范数理论及矩阵分析

1、2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系1系统与控制中的矩阵理论自动化学院 张维存ustb123456研究范围系统理论控制理论矩阵理论 =本课程内容系统与控制矩阵2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系3控制理论的发展阶段uFirst generation: Analog ControllTechnology: Feedback amplifierslTheory: Frequency domain analysisBode, Nyquist, uSecond generation: Dig

2、ital ControllTechnology: Digital computerslTheory: State-space design,Kalman filtering,Optimal control,uThird generation: Networked controllTechnology: Embedded computers, Wireless and wireline networks, SoftwarelTheory: Multi-agent, Consensus, flocking, cooperative, 2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北

3、京科技大学自动化学院自动化系4系统与控制中的矩阵理论uSecond generation: Digital ControllLinear systems lNonlinear systemslOptimal control lEstimation lSystem identificationlRobust control lAdaptive control lDiscrete- event systemslHybrid systems2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系5系统与控制中的矩阵理论uLinear systems (T. Kai

4、lath)l特征值与特征向量，矩阵对角化，矩阵求逆，矩阵函数，特征值与特征向量，矩阵对角化，矩阵求逆，矩阵函数，多项式矩阵，史密斯标准型，子空间多项式矩阵，史密斯标准型，子空间, uAdaptive control (P. A. Ioannou)l向量及矩阵范数，矩阵不等式，矩阵方程，矩阵函数，正向量及矩阵范数，矩阵不等式，矩阵方程，矩阵函数，正定矩阵，矩阵对角化定矩阵，矩阵对角化, uRobust control (K. Zhou)l子空间，特征值及特征向量，矩阵求逆，广义逆，矩阵微子空间，特征值及特征向量，矩阵求逆，广义逆，矩阵微积分，矩阵范数，奇异值分解，线性矩阵不等式，积分，矩阵范数，

5、奇异值分解，线性矩阵不等式，2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系6课程内容一：u向量范数，矩阵范数向量范数，矩阵范数u向量和矩阵的极限向量和矩阵的极限u矩阵幂级数矩阵幂级数u矩阵函数矩阵函数u矩阵的微分与积分矩阵的微分与积分u常用矩阵函数的性质常用矩阵函数的性质u矩阵函数的应用一：微分方程矩阵函数的应用一：微分方程u矩阵函数的应用二：线性系统的能控性与能观性矩阵函数的应用二：线性系统的能控性与能观性 (矩阵分析引论第四章，罗家洪 华南理工大学 )2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系7

6、课程内容二：uIntroduction to linear matrix inequalities (LMIs)uSystem stability and performanceLyapunov stability DissipativityKYP lemmaBounded real lemmaPositive real lemmaH2H2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系8课程内容二：uSome useful lemmasSchur complement Dualization lemmaProjection lemmaElimilat

7、ion lemmauState-feedback controluDynamic output-feedback control1. LMIs in Control, C. Scherer2. 鲁棒控制鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法，俞立线性矩阵不等式处理方法，俞立系统与控制中的矩阵理论第一部分：范数理论及矩阵分析第一部分：范数理论及矩阵分析2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系101 向量范数u内积空间和酉空间：通过内积定义了向量的长度。内积空间和酉空间：通过内积定义了向量的长度。u线性空间有线性空间有“长度长度”？-“范数范数”u若若

8、 是是实内积空间实内积空间， 为任意向量，为任意向量， 为实数域为实数域 中任一中任一元素，则元素，则 中向量的中向量的长度长度具有下列三个基本性质：具有下列三个基本性质：(1) 当当 时，都有时，都有 ；(正定性正定性)(2) ； (齐次性齐次性)(3) 。 (三角不等式三角不等式)V,Vx yaRVx| 0 x| |aaxx|xyxy|2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系向量范数u定义定义1：(向量范数向量范数)设设 是数域是数域 上的线性空间。若对于上的线性空间。若对于 中的任一向量中的任一向量 ，都有，都有一非负实数一非负实数 与

9、之对应，并且满足下列三个条件：与之对应，并且满足下列三个条件：(1) 正定性正定性：当：当 时，都有时，都有 ；(2) 齐次性齐次性： 对于任何对于任何 ，有，有 ;(3) 三角不等式三角不等式：对于任何：对于任何 ，都有，都有 则称非负实数则称非负实数 为向量为向量 的范数。简言之，向量的范数是定的范数。简言之，向量的范数是定义在义在线性空间线性空间上的上的非负非负实值函数。实值函数。VaaxxxyxyPVxxx0 xaP,Vx yxx2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系12常见的向量范数对于酉空间向量对于酉空间向量u1-范数范数:u2

