高考数学总复习之分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1、抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【2014年高考会这样考年高考会这样考】1会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际应用问题一些简单的实际应用问题2结合分类讨论和结合分类讨论和“补集补集”思想考查两个原理的区别应用思想考查两个原理的区别应用.抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理完成一件事，可以有完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有类办法，在第一类办法中有m1种方种

2、方法，在第二类办法中有法，在第二类办法中有m2种方法，种方法，在第，在第n类办法中类办法中有有mn种方法，那么，完成这件事共有种方法，那么，完成这件事共有N_种方法种方法(也称加法原理也称加法原理)完成一件事情需要经过完成一件事情需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有种方法，做第二步有m2种方法，种方法，做第，做第n步有步有mn种种方法，那么，完成这件事共有方法，那么，完成这件事共有N_种种方法方法(也称乘法原理也称乘法原理)1分类加法计数原理分类加法计数原理2分步乘法计数原理分步乘法计数原理m1m2mnm1m2mn抓住抓住3个考点个考点突破突

3、破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考联系：两个计数原理都是关于完成一件事的不同方法种数联系：两个计数原理都是关于完成一件事的不同方法种数的问题的问题区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，且区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，且任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成才算完成3两个原理的区别与联系两个原理的区别与联系抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考两个特点两个特点分类加法计

4、数原理的特点是独立、互斥；分步乘法计数原分类加法计数原理的特点是独立、互斥；分步乘法计数原理的特点是关联、连续解题时经常是两个原理交叉在一理的特点是关联、连续解题时经常是两个原理交叉在一起使用，两个原理综合使用时，一般先分类，再分步，分起使用，两个原理综合使用时，一般先分类，再分步，分类要标准明确，分步要步骤连续，有的题目也可能出现先类要标准明确，分步要步骤连续，有的题目也可能出现先分步，在分步，在“步步”里面再分类里面再分类两个关键两个关键分类的关键在于要做到分类的关键在于要做到“不重不漏不重不漏”，分步的关键在于要正，分步的关键在于要正确设计分步的步骤，既要合理分类，又要准确分步确设计分步

5、的步骤，既要合理分类，又要准确分步【助学助学微博微博】抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A238个个 B232个个 C174个个 D168个个答案答案C考点自测考点自测1(教材习题改编教材习题改编)由由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重这四个数字组成的四位数中，有重 复数字的四位数共有复数字的四位数共有 ()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A33! B3(3！)3C(3！)4 D9!解析解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所家，所以有以有(3！)4种种答案答案C2(2012

6、辽宁辽宁)一排一排9个座位坐了个座位坐了3个三口之家，若每家人个三口之家，若每家人 坐在一起，则不同的坐法种数为坐在一起，则不同的坐法种数为()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A3个个 B4个个 C5个个 D10个个解析解析x0，y0,1,2,3，共，共4个；个；x1，y0,1,2，共，共3个；个；x2，y0,1，共，共2个；个；x3，y0,1个个M(x，y)共有共有432110个，故选个，故选D.答案答案D3设设x,yN且且xy3，则直角坐标系中满足条件的点，则直角坐标系中满足条件的点 M(x，y)共有共有 ()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭

7、秘揭秘3年高考年高考A81种种 B12种种C7种种 D256种种解析解析每位老师都有每位老师都有3种分配方案分四步完成，种分配方案分四步完成，共有共有333381种种答案答案A4将将4位老师分配到位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案个学校去任教，共有分配方案()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析从从1到到100的整数中，共有的整数中，共有5的倍数的倍数20个，取两数个，取两数积为积为5的倍数的取法有两类，第一类为两个数都从这的倍数的取法有两类，第一类为两个数都从这20个数中取，有个数中取，有190种，另外一类为从这种，另外一类为从这20个数中取一个数

8、中取一个，再从另外个，再从另外80个数中取一个，共有个数中取一个，共有80201 600种取种取法，所以共法，所以共1 6001901 790种不同的取法种不同的取法答案答案1 7905从从1,2,3,4，100这这100个自然数中，每次取出两个个自然数中，每次取出两个 不同的数相乘，积是不同的数相乘，积是5的倍数的取法有的倍数的取法有_种种抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A60种种 B63种种 C65种种 D66种种审题视点审题视点 先找出和为偶数的各种情况，再利用分类加法先找出和为偶数的各种情况，再利用分类加法计数原理求解计数原理求解考向一分类加法计数原理

9、考向一分类加法计数原理【例例1】 (2012浙江浙江)若从若从1,2,3，9这这9个整数中同时取个整数中同时取4个个 不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 ()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案D 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意完成这件然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，

10、才可种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理以用分类加法计数原理抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析把与正八边形有公共边的三角把与正八边形有公共边的三角形分为两类：形分为两类：答案答案40【训练训练1】如图所示，在连接正八边形的如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有形有公共边的三角形有_个个第一类，有一条公共边的三角形共有第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个个)；第二类，有两条公共边的三角形共有第二类，有两条公共边的三角形共有8(个个)由分类加法计

