.5 互谱密度（三）互谱密度的性质（三）互谱密度的性质 互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率 的的正的、实的和偶函数。下面我们不加证明地列出互谱正的、实的和偶函数。下面我们不加证明地列出互谱密度的若干性质。密度的若干性质。

22、（1 1）)()()(*YXYXXYSSS（2 2） 互谱密度的实部互谱密度的实部ReSReSXYXY( ( )、 ReSReSYXYX( ( )为为 的的偶函数，其虚部偶函数，其虚部ImSImSXYXY( ( )、 ImSImSYXYX( ( )为为 的奇函的奇函数。数。3.5 互谱密度 （3 3）若随机过程）若随机过程X(tX(t) )与与Y(tY(t) )正交，则有正交，则有（4 4）若随机过程）若随机过程X(tX(t) )与与Y(tY(t) )是两个不相关的，均值是两个不相关的，均值分别为分别为m mX X和和m mY Y平稳随机过程，则平稳随机过程，则)(2)()(YXYXXYmmS

23、S0)()(YXXYSS（5 5）)()(| )(|2YXXYSSS3.5 互谱密度（四）例解（四）例解 例例3.6 3.6 已知随机过程已知随机过程Z(tZ(t) )为为。)()()(tbYtaXtZ 其中其中a a和和b b皆为实数，皆为实数，X(tX(t) )和和Y(tY(t) )是各自平稳且联合平是各自平稳且联合平稳的随机过程。试求：稳的随机过程。试求： （1 1）过程）过程Z(tZ(t) )的功率谱的功率谱S SZ Z( ( );); （2 2）过程）过程X(tX(t) ) 和和Y(tY(t) )不相关时的不相关时的S SZ Z( ( );); （3 3）互谱密度）互谱密度S SXZXZ( ( ) )和和S SYZYZ( (