10、-范数范数:u-范数范数:up-范数范数:221niix12,nnC x11niix1maxii n x11(1)nppipip x2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系13 常见的向量范数u1-范数范数 证明：证明：(1)当当 时，则时，则 不全为零，从而不全为零，从而 (2) 对于任何对于任何 ，则，则 (3) 若若 为任意向量，则为任意向量，则 即三角不等式成立。即三角不等式成立。x11niix12,n 110;niixaC1111;nniiiiaaaaxx12,nnC y11111()nniiiiiixyxy2022年5月23日15

11、时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系14常见的向量范数对于酉空间向量对于酉空间向量u1-范数范数:u2-范数范数:u-范数范数:up-范数范数:221niix12,nnC x11niix1maxii n x11(1)nppipip x关系?2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系15常见的向量范数u1-范数范数: p=1u2-范数范数: p=2u-范数：范数：证明：当证明：当 时，显然成立。故只需对非零向量加以证明。时，显然成立。故只需对非零向量加以证明。令令 ，则有，则有这里这里 ，又至少有一个，又至少有一个

12、 ，所以有，所以有1limmaxippi n xxx1maxii n 11111111ppppnnnnpppppiiiiiiii1ii1i11npiin2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系16常见的向量范数因此，因此，又因为又因为 故故从而，从而，即即: 1111npppiin1lim1,ppn11lim1nppipi11lim|nppipi1limmaxippi n xx。2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系17向量范数之间关系u定理定理1. 对于任何对于任何有限维向量空间有限维向

13、量空间 上定义的任意两种向量范上定义的任意两种向量范数数 ，都存在两个与，都存在两个与 无关的正的常数无关的正的常数 ，使得，使得对对 中任一向量中任一向量 ，都有，都有u注：满足以上两个不等式的向量范数称为注：满足以上两个不等式的向量范数称为等价等价的。故定理的。故定理1也也可叙述为：可叙述为：有限维向量空间上的不同向量范数是等价的有限维向量空间上的不同向量范数是等价的。证明证明：只针对实数域：只针对实数域 上的上的 维线性空间证明。维线性空间证明。设设 是是 的一组基，则的一组基，则 中的任意向量中的任意向量 可以表示为可以表示为 V,abxxx12,C CVx12,abbaCCxxxx

14、。Rn12,ne eeVxV1 122nnxeee2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系18向量范数之间关系定义：定义： ，显然是一种向量范数，显然是一种向量范数(2范数范数)。对于向量范数对于向量范数首先证明首先证明 的等价性。的等价性。记记 ，则，则 是连续函数是连续函数：设另一向量为设另一向量为 ，其范数为，其范数为则有则有 22212nEx1 122nnaaxeee,aExx12( ,)na x12( ,)n 1 122nnxeee12( ,)na x1212( ,)( ,)nnaaa xxxx111222111222()()()n

15、nnannnaaaeeeeee2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系19向量范数之间关系由于由于 是常数，因此当是常数，因此当 与与 充分接近时，充分接近时， 就就充分接近充分接近 ，即，即 是连续函数。是连续函数。根据连续函数的性质根据连续函数的性质，可知，在有界闭集，可知，在有界闭集上，函数上，函数 可达到最大值可达到最大值 和最小值和最小值 。当。当 时，显然时，显然 ，因此有，因此有 。又记。又记则向量则向量 的分量满足的分量满足 ，因此，因此 ；i12( ,)n iaei12( ,)n 12( ,)n 2221212( ,)|1n

16、nW x12( ,)na xMmWxx0m 2121( ,)ninidV x11niiiddyex211niidWy2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系20向量范数之间关系于是于是由由 得得由上式可得由上式可得 即即若取若取 ，则，则因此因此 等价。等价。同理可证同理可证 等价：等价：即即 等价。等价。120(,)namMdddy。dxyaaaadddxyyy 。,amdMdxEaEmMxxx。12,1/CM Cm12,aEEaCCxxxx 。,aExx,bExx34,bEEbCCxxxx 。1432,abbbCCC Cxxxx 。,ab

