第五章相量法基础

1、第五章第五章 相量法基础相量法基础本章介绍相量法，相量法是线性电路正弦稳态分析的一种本章介绍相量法，相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简单易行的方法。简单易行的方法。内容提要内容提要正弦量的三要素正弦量的三要素 5.1相位差相位差 5.2有效值有效值 5.3正弦量的相量表示正弦量的相量表示正弦量的相量正弦量的相量 5.5正弦电流电路中的电阻正弦电流电路中的电阻 5.6正弦电流电路中的电感正弦电流电路中的电感 5.7正弦电流电路中的电容正弦电流电路中的电容5.8基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 5.95.45.1 正弦量的三要素正弦量的三要素正弦量用三角函数表示，可以用瞬时值表示式和

2、波形图来正弦量用三角函数表示，可以用瞬时值表示式和波形图来描述。正弦电压描述。正弦电压u和电流和电流i的瞬时值函数表示式分别为：的瞬时值函数表示式分别为：sin()muuUtsin()miiIt一个正弦量可以用它的最大值一个正弦量可以用它的最大值 角频率角频率 和初相角和初相角 三个要素三个要素唯一地确定。唯一地确定。 uimUmI（1 1）最大值）最大值 ， 是正弦量是正弦量 和和 的振幅。正弦的振幅。正弦量瞬时值中的最大量值，也就是量瞬时值中的最大量值，也就是 和和 时的正弦电压和电流值。时的正弦电压和电流值。（2）角频率）角频率 从正弦量瞬时值表示式可以看出，正弦从正弦量瞬时值表示式可以

3、看出，正弦量随时间变化的部分是式中的量随时间变化的部分是式中的 ，它称为正弦，它称为正弦量的相角或相位。量的相角或相位。 就是相角随时间变化的速度，即就是相角随时间变化的速度，即()dtdt正弦量随时间变化正、负一周所需要的时间正弦量随时间变化正、负一周所需要的时间 称为称为周期。周期。 单位时间内正弦量重复变化一周的次数单位时间内正弦量重复变化一周的次数 称为称为频率频率 。正弦量的角频率正弦量的角频率 就是单位时间变化的弧度数，即：就是单位时间变化的弧度数，即： 22fT（3）初相角）初相角 （即（即 ， ） ，它是，它是 正弦电压和电流的正弦电压和电流的 相角。正弦量初相角相角。正弦量初

4、相角 的大小和正负，与选择正弦量的计的大小和正负，与选择正弦量的计起点有关。如果正弦量是余弦函数如起点有关。如果正弦量是余弦函数如 时，则正弦量的起点时，则正弦量的起点 s是是 ，即，即 对对应的横坐标点。应的横坐标点。 5.2 相位差相位差相位角：相位角： ()ut称为正弦量的相位角，简称相位。称为正弦量的相位角，简称相位。初相位（初相角）：初相位（初相角）： t =0时的相位角，简称：初相。时的相位角，简称：初相。 规定：相位角规定：相位角 u相位差：相位差：两个同频率正弦量的相位之差，即为初相位之差。两个同频率正弦量的相位之差，即为初相位之差。例：例： )sin()sin(222111t

5、UutUumm相位角：相位角： 初相位（初相角）：初相位（初相角）： 相位差为：相位差为： （1）超前）超前 （2）滞后）滞后 （3）同相）同相n2（5）正交）正交 2n结论：结论：两个同频率正弦量的计时起点变化时，它们各两个同频率正弦量的计时起点变化时，它们各自的初相位会跟着变化，但它们的相位差不变。自的初相位会跟着变化，但它们的相位差不变。（ 为奇数）为奇数） n和和 正交。正交。 1u2u和和 反相。反相。 1u2u（ 为奇数）为奇数） n超前超前 角角 。 1u2u滞后滞后 角角 。 1u2u（4）反相）反相 n , 2 , 1 , 0n和和 同相，达到最大。同相，达到最大。 1u2u

