人教版高中数学选修1-1 331函数的单调性与导数

1、 首先我们回忆一下函数的首先我们回忆一下函数的单调性的概念单调性的概念和导数的几何意义和导数的几何意义. .函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 D 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在D 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在D 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在D上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在D上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。D 称为称为

2、单调区间单调区间D = ( a , b )二、复习引入二、复习引入:yx0abc( )0f x ( )0f x 观观 察察: 下图下图(1)表示高台跳水运动员的高度表示高台跳水运动员的高度 h 随时间随时间 t 变化的变化的函数函数 的图象的图象, 图图(2)表示高台跳水运表示高台跳水运动员的速度动员的速度 v 随时间随时间 t 变化的函数变化的函数 的图象的图象. 运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别间的运动状态有什么区别?105 . 69 . 4)(2ttth5 . 69 . 4)(ttvaabbttvhOO

3、 运动员从起跳到运动员从起跳到最高点最高点, ,离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t 的增加而增加的增加而增加, ,即即h(t)h(t)是增函数是增函数. .相应相应地地, ,. 0)()(thtv 从最高点到入水从最高点到入水, ,运动员运动员离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t t的的增加而减少增加而减少, ,即即h(t)h(t)是减函数是减函数. .相应地相应地, ,. 0)()(thtv(1)(1)(2)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3xy1 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的

4、关系数正负的关系. 在某个区间在某个区间( (a, ,b) )内内, ,如果如果 , ,那么函数那么函数 在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增; ; 如果如果 , ,那那么函数么函数 在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减. .0)( xf)(xfy 0)( xf)(xfy 如果恒有如果恒有 ，则，则 是常数。是常数。)(xf0)(xf例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,)(xf ; 0)( xf; 0)( xf. 0)( xf试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.)(xf

5、解解: 当当1 x 4 , 或或 x 1时时, 可知可知 在此区在此区间内间内单调递减单调递减;( )0,fx)(xf 当当 x = 4 , 或或 x = 1时时, . 0)( xf 综上综上, 函数函数 图象图象的大致形状如右图所示的大致形状如右图所示.)(xfxyO14题型一：题型一：应用导数信息确定函数大致图象应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：23( )0;32( )0;32( )0.xfxxxfxxxfx 当当时时，当当或或时时，当当或或时时，试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。( )f x分析分析：( )f x在在此此区区间间递

6、递减减()fx在在 此此 区区 间间 递递 增增()fxx图图 象象 在在 此此 两两 处处 附附 近近 几几 乎乎 没没 有有 升升 降降 变变 化化 , ,切切 线线 平平 行行轴轴ABxyo23( )yf x ABxyo23( )yf x 题型一：题型一：应用导数信息确定函数大致图象应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：23( )0;32( )0;32( )0.xfxxxfxxxfx 当当时时，当当或或时时，当当或或时时，试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。( )f x分析分析：( )f x在在此此区区间间递递减减()fx在在 此此 区

7、区 间间 递递 增增()fxx图图 象象 在在 此此 两两 处处 附附 近近 几几 乎乎 没没 有有 升升 降降 变变 化化 , ,切切 线线 平平 行行轴轴ABxyo23( )yf x 题型一：题型一：应用导数信息确定函数大致图象应用导数信息确定函数大致图象解：解： 的大致形状如右图：的大致形状如右图：( )f x这这里里，称称A A, ,B B两两点点为为“临临界界点点”xyo12( )yf x xyo12( )yf x xyo1 2( )yf x xyo12( )yf x xyo( )yfx 2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类浙江理工类)练习：练习：设设 是函数是函数 的导函数

8、，的导函数， 的图象如的图象如右图所示右图所示,则则 的图象最有可能的是的图象最有可能的是( )( )f x( )fx( )yfx ( )yf x 题型二题型二 判断函数判断函数的单调性的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(1) 因为因为 , 所以所以xxxf3)(3. 0) 1(333)(22xxxf因此因此, 函数函数 在在 上单调递增上单调递增.xxxf3)(3Rx(2) 因为因为 , 所以所以32)(2xxxf).1(222)(x

9、xxf当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递增单调递增;0)( xf1x32)(2xxxf当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递减单调递减.0)( xf1x32)(2xxxf; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(3) 因为因为 , 所以所以), 0(,sin)(xxxxf. 01cos)(xxf因此因此, 函数函数 在在 上单调递减上单调递减.xxxfsin)(), 0(x(4) 因为因为 , 所以所以12432)(23xxxxf 当当 , 即即 时时, 函函数数 单调递增单