17、xx考虑向量序列的收敛性时等价!2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系212 矩阵范数u定义定义2. (矩阵范数矩阵范数) 在在 上定义一个非负实值函数上定义一个非负实值函数 (对每个对每个 )，如果对任意，如果对任意 都满足下列都满足下列四个条件：四个条件： (1) 正定性正定性：若：若 (矩阵矩阵)，则，则 (2) 齐次性齐次性：对任意：对任意 ，有，有 (3) 三角不等式三角不等式： (4) 相容性相容性：则非负实数则非负实数 称为方阵称为方阵 的范数。的范数。n nPAn nAP,n nA BPA0;A aP;aAaA;ABABAB

18、AB，AA2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系22矩阵范数与向量范数的相容性u定义定义3. 若对任何若对任何 及及 维列向量维列向量 ，方阵范数，方阵范数 能与某种向量范数能与某种向量范数 满足关系式满足关系式则称方阵范数则称方阵范数 与向量范数与向量范数 是是相容相容的。的。u注：注： 1) 上的每一种方阵范数，在上的每一种方阵范数，在 上都存在与它相容的上都存在与它相容的向量范数；向量范数； 2) 上任意两种方阵范数上任意两种方阵范数 都是都是等价等价的，即存在两的，即存在两个与个与 无关的正数无关的正数 ，使得，使得 n nAPnP

19、xaaAAxxnAaxAaxn nPnPn nPAA，A12,C C12,()n naAC AACAAP ；2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系23矩阵范数与向量范数的相容性3) 若若 则则是一种与向量范数是一种与向量范数 相容的方阵范数，称为相容的方阵范数，称为Frobenius范数范数( )。证明证明: (1) 当当 (矩阵矩阵)，则，则 显然成立；显然成立； (2) 对任意对任意 则则,n nijn nAaC2,1trnHijFi jAaA A221niixnCx0A0FA,kC222,1,1;nnijijFFi ji jkAkak

20、akA2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系24矩阵范数与向量范数的相容性(3)2,1nijijFi jABab22,12nijijijiji jabab2222,1,12nnijijFFi ji jABab2;FFFFABAB222111()()()nnniiiiiiiabab应用不等式：2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系25矩阵范数与向量范数的相容性(4)(5) 设设 令令21 12 2,1nijijinnjFi jABa ba ba b222211,122,1,1niinjjn

21、i jnnijiji ji jFFaabbabAB；12,Tnn nnijn nCAaC x12nAxy222111()()()nnniiiiiiiabab应用不等式：2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系26矩阵范数与向量范数的相容性则有则有即即 是与向量范数是与向量范数 相容的矩阵范数。相容的矩阵范数。2221nkkAxy21 1221211122111222,11nkkknnknkknnknnnkjjkjjnnkjjFk jkaaaaaaaA xFA2x2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学

22、院自动化系27F-范数u注：注：F-范数范数的优点之一是乘以酉矩阵的优点之一是乘以酉矩阵 后不变后不变(在实矩阵的情在实矩阵的情况下乘以正交矩阵后不变况下乘以正交矩阵后不变)，即，即证明：证明： 又又 ，且，且 也是酉矩阵，则也是酉矩阵，则 由此可知，由此可知， 的酉相似矩阵的的酉相似矩阵的F-范数是相同的范数是相同的，即：，即： 若若 ，则，则FFFUAAAU。U 22trtrtrHHHHFFUAUAUAAU U AA AAHFFAAHU.TTTTFFFFFAUAUU AAAAHBU AUFFBA。2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系2

23、8常见的矩阵范数常见的矩阵范数常见的矩阵范数uF-范数范数：u1-范数范数： (列模和最大者列模和最大者)u-范数范数： (行模和最大者行模和最大者) u2-范数范数： ( 是是 的最大特征值的最大特征值)2,1trnHijFi jAaA A111maxnijj niAa 11maxniji njAa 2HAA AHA AHA A2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系293 向量和矩阵的极限u定义定义4. (向量的极限向量的极限) 若若 ，如果存在极限，如果存在极限则称有空间则称有空间 的向量序列的向量序列 收敛于向量收敛于向量 并记为并记