6、1212()()tt1201205.3 有效值有效值有效值：有效值：把一交变电流把一交变电流 i和一直流电流和一直流电流 I分别通过两个分别通过两个如果在一个周期内，它们产生的热量相等，便称此如果在一个周期内，它们产生的热量相等，便称此 I为为 i的有效值。的有效值。 表示式：表示式： 正弦量有效值与最大值关系正弦量有效值与最大值关系2222cos1sin1120202202mmTmTmTITTIdttTItdtITdtiTI即即 2mII 或或 IIm2注：注：在实际应用中，通常用有效值来表示交流电的大小。在实际应用中，通常用有效值来表示交流电的大小。例如，电表测出的交流电压；电气设备的额定

7、值；家庭用例如，电表测出的交流电压；电气设备的额定值；家庭用电的交流电压电的交流电压220V等都是有效值。等都是有效值。5.4 正弦量的相量表示正弦量的相量表示复数常用的表达方式包括复数常用的表达方式包括代数式代数式、三角函数式三角函数式、指数式指数式、极坐标形式极坐标形式等。等。（1）代数式）代数式ba、为实数为实数 a实部，实部， ReAa b虚部，虚部， ImAb （2）三角函数式为）三角函数式为 A为为 A的模的模 为为 A的幅角的幅角 转换关系为转换关系为sincosarctan22AbAaabbaA（3）指数形式）指数形式 （4）极坐标形式）极坐标形式 AA复数的运算符合代数运算中

8、的交换律、结合律和分配律。复数的运算符合代数运算中的交换律、结合律和分配律。（1）复数的加、减运算）复数的加、减运算111jbaA222jbaA已知：已知： 则：则： )j()()j()j(2121221121bbaababaAAA（2）复数的乘、除运算）复数的乘、除运算已知：已知： 11111AeAAj22222AeAAj则：则： 2121)(2121212121AAeAAeAeAAAjjj2121)(21221121212121AAeAAAAeAeAAAjjj5.5 正弦量的相量正弦量的相量欧拉公式欧拉公式cossinjej其虚部为其虚部为 sinImje正弦电压正弦电压 ( )2sin(

9、)u tUt，则，则 2Im2Im2Im)sin(2)()(tjtjjtjeUeUeUetUtu上式中，上式中， UUeUj，称为正弦电压的相量。，称为正弦电压的相量。 同理，若正弦电流同理，若正弦电流 ( )2 sin()i tIt，它的相量为：，它的相量为： IIeIjUUeUj，称为正弦电压的相量。，称为正弦电压的相量。 相量应明确如下几点：相量应明确如下几点： （1）正弦量的相量，用有效值和初相角表示时，称为）正弦量的相量，用有效值和初相角表示时，称为有有效值相量效值相量；用最大值和初相角表示时，称为；用最大值和初相角表示时，称为最大值相量最大值相量或或振幅相量振幅相量。本文中不特别说

10、明相量是指有效值相量。本文中不特别说明相量是指有效值相量。（2）正弦量的相量是用有效值的初相角表征的量，它）正弦量的相量是用有效值的初相角表征的量，它不是时间不是时间t的函数，而是一个复数。的函数，而是一个复数。（3）相量是正弦量的交换量，它与时域正弦函数之）相量是正弦量的交换量，它与时域正弦函数之间，有确定的对应变换关系，如间，有确定的对应变换关系，如如果正弦量是余弦函数时，它对应的相量形式与正弦函如果正弦量是余弦函数时，它对应的相量形式与正弦函数是相同的，即：数是相同的，即：（4 4）相量是时域正弦量变换为频域的变换量，不能把相）相量是时域正弦量变换为频域的变换量，不能把相量误认为是正弦量

11、量误认为是正弦量。（5 5）相量只能用来进行同频率正弦电源电路的分析计算。）相量只能用来进行同频率正弦电源电路的分析计算。 （6 6）非正弦周期函数电量不能用相量来表征。）非正弦周期函数电量不能用相量来表征。（7 7）由于电量是复数，可以在复平面上用矢量来表示，）由于电量是复数，可以在复平面上用矢量来表示，即相量图，而且可以按平行四边形法则求相量之和或差。即相量图，而且可以按平行四边形法则求相量之和或差。但是，应该明确的是，相量在复平面上仅仅是一种几何表但是，应该明确的是，相量在复平面上仅仅是一种几何表示，与物理学中所介绍的空间矢量的物理内容不同的，应示，与物理学中所介绍的空间矢量的物理内容不

