高数提高数学竞赛考研数学复习第一章极限

1、第一章极限第一章极限内容提要内容提要一、两个要素一、两个要素1 1自变量的（可以无限进行下去的）变化过程；自变量的（可以无限进行下去的）变化过程；二、性质二、性质1 1唯一性；唯一性；2 2局部有界性；局部有界性；3 3局部保号性局部保号性 2 2此过程进行到一定程度之后保持有定义的函数此过程进行到一定程度之后保持有定义的函数 三、求极限的方法三、求极限的方法1 1极限的运算法则极限的运算法则四则运算法则，无穷小及无穷大的运算法则（特别，四则运算法则，无穷小及无穷大的运算法则（特别，o o(1)(1) O O(1)=(1)=o o(1)(1)），连续函数的极限运算法则），连续函数的极限运算法则

2、2 2极限的过程代换极限的过程代换3 3极限的存在准则极限的存在准则（1 1）双边夹准则（）双边夹准则（2 2）单调有界必有极限准则）单调有界必有极限准则4 4两个重要极限两个重要极限),1(o 设设，则则1sinlim .)1(lim1e 5 5函数的连续性函数的连续性6 6洛必达法则洛必达法则7 7等价无穷小替换等价无穷小替换8 8有理函数的极限有理函数的极限9 9PeanoPeano型余项的泰勒公式型余项的泰勒公式)()(lim0 xgxfxx)()(!)()()(!)(lim0000)(0000)(0nnkkkmmkkkxxxxoxxkxgxxoxxkxf )()(!)()()(!)(

3、lim000)(000)(0nnnmmmxxxxoxxnxgxxoxxmxf .00的最低阶导数的阶数的最低阶导数的阶数处不为处不为在在、分别为使分别为使、其中其中xgfnm1010定积分定义定积分定义1111级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件 1212极限定义极限定义 计算计算例例1111lim130 xxx)11)1()(11)(11()11)1()(11)(11(lim33233320 xxxxxxxxx)11()11)1(lim3320 xxxxxx例题例题解：所求极限解：所求极限 .23 计算计算例例1111lim130 xxx另解另解1 1：所求极限：所求极限 xxx3121li

4、m0 .23 另解另解2 2：所求极限：所求极限 3/22/10)1(31)1(21lim xxx.23 计算计算例例1111lim130 xxx另解另解3 3：所求极限：所求极限 1)(311 1)(211 lim0 xoxxoxx.23 )(31)(21lim0 xoxxoxx )1(31)1(21lim0oox )()(limxxxxxxxxxx xxxxx lim).(lim2xxxx 例例. 2/1 解：所求极限解：所求极限 111lim1 xxtttxt11lim0/1 . 2/1 另解：所求极限另解：所求极限 ).(lim2xxxx 例例.)()2(lim3axxxeaxax 则

5、则若若 , 0 axxxxaxa)1()21(lim 左左式式，若若0 a 左式左式1lim xxxxx.3ae 显然有显然有例例3 3证明：证明：证证:证毕证毕;3ae xxxxxaxa)1(lim)21(lim .)()2(lim3axxxeaxax 则则若若 , 0 axxxxaxa)1()21(lim 左左式式，若若0 a显然成立显然成立例例3 3证明：证明：另证另证:证毕证毕;3ae )1ln(lim)21ln(limxaxxaxxxee )1ln()21ln(limxaxxaxxee tattatttee)1ln(lim)21ln(lim0000 ataatattee 1lim21

6、2lim0000.)1tan(lim312ennnn .31e 例例4 4证明：证明：证：证：证毕证毕2)1tan(limnnnn )11tan(11tan12)11tan(1lim nnnnnnnn)11tan(lim11tan12)11tan(1lim nnnnnnnnn)11tan(lim2 nnnne2001tan1limxxxxe 300tanlimxxxxe 220031seclimxxxe 22003tanlimxxxe ，其其中中若若例例01sin1lim5020 adttatxbxxxxbxaxxbxdttatxxxcoslim)sin(lim20020 xbxxaxxcos

7、lim1lim200 xbxaxcoslim120 1,21, 0bab解：由解：由、计计算算常常数数badttatxbxxx 020sin1lim)sin(lim020 xbxdttatxx1sin1lim020 dttatxbxxx，41 ab有有再由题设再由题设根据洛必达法则可知，有根据洛必达法则可知，有即得即得 1,21, 01bab，则则记记dttatxfx 02)(.2)0(af ).(31)(3302xoxadttatxfx )(61(sin33xoxxbxxbx 而而从而有从而有另解另解1 1：，其其中中若若例例01sin1lim5020 adttatxbxxx、计计算算常常数

8、数ba，0)0()0()0( fff)(61)1(33xoxxb dttatxbxxx 020sin1lim1)1(611)1()1(31lim20oxboax )(61)1()(3lim33330 xoxxbxoaxx ，41 ab即得即得 ，或或由由积积分分中中值值定定理理可可知知，0 , 0 xx 易知易知另解另解2 2：，其其中中若若例例01sin1lim5020 adttatxbxxx、计计算算常常数数ba dttatxbxxx020sin1lim1xbxxaxsinlim20 ),(22xoxa 且由上式即知且由上式即知,sin2xbxxa ),(sin2xoxbx 故有故有另一方