24、为换言之，向量序列的极限是换言之，向量序列的极限是按坐标序列的极限按坐标序列的极限来定义的。当来定义的。当向量序列不收敛时，也称为发散的。向量序列不收敛时，也称为发散的。()()()()12,(1,2,)mmmmnnCmx()lim(1,2, )miiminnC()mx12,n x()()limmmmxxxx或。2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系30向量和矩阵的极限u定理定理2. 证明证明：利用向量的等价性利用向量的等价性，易知，对一种向量范数成立，则对，易知，对一种向量范数成立，则对任何一种范数也成立。为此，取向量范数任何一种范数也成

25、立。为此，取向量范数 。 如果对向量范数如果对向量范数 ，有，有则由则由 ， 可知，可知，对每个对每个 有有 。因此，。因此， 反之，若反之，若 则由定义知，则由定义知， ()()limlim0()mmmmxxxx对任一向量范数。xx()lim0mmxx()()1max0()mmiii nm xx(1,2, )i in()mii()limmmxx。()lim,mmxx()0(1,2, )miiin。2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系31向量和矩阵的极限故对任给正数故对任给正数 ，都有正数，都有正数 ，使得，使得 时，都有时，都有若取若取

26、 ，则当，则当 时，对每个时，对每个 值，上述不等值，上述不等式均成立，从而，式均成立，从而， 时，时，这就证明了这就证明了证毕。证毕。 iMimM()(1,2, )miiin。1=maxii nMM mMimM()()1max.mmiii n xx()lim0mmxx。2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系32向量和矩阵的极限u向量序列向量序列 收敛于向量收敛于向量 ，并且只当对任何一种向量范，并且只当对任何一种向量范数数 ，序列，序列 收敛于零。因此，收敛于零。因此，n维向量序列的收维向量序列的收敛问题敛问题，借助于范数概念，可归结为实

27、数序列的收敛问题借助于范数概念，可归结为实数序列的收敛问题。u定义定义5. (矩阵极限矩阵极限) 若若 ，如果存在极限如果存在极限则称方阵则称方阵 收敛于方阵收敛于方阵 ，记为，记为当方阵序列不收敛时，也称为发散的。当方阵序列不收敛时，也称为发散的。()mxxx()mxx()(1,2,)mn nmijn nAaCm()lim( ,1,2, ),mijijmaai jnmAn nijAaClim()mmmAAAA m或。2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系33向量和矩阵的极限u例例1：若若则有则有2 22121321,2,111cosmmm

28、mACmmm，20lim311mmA。2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系34向量和矩阵的极限u定理定理3. 证明证明：u注：方阵序列注：方阵序列 收敛于方阵收敛于方阵 , 当且仅当对任一方阵范数当且仅当对任一方阵范数 ，序列，序列 收敛于零。收敛于零。特别地，特别地， (矩阵矩阵)，当且，当且仅当仅当 limlim0()mmmmAAAA对任一方阵范数。()2(),1limlim0(, )lim(lim)0.mmijijmmnmijijmFmmi jAAaai jaaAAmAAmAA0mA 0()mAm 。2022年5月23日15时03分

29、北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系35向量和矩阵的极限u收敛方阵序列的基本性质：收敛方阵序列的基本性质：(1) 若若 ，则对，则对 中任何方阵范数中任何方阵范数 ， 有界。有界。(2) 若若 又又 (这里这里 为数列为数列)，则有，则有 (3)若若 ，且，且 都存在，则都存在，则,mmAA BB,mmaa bb ,mmablim(),lim().mmmmmmmma Ab BaAbBA BABmAn nClimmmAA11lim.mmAAmAA11,mAA2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系36向量和矩阵的极限u定

30、理定理4. (矩阵矩阵)的充分条件，是有某一方阵范数的充分条件，是有某一方阵范数 ，使得使得 证明：由方阵范数定义的条件证明：由方阵范数定义的条件(4)知，有知，有因此，若因此，若 ，则，则 ，从而，从而 。 由定理由定理3便得便得 。证毕。证毕。lim0mmA1.A 212,mmmmAAAAAA1A 0mA0mAlim0mmA2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系37向量和矩阵的极限u定理定理5. (矩阵矩阵)的充分必要条件，是的充分必要条件，是 的所有特征值的的所有特征值的模都小于模都小于1.证明：设证明：设 的约当标准型为的约当标准型

