1.1.4投影与直观图-(1)

1、1.1.4投影与直观图投影与直观图hhOOlrr 用来表示空间图形的平面图用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的形，叫做空间图形的直观图直观图如何画出一个空间图形如何画出一个空间图形的的直观图？直观图？ 可以把空间图形画在平面内，使可以把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出图形各得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系主要部分的位置关系和度量关系（1） 点的平行投影点的平行投影：已知：已知图形图形F，直线，直线l与平面与平面相交，相交，过过F上任一点上任一点M作直线作直线l平平行于行于l，交平面，交平面于点于点M，则，则M叫做点叫做点M在平面在平面内关于内关

2、于直线直线l的平行投影的平行投影.（2）图形的平行投影图形的平行投影：如果图形：如果图形F上的所上的所有点在平面有点在平面内关于直线内关于直线l的平行投影构成的平行投影构成图形图形F，则，则F叫做图形叫做图形F在在内关于直线内关于直线l的平行投影，平面的平行投影，平面叫做投射面，叫做投射面，l叫做投叫做投射线。射线。探究一：v问题:v1.如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置:v(1)铁丝平行于投射面;按如图所示投射线，指出其平行投影，线段与它的投影的大小关系为 .v(2)铁丝倾斜于投射面，按如图所示投射线，指出其平行投影，线段与它的投影的大小关系为 . v(3)铁丝垂直于射影

3、面(铁丝不一定要与投射面有公共点)，按如图所示投射线，指出其平行投影. v平行于投射面的正方形在平行投影下的投影形状完全不变，相当于把正方形在平行光线下“平移”到了地面 平行于投射面的正方形的平行投影是什么？探究二：探究二：v2太阳光线（可看成平行的）照进窗户上，在地面形成什么图形？ 平行投影的性质：平行投影的性质： 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质：行投影都具有以下性质：1直线或线段的平行投影仍是直线或线段的平行投影仍是直线或线段直线或线段;2. 平行直线的平行投影是平行直线的平行投影是平行或重合平行或重合的直线；的直线；3

4、平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长平行且等长；4与投射面平行的平面图形，它的投影与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形与这个图形全等全等；5在同一直线或平行直线上，两条线段在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影长度的比平行投影长度的比等于等于这两条线段长度这两条线段长度的比。的比。2. 两条不平行的直线，其平行投影不可能两条不平行的直线，其平行投影不可能是（是（ ）（A）两条平行线）两条平行线. （B）一点和一条直线）一点和一条直线 （C）两条相交直线）两条相交直线 （D）两个点）两个点D1. 直线的平行投影可能是（直线的平行投影可能是

5、（ ） （A）点）点 （B）线段）线段 （C）射线）射线 （D）曲线）曲线A 当投射线和投射面成当投射线和投射面成适当的角度适当的角度或改或改变图形变图形相对于投射面的位置相对于投射面的位置时，一个空时，一个空间图形在投射面上的间图形在投射面上的平行投影平行投影（平面图（平面图形）可以形）可以形象地表示这个空间图形形象地表示这个空间图形。像。像这样用来表示空间图形的平面图形，叫这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的做空间图形的直观图直观图。 依据平行投影的性质画直观图的方法，依据平行投影的性质画直观图的方法，国家规定了统一的标准，一种较为简单国家规定了统一的标准，一种较为简单的画图标准

6、是的画图标准是斜二侧画法斜二侧画法。 一个水平放置的正方形，一个水平放置的正方形，如何画出它的直观图呢？如何画出它的直观图呢？xyoXYO 一个正方形，可用一个一个正方形，可用一个平行四边形平行四边形来来表示它表示它.那么这个平行四边形有什么要求那么这个平行四边形有什么要求呢？呢？探究四v阅读教材，回答下列问题：v（1）已知图形与直观图的坐标系有何区别？v（2）已知图形中的线段与轴平行关系在直观图中是否改变？v（3）已知图形中与轴平行的线段长度在直观图中是否改变？（1）在已知图形中取互相垂直的）在已知图形中取互相垂直的x轴和轴和y轴，两轴相交于轴，两轴相交于o点画直观图时，把它画成对应的点画直

7、观图时，把它画成对应的x轴、轴、y轴，使轴，使 ，它确定的平面表示水平平面。，它确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于）已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段，在直观图中分别画轴的线段，在直观图中分别画成平行于成平行于x轴或轴或y轴的线段轴的线段（3）已知图形中平行于）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半轴的线段，长度为原来的一半斜二测画法的步骤：斜二测画法的步骤：x Oy=45135或小结：小结：“横同，纵半，横同，纵半， 平行性不变平行性不变”045OCABC1B1A1例例1 画出水平放置的

