12.3角平分线的性质1

1、11.311.3角平分线的性质角平分线的性质 （1） 1.通过操作、验证等方式，通过操作、验证等方式， 掌握掌握角平分线的性质角平分线的性质定理定理 2.能能运用运用角的平分线性质定理角的平分线性质定理 解决解决简单的几何问题简单的几何问题. . 角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角OBAC平分线。平分线。OBACAOC =BOCAOB =2AOC =2BOC2.下图中能表示点下图中能表示点P到直线到直线l的距离的是的距离的是线段线段PC的长的长在在ADC和和 ABC中，中，AD= ABAC=ACDC=BCADC ABC（SSS） DAE=DAE=

2、如图如图,是一个平分角的仪器是一个平分角的仪器,其中其中AB=AD,BC=DC.将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一条射线画一条射线AE,AE就是角平分线就是角平分线.你能说明它的道你能说明它的道理吗理吗?经过上面的探索，你能得经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一法吗？小组内互相交流一下吧！下吧！探究探究1-想一想想一想作法:以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.分别以M,N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在AOB的内部交于点C.作射线OC,射线射线OC即为所求即为所

3、求.12MN0温馨提示温馨提示: 作角平分线是最基本的作角平分线是最基本的尺规作图尺规作图,大家一定要掌握噢大家一定要掌握噢!试一试试一试由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法已知:AOB.求作:AOB的平分线.请你说明OC为什么是AOBAOB的的平分线1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此

4、也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。ABOCD探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等. .证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途

5、径，写出证明过程。证一证证一证题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPEDC已知：已知：AOC= BOC ，点，点P在在OC上，上，PDOA于于D， PEOB于于E求证求证: PD=PEAOBEDP PC PDOAPDOA，PEOBPEOB证明：证明： PDO= PEO= 90在在PODPOD和和PEOPEO中中 PDO PEO（AAS） PDOPEO AOCBOC

6、 OP=OP PDPE角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？说一说AOBPEDPD OA ，PE OBOP平分平分AOBPD=PE.用符号表示为：用符号表示为：（角的平分线上的点到角的两边（角的平分线上的点到角的两边距离相等距离相等) )角平分线的性质角平分线的性质BADOPEC定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件： （1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上； （3 3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用： 证明线段相等。证明线段相等。B

7、思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什么为什么?OAEDCPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等所以不一定相等.1、如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等ABCPMNDEF证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F BM为为ABC的角平分线PD=PE同理同理,PE=PF. PDPE=PF即点即点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相

8、等用一用（用一用（1 1）w已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.w求证:EB=FC. 温馨提示温馨提示:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. BAEDCF用一用用一用(2)例例1:1:如图，在如图，在ABCABC中，中，C C90900 0，ADAD平分平分BACBAC交交BCBC于点于点DD，若，若BCBC8,BD8,BD5 5，则点，则点DD到到ABAB的距离为？的距离为？A AC CD DB BE EE2 2、如图、如图: :ABCABC中中, C=90, C=900 0，ADAD是是BACBAC的平分线

9、，的平分线，DEABDEAB于于E E，F F在在ACAC上，上，BD=DFBD=DF，求证：，求证：CF=EBCF=EB A AC CD DB BE EF3 3、如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=CBAC=CB，ADAD为为BACBAC的平分线，的平分线，DEABDEAB于点于点E E。求证：求证：DBEDBE的周长等于的周长等于ABAB。ABCDE丰收乐园丰收乐园回味无穷回味无穷w 定理（文字语言）定理（文字语言）: : 角平分线角平分线上的点到这个角的两边的距离上的点到这个角的两边的距离相等相等. .w 符号语言：符号语言：w 1 12 2 PDOA,PEOB(PDOA,PEOB(已知）已知）w PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).w 用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .OCB1A2PDE知识拓展知识拓展 如图，在如图，在ABC中，中，AC=BC，C=90，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAB，垂足为，垂足为E。（1）已知）已知CD