31、为lim0mmAAA1212()()()prrrpJJJJ121( )1iiiripr rJ 2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系38向量和矩阵的极限由于由于 ，故，故 。而且。而且不难证明不难证明1ATJT(1)()()()()()()()(1)!iimimimimrirmimimiifffJfffr1mmATJ T1212()()()pmrmrmmrpJJJJ2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系39向量和矩阵的极限其中，其中， ，又，又 在在 时的时的 阶导数为：阶导数为：由此可

32、以看出，当由此可以看出，当 时，下列各个陈述的等价性：时，下列各个陈述的等价性：证毕。证毕。( )mmf( )mfit()(1)(1)tm tmiifm mmt !(0,1,2,1).()!m tiimtrmtm 00()0 ()immmriAJJ每个矩阵()0 ()timitf对每个 及每个 值，矩阵1.(1,2, )iip2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系40向量和矩阵的极限u定理定理6. 矩阵矩阵 的每一个特征值的每一个特征值 的模的模 ，都不大于矩阵，都不大于矩阵 的任何一种范数的任何一种范数 ，即，即， 。证明：设证明：设 。

33、作矩阵。作矩阵 ( 是任意正数是任意正数)，于是，于是，因此，当因此，当 时，时， (矩阵矩阵)(定理定理4)。但由定理。但由定理5知，知，矩阵矩阵 的所有特征值的模都小于的所有特征值的模都小于1，而，而 的特征值就是的特征值就是 故故 即即 。由于正数。由于正数 可以任意小，因此可以任意小，因此 。AAAAAa1BAa1=1aBAaa。m 0mB BBa1,aaaA2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系414 矩阵幂级数u定义定义6. (方阵级数方阵级数) 给定给定 中一方阵序列中一方阵序列则和式则和式称为方阵级数，也常缩写为称为方阵级数

34、，也常缩写为 记记u定义定义7. (收敛收敛) 若方阵序列若方阵序列 收敛于收敛于 ，称方阵级数收敛，称方阵级数收敛其和式为其和式为 ，记为，记为u方阵序列收敛的方阵序列收敛的充要条件充要条件: 个数值级数个数值级数 收敛。收敛。u当当 个数值级数绝对收敛时，称此方阵级数个数值级数绝对收敛时，称此方阵级数绝对收敛绝对收敛。n nC012,mA A AA012mAAAA0mmA。NSS0mmSA。2n0, ,1,2,mijmAi jn2nS0NNmmSA。2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系42矩阵幂级数u方阵级数收敛的基本性质：方阵级数收

35、敛的基本性质：(1) 若方阵级数若方阵级数 绝对收敛绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换，则它一定收敛，且任意交换 各项的次序所得的新级数仍收敛，和也不改变。各项的次序所得的新级数仍收敛，和也不改变。(2) 方阵级数方阵级数 绝对收敛的绝对收敛的充要条件充要条件，是对任意一种方阵，是对任意一种方阵 范数范数 ，正项级数，正项级数 收敛。收敛。(3) 若若 为给定矩阵，如果方阵级数为给定矩阵，如果方阵级数 收敛收敛(或绝或绝 对收敛对收敛)，则级数，则级数 也收敛也收敛(或绝对收敛或绝对收敛)，且有等式，且有等式0mmA0mmA0mmA,n nP QC0mmA0mmPA Q00()mmmmPA Q

36、PA Q。2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系43矩阵幂级数u定义定义8. (幂级数幂级数) 若已给若已给 阶复数方阵序列阶复数方阵序列 及复数序及复数序列列 ，则方阵级数，则方阵级数 称为方阵称为方阵 的幂级数。的幂级数。u定义定义9. (谱半径谱半径) 如果如果 为方阵为方阵 的全部特征的全部特征值，则值，则称为称为 的谱半径。的谱半径。nmAmC0mmmC AA12,n n nAC1( )maxii nA A2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系44矩阵幂级数u定理定理7. 若若

37、 ，则对于任给正数，则对于任给正数 ，都有某一方阵范数，都有某一方阵范数 ， 使得使得 。证明：对于证明：对于 ，必有可逆矩阵，必有可逆矩阵 ，使，使 与其约与其约当标准形当标准形 相似：相似：其中其中 是是 的特征值，的特征值， 而而 等于等于1或或0。n nAC( )AAn nACn nPCAJ1121221,1n nnntttJP APtt1122,nntttA21,1,n ntt2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系45矩阵幂级数对给定的对给定的 ，取对角形矩阵，取对角形矩阵显然显然 可逆，且由计算可得可逆，且由计算可得12(1)1