12、同的，应加以区别。加以区别。相量表示正弦量还有如下的几个性质相量表示正弦量还有如下的几个性质（1 1）同频率正弦量的加减）同频率正弦量的加减j 1111j 2222( )2cos( )Re( 2)( )2cos( )Re( 2)ttu tUtU eu tUtU ejj1212jjjj1212( ) ( )( )Re( 2)Re( 2) Re( 22)Re( 2()Re( 2)ttttttu tu tu tU eU eU eU eUUeU e12UUU式中 由此可见，同频率正弦量的代数和仍是一个同频率的正弦由此可见，同频率正弦量的代数和仍是一个同频率的正弦量，其相量是各正弦量相量的代数和。表明：

13、量，其相量是各正弦量相量的代数和。表明：同频率正弦同频率正弦量的代数运算可以转变为对应相量的代数运算。量的代数运算可以转变为对应相量的代数运算。（2 2）正弦量微分的相量表示）正弦量微分的相量表示 正弦量正弦量 微分为微分为 正弦量的一介导数仍是一个同频率的正弦量，其相量等于正弦量的一介导数仍是一个同频率的正弦量，其相量等于正弦量的相量乘以正弦量的相量乘以 。j（3 3）正弦量积分的相量表示）正弦量积分的相量表示 正弦量正弦量 积分为积分为 正弦量的积分仍是一个同频率的正弦量，其相量等于正弦量正弦量的积分仍是一个同频率的正弦量，其相量等于正弦量的相量除以的相量除以 。 j的相量为的相量为 模是

14、正弦量相量模的模是正弦量相量模的 倍，倍， 初相角超前于正弦量相量相位初相角超前于正弦量相量相位 。 的相量为的相量为 模是正弦量相量模的模是正弦量相量模的 初相角滞后于正弦量相量相位初相角滞后于正弦量相量相位 。 90905.6 5.6 正弦电流电路中的电阻正弦电流电路中的电阻在正弦电流电路中，电路仍然适用欧姆定律和基尔霍夫定律。在正弦电流电路中，电路仍然适用欧姆定律和基尔霍夫定律。（1）电压和电流关系关联参考方向下，设关联参考方向下，设 ,则电流为则电流为 如图如图 i tou2sin()2sin()2 sin()uuiUtuUitItRRR结论结论 电压和电流为同频率的正弦量；电压和电流

15、为同频率的正弦量；电阻上的电压和电流同相位；电阻上的电压和电流同相位；有效值关系：有效值关系： IRU 相量关系：相量关系： RIU其中：其中： 欧姆定律的相量形式：欧姆定律的相量形式： RIU（2 2）功率）功率其瞬时功率其瞬时功率 tItUiupRRRsin2sin2tIUIURR2cos0iII uUU由于由于 12cost，所以，所以 02costIUIUpRR所以电阻是一个耗能元件。所以电阻是一个耗能元件。 i touPrURIRUIu=i同相位同相位平均功率：瞬时功率在一个周期内的平均值（又称为有功平均功率：瞬时功率在一个周期内的平均值（又称为有功功率），用功率），用 P表示。即表

16、示。即 TTuidtTdtpTP0011RURIIURR22例例5-1 5-1 将220V的交流电压加在额定值为220V、25W的白炽灯上，求白炽灯的电阻大小和流过白炽灯的电流。解：解：白炽灯的电阻 19362522022PUR流过白炽灯的电流 A.UPI1140220255.7 5.7 正弦电流电路中的电感正弦电流电路中的电感（1 1）电压和电流关系）电压和电流关系关联参考方向下，设电感线圈中电流关联参考方向下，设电感线圈中电流电感两端的感应电压电感两端的感应电压 2cos()2sin()22sin()LiiLudiuLL ItdtL ItUt2 sin()iiIt t iouLLUIi结论

17、：电压和电流为同频率的正弦量；结论：电压和电流为同频率的正弦量；电感上的电压超前电流电感上的电压超前电流 ； 90有效值关系：有效值关系： LIULIULXLL相量关系：相量关系： IXULLj其中：其中： 感抗随频率变化：频率越低，感抗感抗随频率变化：频率越低，感抗 LX就越小；就越小；直流时，电感相当于短路。直流时，电感相当于短路。LLuUUiII （2 2）功率）功率设设 ，则瞬时功率为，则瞬时功率为 tIUtItUiupLLLL2sinsin2)2sin(2结论：在第一、三的结论：在第一、三的1/41/4周期，电感吸收电源的电能并转周期，电感吸收电源的电能并转 换成磁场能量储存在电感线