9、面，另一方面，),(sinxoxbx 从而有从而有于是，得于是，得)2(1sinlim0/00 bxxbxx“洛”“洛”)1(0sinlim0 xxbxx. 1)2)(1( b即得即得由由：下面求下面求a)sin()(lim020 xxdttatxx由由xxaxxcos1lim20 a2 及洛必达法则可知及洛必达法则可知.2sin1lim020adttatxxxx 再有题设知，上式极限再有题设知，上式极限=1，. 4 a)sinsin)(1sinsin(1sinsin1)1sinsin(1lim)(xtxxtxtxtxtxf xxesin xxxtxtxtsin1sinsin1)1sinsin

10、(1lim nknknknknkknnknknknn1212121222)1()1(，及及1)1(lim22 nnn,212)1(limlim212 nnnnknnkn即即得得，所所求求极极限限21 ).2211(lim222nnnnnnnnn ,122xex ,sin1 nnxxx, 2/)1ln()cos1(42xxx ),sin()1ln()cos1(2nxxoxx ),1(sin2 xneoxx),(2/14 nxox得得),(21xoxn ，有有2114 nn. 2 n故故所所求求极极限限)cos1)(cos1()cos1)(cos1(lim0 xxxxxx )cos1(cos1li

11、m210 xxxx 2/2/lim2120 xxxx .21 )(4/cos122xoxx 或或由由, 4/2x所所求求极极限限2/4/lim20 xxxx .21 证：证：4/9)2/3(3)3(02 nnnnnxxxxx由递推公式，有由递推公式，有, 4/9021 nx）得得（从从而而2/301 nx为为上上界界有有界界，且且2/3nx，得得由由递递推推公公式式两两边边nx, 112131 nnnxxx单单调调增增nx存存在在故故nnx lim记记Axnn lim),3(21nnnxxx 由由递递推推公公式式，有有),3(2AAA 两两边边取取极极限限，得得，即即得得解解此此方方程程，并并

12、注注意意2/30 AA即即23lim nnx例例1111医生说：医生说：“流动水洗口罩好流动水洗口罩好”，学生问：，学生问：“好多好多少？少？”模型模型1 1 肥皂、洗涤液使用充分，肥皂、洗涤液使用充分，病毒均匀溶于水病毒均匀溶于水设湿设湿口罩含水体积为口罩含水体积为V，开始时其中含病毒有开始时其中含病毒有10101010个，个，洗涤中洗涤中病毒均匀溶于水试求用静水与流动水分别需要多少水才病毒均匀溶于水试求用静水与流动水分别需要多少水才能洗涤干净能洗涤干净模型模型2 2病毒不均匀溶于水病毒不均匀溶于水，口罩内水中病毒浓度是口罩口罩内水中病毒浓度是口罩外水中病毒浓度的外水中病毒浓度的t t倍倍，

13、其他同模型其他同模型1 1试求用静水与流动试求用静水与流动水分别需要多少水才能洗涤干净水分别需要多少水才能洗涤干净解：解： 当病毒个数小于当病毒个数小于1时，可认为口罩已洗干净将口罩时，可认为口罩已洗干净将口罩中的含水量中的含水量V作为用水量的基本单位，作为用水量的基本单位，设总用水量限定为设总用水量限定为mV 模型模型1 1以一盆水洗湿口罩，因为以一盆水洗湿口罩，因为水的总体积水的总体积= =盆中水的体积盆中水的体积mV+ +口罩水的体积口罩水的体积V= (m+1)V.11010m 湿口罩中残留病毒数量湿口罩中残留病毒数量 ，令令111010 m，得得11010 m故用静水洗涤干净所需用水量

14、故用静水洗涤干净所需用水量 .)110(10即可即可V ,21mmm .)1)(1(102110mm 时时，分分母母最最大大，易易知知，当当221mmm 若将总用水量若将总用水量mV分为两盆，水量分别为分为两盆，水量分别为m1V 和和m2V，则口罩中残留病毒数则口罩中残留病毒数残留病毒数最少，残留病毒数最少，.)21(10210m 为为.)1(1010nnm .10)1(10lim1010mnnenm 即即可可10ln10V 于是，用于是，用mV这么多水进行这么多水进行流动水洗口罩残留病毒数为流动水洗口罩残留病毒数为令病毒数令病毒数, 11010 me.10ln10 m得得故用流动水洗净口罩所

15、用水量故用流动水洗净口罩所用水量如此类推，将总用水量如此类推，将总用水量mV分为分为n等分，则将口罩逐次洗等分，则将口罩逐次洗n次后，口罩残留病毒数量为次后，口罩残留病毒数量为模型模型2 2病毒不均匀溶于水，口罩内水中病毒浓度是口罩病毒不均匀溶于水，口罩内水中病毒浓度是口罩外水中病毒浓度的外水中病毒浓度的t t倍倍类似上面讨论可得，以一盆水洗湿口罩，类似上面讨论可得，以一盆水洗湿口罩，湿口罩中残留湿口罩中残留,11010tm 故用静水洗净所需水量故用静水洗净所需水量病毒数量病毒数量 ；即可即可tVmV)110(10 而用流动水洗的情况下口罩残留病毒数等于而用流动水洗的情况下口罩残留病毒数等于,

16、10)1(10lim1010tmnnetnm 故所需水量故所需水量 即可即可10ln10tVmV 解：由解：由 0012211xxxxxxxxxnnnnnn 0010012011)()()(xxxqxxqxxqnn 01001)(xqxxnkk aqqabn 11)(nnx lim.11)(aqab 计算计算例例)1(lnlim13*1 nnnnn nnnlnlim,/11lim)(lnlimlnlim xxxxxxxx解：解：)1(lnlim1 nnnnn)1(lnlimln nnnenn. 11lim00 tett，则，则试证：若试证：若例例anxxaxnnnn 1limlim14*证证：，ax