38、nD1121221,1n nnntttD JDttD2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系46矩阵幂级数对所给方阵对所给方阵 ，令，令可验证可验证 是方阵范数。是方阵范数。可得：可得： 注：注：1AD JDAA11,111maxmaxiiiii ni nAD JDtt ( )A11maxniji njBb 2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系47矩阵幂级数u定理定理8. 若复变数幂级数若复变数幂级数 的收敛半径为的收敛半径为 ，而方阵，而方阵 的谱半径为的谱半径为 ，则：，则： (1)

39、 当当 时，方阵幂级数时，方阵幂级数 绝对收敛；绝对收敛； (2) 当当 时，方阵幂级数时，方阵幂级数 发散。发散。证明证明: (1) 因因 ，故总可以找到正数，故总可以找到正数 ，使得，使得 仍成立。又因为幂级数仍成立。又因为幂级数 在收敛圆内在收敛圆内 绝对收敛，所以正项级数绝对收敛，所以正项级数n nACR( )AR0mmmC z( )AR0mmmC A0mmmC A( )A( )AR( )ARzR0mmmC z0( )mmmCA2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系48矩阵幂级数收敛，从而其部分和收敛，从而其部分和有上界：有上界：由

40、定理由定理7，存在某一方阵范数，存在某一方阵范数 ，使得，使得 。因而，因而，故正项级数故正项级数 收敛。因而，收敛。因而， 绝对收敛。绝对收敛。0( )NmNmmSCANSM( )AA00NNmmmmmmC ACA0( )NmmmCANSM0mmmC A0mmmC A2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系49矩阵幂级数u推论推论1.若复数幂级数若复数幂级数 的收敛半径为的收敛半径为 ，则对于方阵，则对于方阵 ，当其特征值，当其特征值 满足满足 时，方阵幂级数时，方阵幂级数绝对收敛；若有某一绝对收敛；若有某一 使得使得 ，则此方阵幂级数，则

41、此方阵幂级数发散。发散。00mmmCzR12,n n nAC0(1,2, )iR in00mmmCAEi0iR2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系50矩阵幂级数u推论推论2. 若复变数级数若复变数级数 在整个复平面上都收敛，则对任意的在整个复平面上都收敛，则对任意的方阵方阵 ，方阵幂级数，方阵幂级数 也收敛。也收敛。0mmmC zn nAC0mmmC A2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系515 矩阵函数u若复变数幂级数若复变数幂级数 的收敛半径为的收敛半径为 ，其和为，其和为即即

42、，则可定义矩阵函数，则可定义矩阵函数u如何求矩阵函数？如何求矩阵函数？0!mzmzem2111sin( 1)(21)!mmmzzm21cos1( 1)(2 )!mmmzzm 0!mAmAem2111sin( 1)(21)!mmmAAm21cos1( 1)(2 )!mmmAAm 0mmmC zR( )f z0( )()mmmf zC zzR0( )( ( );)mn nmmf AC AAR AC。2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系52 矩阵函数u定理定理9. 若对任一方阵若对任一方阵 ，幂级数，幂级数 都收敛，其和为都收敛，其和为 则当则

43、当 为分块对角形矩阵为分块对角形矩阵 时，即有时，即有X0mmmC X0()mmmf XC X12kXXXXX12()()()()kf Xf Xf Xf X2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系53矩阵函数u定理定理10. 若若 是收敛半径为是收敛半径为 的复变数的复变数幂级数，又幂级数，又是是n阶约当块，则当阶约当块，则当 时，方阵幂级数时，方阵幂级数 绝对收敛绝对收敛其和为其和为0( )()mmmf zC zzRR000011J0R00mmmC J0000(1)0000()()1()()2!11()()()()(1)!2!nffff J

44、ffffn2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系54矩阵函数矩阵函数的求法矩阵函数的求法u方法一：利用矩阵的标准形求方法一：利用矩阵的标准形求(1) 若若 相似于对角形矩阵：相似于对角形矩阵： 则则A121nAPP121()()( )()nfff APPf2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系55矩阵函数(2)若若 不能与对角形矩阵相似，则不能与对角形矩阵相似，则 必可与其约当标准形相似必可与其约当标准形相似: ，其中，其中，则则AA11221()()()kkJJAPPJ121()()(