10、调递增;0)( xf21712171xx或)(xf 当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递减单调递减.0)( xf2466)(2xxxf21712171x)(xf题型二题型二 判断函数判断函数的单调性的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:练习课本练习课本判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:;)( )2( ; 42)( ) 1 (2xexfxxxfx.)( )4( ;3)( )3(233xxxxfxxxf总结总结: 当遇到三次或三次以上的当遇到三次或三次以上的,或图象很难或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。画出的函数求单调性问题时，应考虑

11、导数法。求定义域求定义域求求( )fx令令()0()()0()fxfxfxfx 解解不不等等式式的的递递增增区区间间解解不不等等式式的的递递减减区区间间作出结论作出结论1 1什么情况下，用什么情况下，用“导数法导数法” ” 求函数单调性、求函数单调性、 单调区间较简便？单调区间较简便？2 2试总结用试总结用“导数法导数法” ” 求单调区间的步骤？求单调区间的步骤？总结：总结：cossin335(,)( ,2 )(,)(2 ,3 )22.2.2.yxxxABCD 函函数数在在下下面面哪哪个个区区间间内内是是增增函函数数( ( ) ) B ( ,2 )该该函函数数在在上上为为增增函函数数。xxxx

12、 ( ,2 )sin0,sin0,如如图图, ,当当时时，yxxxxx cos(cos ) (sin )解解： xxxxxx cossinossincy 0即即：xyo 2 3yx sin练习练习例例3 3（课本）（课本） 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体即单位时间内注入水的体积相同积相同) )注入下面四种底面积相同的容器中注入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与请分别找出与各容器对应的水的高度各容器对应的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht

13、tOh ht tO 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快, , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”( (向上向上或向下或向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象内的图象平缓平缓. .)(xfy), 0(b)0 ,(a),( b),(a练习练习函数函数 的图象如图所示的图象如图所示, 试画出导函数试画出导函数

14、图象图象的的大致形状大致形状)( xfy )( xf 题型三题型三 分类讨论单调性分类讨论单调性1.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.)0()(2acbxaxxf解解: )0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0 ) 1 (a 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0 )2(a 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab2.报纸平

15、行练习报纸平行练习3.导学案导学案P157展题一（展题一（14全国大纲）全国大纲）上单调递减；）在（）上单调递增，在（易知则令此时时当）上单调递减；，在（上单调递增，）在（易知则时，令，即若上单调递增；在则函数时，即若时当解析：定义域的单调性。讨论函数),(,)(.11,11,0)(,0,0)3(),(,)(.11,11,0)(100)(,0)(10,0)1().1(444),12(3363)(,)().0(33)(1212211212212223xxxxxfaaxaaxxfaxxxxxfaaxaaxxfaRxfxfaaaaxaxxaxxfRxxfaxxaxxf4.导学案导学案P159（14广

16、东）广东）.),(),( ,)(.11,110)(,1,0)(0)(,10).1 (444,2)(.),( 131)(121221223单调递减上单调递增，在）在（易知，令时即时当上单调递增；在，则时时，即当解析：求函数的单调区间已知函数xxxxxfaxaxxfaRxfxfaaaaxxxfRaaxxxxf5.（15年江苏）年江苏）已知函数已知函数的单调区间。讨论)().,()(23xfRbabaxxxf）上单调递减；，（区间可知函数）上单调递增；同理，），（，在（即函数时，解得则当时当）上单调递减；，（区间可知函数）上单调递增；同理，），（，在（即函数时，解得则当时当上单调递增；），在（所以函

17、数时，因为当，解得令解析：320)(320)(.0,320)(,0)3(032)(032)(.32,00)(,0)2()(),0(03)(0)1 (.32,00)(,23)(12122212axfaxfxaxxfxxaaxfaxfaxxxfxxaxfxxxfaaxxxfaxxxf证明: 因为f(x)=2x3-6x2+7 /(x)=6x2-12x=6x(x-2), 当x(0,2)时,f/(x)=6x(x-2)0,即在（0， 1上恒成立f xa-xx31max而 ( )在（ 0， 1上单调递增，( )(1)=-1g xxg xg1a -2120 10 1已 知 函 数 （ ），( 若 （ ） 在(

18、上 是 增 函 数 ， 求的 取 值 范 围fxaxx,fxxx,a.例例2：322当a1时， ( )f xx 1对x （0， 1）也有 ( ) 0时，（ ）在(0, 1)上是增函数f xa-f x所以a的范围是-1，+ ）在某个区间上，在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递增（递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于是不够的。还有可能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证( )0(或0(或0)f x2120 10 1已知函数（ ），(若（ ）在(上是增函数，求 的取值范围f xaxx, ,f xxx,a.增例增例2：322当a1时， ( )f xx 1对x （0， 1）也有 ( ) 0时，（ ）在(0, 1)上是增函数f xa-f x所以a的范围是-1，+ ）本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化