18、圈中；换成磁场能量储存在电感线圈中； 第二、四的第二、四的1/41/4周期，电感将储存在电感线圈中的周期，电感将储存在电感线圈中的 磁场能量释放出来磁场能量释放出来 ，还给电源。，还给电源。 电感在电路中起能量交换作用。电感是一个储能元电感在电路中起能量交换作用。电感是一个储能元 件，它不消耗能量。件，它不消耗能量。平均功率：平均功率： 无功功率：无功功率：反映电感在电路中与电源进行的能量交换的大小，反映电感在电路中与电源进行的能量交换的大小， 即瞬时功率的最大值即瞬时功率的最大值 ，记为，记为IULLQ5.8 5.8 正弦电流电路中的电容正弦电流电路中的电容（1 1）电压和电流关系）电压和电

19、流关系关联参考方向下，设电容端电压为关联参考方向下，设电容端电压为 2sin()CCuuUt电容中的电流为电容中的电流为2sin()2 sin()2CCuiduiCCUtItdt t iCouUCIu结论：在纯电容电路中，电压和电流为同频率的正弦量；结论：在纯电容电路中，电压和电流为同频率的正弦量；电容中的电流超前端电压电容中的电流超前端电压 90有效值关系：有效值关系： IXICUCC1IUCXCC1相量关系：相量关系： IjXUCC其中：其中： CCuUUCCiII容抗随频率变化：频率越低，容抗容抗随频率变化：频率越低，容抗 CX就越大；就越大；直流时，电容相当于开路。容抗具有直流时，电容

20、相当于开路。容抗具有“通交流、通交流、隔直流隔直流”的作用。的作用。（2 2）功率）功率，则瞬时功率为，则瞬时功率为结论：在第一、三的结论：在第一、三的1/41/4周期，电容吸收电源的电能，周期，电容吸收电源的电能， 并转换成电场能量储存在电容器中；并转换成电场能量储存在电容器中； )2sin()2sin(2)sin(2tIUtItUiupCCCC第二、四的第二、四的1/41/4周期周期 ，电容将储存在电容器中的，电容将储存在电容器中的 电场能量释放出来，还给电源。电场能量释放出来，还给电源。 电容在电路中起能量交换作用。电容是一个储能电容在电路中起能量交换作用。电容是一个储能 元件，它不消耗

21、能量。元件，它不消耗能量。平均功率：平均功率： 010dtpTPCTC无功功率：反映电容元件在电路中进行能量交换的大小，无功功率：反映电容元件在电路中进行能量交换的大小，用瞬时功率的最大值用瞬时功率的最大值 IUC，即无功功率，即无功功率 。 CQ5.9 5.9 关于基尔霍夫定律的相量形式关于基尔霍夫定律的相量形式（1 1）KCLKCL的相量形式的相量形式正弦交流电路中正弦交流电路中, ,通过任一节点电流相量的代数和等于零通过任一节点电流相量的代数和等于零, ,即即 0I正弦电流的有效值一般都不满足正弦电流的有效值一般都不满足KVLKVL的关系的关系, ,即即 （2 2）KVLKVL的相量形式

22、的相量形式正弦交流电路中正弦交流电路中,任一闭合回路电压相量的代数和等于零任一闭合回路电压相量的代数和等于零,即即 0U特别要注意的是特别要注意的是, ,正弦电压的有效值一般都不满足正弦电压的有效值一般都不满足KVLKVL的关系的关系, ,即即 0U 本章小结本章小结一个正弦量的相量，就是在给定角频率一个正弦量的相量，就是在给定角频率 条件下，用它的条件下，用它的的有效值（也可用最大值）和初相角两个要素的表征量。的有效值（也可用最大值）和初相角两个要素的表征量。在概念上关于相量应明确：在概念上关于相量应明确：（1 1）正弦量的相量，用有效值和初相角表示时，称为效）正弦量的相量，用有效值和初相角表示时，称为效相量；用最大值和初相角表示时，称为最大值相量或振幅相量；用最大值和初相角表示时，称为最大值相量或振幅相量。本课程在教学中是采用有效值相量。因此，不特别相量