45、 )()kf Jf Jf APPf J1( )1iiiiiJ 2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系56矩阵函数u例例2. 设设 ，求，求解：特征值解：特征值特征向量特征向量则则 0102A,sin,cosAeAA。120,21211,02 111211,02012PP2012211102200AeeePPee1110sin20cos2sin,cos2220sin20cos2AA2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系57矩阵函数u例例3. 设设 ，求，求解：特征值解：特征值特征向量特征向

46、量-110-430102AAte 。1232,11230010 ,1,2111 1001111012 ,210111100PP 2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系58矩阵函数211100100111012002101110100Aeeeee 222043032eeeeeeeee2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系59矩阵函数u方法二：多项式法方法二：多项式法定理定理11. 设设n阶方阵阶方阵A的最小多项式为的最小多项式为m次多项式次多项式其中，其中， 是是A的所有互不相同的特征值。

47、又与收敛的的所有互不相同的特征值。又与收敛的复变数幂级数复变数幂级数 相应的相应的 是是A的收敛的收敛幂级数，则矩阵函数幂级数，则矩阵函数 可以表示成可以表示成A的的m-1次多项式次多项式系数系数 有下列的方程组的解给出：有下列的方程组的解给出：1212( )() ()() ,snnns 12,s 0( )kkkf zC z0( )kkkf AC A( )f A210121( )mmf Aa Ea Aa AaA0121,ma a aa2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系60矩阵函数2101212121(1)1()2(1)()(1)!(1)

48、(1)()iiimiimiimimiim nniniiiaaaafaamafnammnf2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系61矩阵函数u例例4. 设设 ，用多项式法求，用多项式法求解：特征多项式解：特征多项式特征值特征值最小多项式最小多项式记记因因 为为3次多项式，故设次多项式，故设214020031Asin At。2(1)(2)EA2( )(1)(2) ()sin,()sinf AtAtftt122(),1重根( ) 2012sin( )( )( )Att Et At A2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北

49、京科技大学自动化学院自动化系62矩阵函数由此得方程组由此得方程组解得解得可得：可得：120112111212012222( )( )( )()d( )2( )()|d( )( )( )()tttfttfttttf 01212012( )2( )4( )sin2( )4( )cos2( )( )( )sintttttttttttt012( )4sin3sin22 cos2( )4sin4sin23 cos2( )sinsin2cos2ttttttttttttttt sin212sin12sin213 cos24sin4sin2sin0sin2003sin3sin2sintttttttAttttt

50、2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系636 矩阵的微分与积分u定义定义10. (函数矩阵的微分函数矩阵的微分)u定义定义11. (函数矩阵的积分函数矩阵的积分)dd( )( ),( )( )ddijijm nm nA zazA zazzz或 ( )d( )d,( )d( )dbbijijaam nm nA xxax xA xxax x2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系64矩阵的微分与积分u函数矩阵的积分性质函数矩阵的积分性质(1)(2)(3)(4) ( )d( )dTTAxxA x

51、x( )( ) d( )d( )daA xbB xxa A xxb B x x, a b（为非零实数）( )d( )d()C A x xC A xxC为非零常数矩阵( )( )d( ) ( )( )( )dA xB x xA x B xA xB xx2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系65矩阵的微分与积分u函数矩阵的微分性质函数矩阵的微分性质(1)(2) 为常数：为常数：(3) 若若 及变量及变量 的函数的函数 都可导，则都可导，则(4) 若若 阶函数矩阵阶函数矩阵 可逆，且可逆，且 及其逆矩阵及其逆矩阵 都可都可 导，导， 则则( )(

52、 )ijm nA ua u( )( )( )( )A zB zA zB zz( )( )( ) ( )( )( )A zB zA z B zA z B z( )( )C A zC A zC( )uf zdd ( ) d( )dddA uuA uzuzn( )A z( )A z1( )Az111dd( )( )( )( )ddAzAzA zAzzu 2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系668 常用矩阵函数的性质u矩阵函数的性质矩阵函数的性质(1)(2) 若若 ，则，则(3) 若若 ，则，则(4)ABBAddAtAtAteAee AtAtAt