8、画出水平放置的正三角形的直观图正三角形的直观图:画法如下,ABC第一步在已知的正三角形中,.ABxCOy取所在的直线为 轴 取对称轴为 轴0, 45 .xyx O y画对应的轴、轴 使使 , , 1/ 2.xO AOA O BOB O COC第二步在 轴上取例例1.画水平放置的正三角形的直观图画水平放置的正三角形的直观图. , , .AC B CA B CABC第三步连结所得的三角形就是正三角形的直观图(1)在六边形在六边形ABCDEF中，取中，取AD所在的直线为所在的直线为x轴，对称轴轴，对称轴MN所在直线为所在直线为y轴，两轴交于点轴，两轴交于点O画对应的画对应的x，y轴，两轴相交于点轴，

9、两轴相交于点O，使，使xOy=45.OxyABCDEFMNOyx变式练习：画出水平放置的正六边形的直观图 xyOABCDEFMNOxyABCDEFMN 1.2OMNN 2 以为中心,在X 上取A D =AD，在y 轴上取M N =以点为中心,画B C 平行于x 轴,并且等于BC;再以M 为中心,画E F 平行于x 轴,并且等于EF.AxyOBCDEFMNOxyABCDEFMN 3 连接A B ,C D ,E F ,F A ,并擦去辅助线x 轴和y 轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A B C D E FxyOABCDEFMNABCDEFABCDA1A1A1B1B1B1C1C1C1D

10、1D1 E1ABCABCDE你会画下列几何体的直观图吗？你会画下列几何体的直观图吗？探究五v画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，阅读教材回答：v（1）z轴在已知图形和直观图中位置是否改变？v（2）在已知图形中与z轴平行的线段在直观图中平行关系是否改变？v（3）在已知图形中与z轴平行的线段的长度在直观图中是否改变？空间几何体的直观图的画法：步骤：步骤：画轴画轴 画底面画底面成图成图画侧棱画侧棱例例2.画出高与底面边长相等的正三棱柱. 接上例接上例:例例2.画出高与底面边长相等的正三棱柱. 接上例接上例:ABCDv例3*. 一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底角为

11、45，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是 . ABCD22S 变式练习：如图所示，ABC是ABC的直观图，并且ABAC=2，那么ABC面积是 .3.利用斜二测画法得到的：三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的是 .v4.下列说法中v正方形的平行投影一定是菱形；v平行四边形的平行投影一定是平行四边形；v三角形的平行投影一定是三角形；v如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线.v 其中，正确的个数是 .v5*.水平放置的ABC的斜二测直观图如

12、图所示，已知AC=3，BC=2，则AB边上的中线的实际长度为_.6.6.用斜二测画法画长用斜二测画法画长, ,宽宽, ,高分别是高分别是4cm,3cm,2cm4cm,3cm,2cm的长方体的长方体 的直观图的直观图ABCDA B C D xyZ 1,90.xOz画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使 xOy=45O6.6.用斜二测画法画长用斜二测画法画长, ,宽宽, ,高分别是高分别是4cm,3cm,2cm4cm,3cm,2cm的长方体的长方体 的直观图的直观图ABCDA B C D xyZO 2MNPQ画 底 面 .以 O为 中 心 ,在 x轴 上 取 线 段 MN,使 MN= cm;在

13、轴 上 取 线 段 PQ,使 PQ= cm;分 别 过 点和作 y轴 的 平 行线 ,过 点和作 x轴 的 平 行 线 ,设 它 们 的 交 点 分 别 为 A,B,C,D,四 边 形 ABCD就 是 长 方 形 的 底 面 ABCDABCDMNPQ41.56.6.用斜二测画法画长用斜二测画法画长, ,宽宽, ,高分别是高分别是4cm,3cm,2cm4cm,3cm,2cm的长方体的长方体 的直观图的直观图ABCDA B C D xyZOABCD 3 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.ABCDMNPQ6.6.用斜二测画法画长用斜二测画法画长, ,宽宽, ,高分别是高分别是4cm,3cm,2cm4cm,3cm,2cm的长方体的长方体 的直观图的直观图ABCDA B C D xyZOABCDABCD ,4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线就可得到长方体的直观图.MNPQ6.6.用斜二测画法画长用斜二测画法画长, ,宽宽, ,高分别是高分别是4cm,3cm,2cm4cm,3cm,2cm的长方体的长方体 的直观图的直观图ABCDA B C D ABCDABCD ,4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理去掉辅助线,将被遮