11、数原理知，共有由分类加法计数原理知，共有32840(个个)抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题视点审题视点 组成这个四位数须分组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法步完成，故用分步乘法计数原理计数原理解析解析法一法一用用2,3组成四位数共有组成四位数共有222216(个个)，其中不出现其中不出现2或不出现或不出现3的共的共2个，因此满足条件的四位数个，因此满足条件的四位数共有共有16214(个个)法二法二满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2，三个，三个3，共有，共有4个；第二类含有三个个；第二类含有三个2，一

12、个，一个3共有共有4个；个；第三类含有二个第三类含有二个2，二个，二个3共有共有C6(个个)，因此满足条件的，因此满足条件的四位数共有四位数共有24C14(个个)答案答案14考向二分步乘法计数原理考向二分步乘法计数原理【例例2】 (2011北京北京)用数字用数字2,3组成四位数，且数字组成四位数，且数字2,3至少都至少都出现一次，这样的四位数共有出现一次，这样的四位数共有_个个(用数字作答用数字作答)抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积注意：各步

13、后再找出每一步中的方法有多少种，求其积注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事简单说之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独相互独立，逐步完成立，逐步完成”抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A12种种 B10种种 C9种种 D8种种解析解析利用分步乘法计数原理和组合数公式求解分两利用分步乘法计数原理和组合数公式求解分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C2(种种)选派方法；第二步，选派两名学

14、生到甲地，另外选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有两名到乙地，共有C6(种种)选派方法由分步乘法计数原选派方法由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有理得不同的选派方案共有2612(种种)答案答案A【训练训练2】 (2012新课标全国新课标全国)将将2名教师，名教师，4名学生分成名学生分成2个小个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由由1名教师和名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有名学生组成，不同的安排方案共有 ()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A10种种 B15种种

15、C20种种 D30种种审题视点审题视点 比赛场数至少比赛场数至少3场，至多场，至多5场，通过分类讨论，场，通过分类讨论，用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析问题，解决用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析问题，解决问题问题考向三两个计数原理的综合应用考向三两个计数原理的综合应用【例例3】 (2012陕西陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，局者获胜， 决出胜负为止，则所有可能出现的情形决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不各人输赢局次的不 同视为不同情形同视为不同情形)共有共有 ()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高

16、考解析解析分三种情况：恰好打分三种情况：恰好打3局，有局，有2种情形；恰好打种情形；恰好打4局局(一人前一人前3局中赢局中赢2局，输局，输1局，第局，第4局赢局赢)，共有，共有2C6种情种情形；恰好打形；恰好打5局局(一人前一人前4局中赢局中赢2局，输局，输2局，第局，第5局赢局赢)，共，共有有2C12种情形所有可能出现的情形共有种情形所有可能出现的情形共有261220种，故选种，故选C.答案答案C (1)解决此类综合题的关键在于区分该问题是解决此类综合题的关键在于区分该问题是“分类分类”还是还是“分步分步”(2)解决既有解决既有“分类分类”又有又有“分步分步”的综合问题时，应的综合问题时，应

17、“先分先分类，后分步类，后分步”抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A18 B10 C16 D14解析解析M中的元素作点的横坐标，中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有标，在第一象限的点共有22个，在第二象限的点共有个，在第二象限的点共有12个个N中的元素作点的横坐标，中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有坐标，在第一象限的点共有22个，在第二象限的点共有个，在第二象限的点共有22个所求不同的点的个数是个所求不同的点的个数是2212222214(个个)答案答案D【训练训练3】 已

18、知集合已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从两，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是 ()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【命题研究命题研究】 纵观历年高考对两个计数原理应用的考查，纵观历年高考对两个计数原理应用的考查，多以选择题与填空题的形式出现，考查蕴含在实际问多以选择题与填空题的形式出现，考查蕴含在实际问题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问题题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问

19、题转化，分好类与步是关键，今年高考仍会坚持此规律，转化，分好类与步是关键，今年高考仍会坚持此规律，不会有大的变化不会有大的变化热点突破热点突破24计数原理的应用计数原理的应用抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A60条条 B62条条 C71条条 D80条条教你审题教你审题 带字母系数的曲线方程，字母系数的不同取值带字母系数的曲线方程，字母系数的不同取值个数即为所求，求解时可选择某一系数的取值为标准进行个数即为所求，求解时可选择某一系数的取值为标准进行分类，但要做到不重不漏分类，但要做到不重不漏解法解法 法一法一当当a1时，若时，若c0，则，则b2有有4,9两个取值

20、，共两个取值，共2条抛物线；若条抛物线；若c0，则，则c有有4种取值，种取值，b2有两种，共有有两种，共有248(条条)抛物线；当抛物线；当a2时，若时，若c0，b2取取1,4,9三种取值，三种取值，共有共有3条抛物线；若条抛物线；若c0，c取取1时，时，b2有有2个取值，共有个取值，共有2条条抛物线，抛物线，c取取2时，时，b2有有2个取值，共有个取值，共有2条抛物线，条抛物线，c取取3时，时，b2有有3个取值，共有个取值，共有3条抛物线条抛物线c取取3时，时，b2有有3个取个取值，共有值，共有3条抛物线条抛物线【真题探究真题探究】 (2012四川四川)方程方程ayb2x2c中的中的a，b，c3，2,0,1,2,3