53、e BBeABBAABBAA Beeeeecossin11cos(),sin()22cos()cos ,sin()siniAiAiAiAiAeAiAAeeAeeiAAAA ABBA2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系67常用矩阵函数的性质u矩阵函数的性质矩阵函数的性质(5) 若若 ，则，则(6)222sincossin(2)sincos(2)cosA iEAAAEAEAAEAeecos()coscossinsinsin()sincoscossinABABABABABABABBA2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系

54、北京科技大学自动化学院自动化系68常用矩阵函数的性质u证明：证明：(1) 0011()!AtmmmmmeAtt Amm01!Atmmijijmet Am10d1d(1)!AtmmijijmetAtm11000d111()() )d(1)!(1)!AtmmmkAtmmketAAAtAAtAetmmk10011()() )(1)!mkAtmkAtAAtAe Amk2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系699 矩阵函数在微分方程中的应用u定理定理12. 一阶线性常系数齐次微分方程组一阶线性常系数齐次微分方程组的唯一解是的唯一解是00dd|( )t

55、 tAttxxxx0()0( )( )A t ttetxx。2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系70矩阵函数在微分方程中的应用u定理定理13. 一阶线性常系数非齐次微分方程组一阶线性常系数非齐次微分方程组的解的解证明：证明：00d( )d|( )t tAF tttxxxx00()()0( )( )( )dtA t tA ttteteFxx。d( )dAF ttxxd()( )dAtAteAeF ttxxd()( )dAtAteeF ttx000( )( )dtAtAtAteeteFxx2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院

56、自动化系北京科技大学自动化学院自动化系71矩阵函数在微分方程中的应用u例例5：求线性系统的解：求线性系统的解解：解：2311d( ),201 ,( )(0,0,)d(0)(1,1,1)112tTTAF tAF tetxxx()0( )(0)( )dtAtA tteeFxx1230,2,3123(1,5,2) ,(1,1,0) ,(2,1,0)TTTPPP11121111511 ,3396201224PP 2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系72矩阵函数在微分方程中的应用232123331 38111(0)15346124ttAtttttt

57、eeePePeeee x233()2()12233()22398101( )059464ttA tttttteeeeFPePeeeeeee 23()23023115(9)8221 53( )d(9)46 221 34tttA tttttteeeFteeee 2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系73矩阵函数在微分方程中的应用23()23023121(9)1622159( )(0)( )d(9)86221 38tttAtA tttttteeteeFteeee xx2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化

58、学院自动化系7410 线性系统的能控性和能观性u连续线性定常系统连续线性定常系统u定义定义12. (能控性能控性) 对于一个线性定常系统，若在某个有限时间对于一个线性定常系统，若在某个有限时间区区 内存在着输入内存在着输入 ，能使系统从任意初始状，能使系统从任意初始状 态转移到态转移到 ，则称此状态，则称此状态 是能控的；若系统是能控的；若系统的所有状态都是能控的，则成系统是完全能控的。的所有状态都是能控的，则成系统是完全能控的。d ( )( )( )d( )( )( )tAtBtttCtDtxxuyxu10,t1( ) (0)ttt u0(0) xx1( )tx0 x2022年5月23日15

59、时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系75线性系统的能控性和能观性u定理定理14. 系统系统 完全能控的充要条件，是完全能控的充要条件，是 阶对称矩阵阶对称矩阵为非奇异矩阵。为非奇异矩阵。证明：证明：(充分性充分性) 设设 非奇异。非奇异。可得可得令令代入上式代入上式( , ,)A B Cn110(0, )dTtATAcWteBB e1(0, )cWt1110()1( )(0)( )d ,(*)tAtA ttteeBxxu11( )(0, )(0)TTA tctB eWt X u1110111( )(0)(d )(0, )(0)TtAtAtATActteeeBB

60、eWt Xxx11111(0)(0, )(0, )(0)AtAtccee Wt Wt Xx2022年5月23日15时03分北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系76线性系统的能控性和能观性(必要性必要性) 反证法。若系统完全能控，但反证法。若系统完全能控，但 是奇异的，是奇异的，则必有非零向量则必有非零向量 使对任意时刻使对任意时刻使得使得即即故对任意时刻故对任意时刻 ，有，有由于系统完全能控，故必存在某个由于系统完全能控，故必存在某个 作用于系统上，使得作用于系统上，使得 由式由式(*)得得由于由于 为任意的，取为任意的，取 ，则由上式得，则由上式得 得得1(0, )c