2017春人教版高中数学必修五课件：1.2-第1课时-解三角形的实际应用举例——距离问题1

1、:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.(2)测量高度.)3( 测量角度ACB51o55m75o解三角形公式、定理正弦定理：正弦定理：余弦定理：余弦定理：三角形边与角的关系：三角形边与角的关系：RCcBbAa2sinsinsin Abccbacos2222 Baccabcos2222 Cabbaccos2222 1 ABC180.2.大角对大边，小角对小边大角对大边，小角对小边 。，bcacbA2cos222，cabacB2cos222。abcbaC2cos222余弦定理的作用余弦定理的作用（1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和

2、其）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他他两角；两角； （3）判断三角形的形状。）判断三角形的形状。三角形的面积公式三角形的面积公式111ABC222SabsinCbcsinAacsinB。斜三角形的解法斜三角形的解法已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法用正弦定理求出另一对角用正弦定理求出另一对角,再由再由A+B+C=180，得出第三角，得出第三角,然然后用正弦定理求出第三边。后用正弦定理求出第三边。正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由由A+B+C=180,求出另一角，再求出另一角，再用正弦定理求出两边。用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦

3、用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。用余弦定理求出两角，再由用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。一边和两角一边和两角(ASA或或AAS)两边和夹角两边和夹角(SAS)三边三边(SSS)两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角(SSA)实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语例例1.设设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是5

4、5 m，BAC51， ACB75，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）.分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCmABCD.,),(,2两点间距离的方法设计一种测量达不可到两点都在河的对岸、如图例BABAABCDa分析：用例分析：用例1的

5、方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在ADC和和BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算出AB两点间的距离两点间的距离sin()sin()sin()

6、sin 180()sinsinsin()sin 180()aaACaaBC222cosABACBCACBC变式训练：若在河岸选取相距变式训练：若在河岸选取相距4040米的米的C C、D D两两点，测得点，测得 BCA= BCA= ， ACD= ACD= ， CDB= CDB= ，BDA=BDA=60304560求求A、B两点间距离两点间距离 .注：阅读教材注：阅读教材P12P12，了解，了解基线基线的概念的概念练习练习1.一艘船以一艘船以32.2n mile / h的速度向正北的速度向正北航行。在航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的方的方向，向，30min后航行到后航行

7、到B处，在处，在B处看灯塔在处看灯塔在船的北偏东船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续艘船可以继续一直一直沿正北方向航行吗？沿正北方向航行吗？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5 ASBSBASABSBn mileSABhhSBn milehn mile解：在中，由正弦定理得设点 到直线的距离为则此船可以继续一直沿正北方向航行答：此船可以继续一直沿正北方向航行变式练习：两灯塔变式练习：两灯塔A A、B B与海洋观察站与海

8、洋观察站C C的距离都的距离都等于等于a km,a km,灯塔灯塔A A在观察站在观察站C C的北偏东的北偏东3030o o，灯塔，灯塔B B在观察站在观察站C C南偏东南偏东6060o o，则，则A A、B B之间的距离为多之间的距离为多少？少？练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC

9、的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos6

10、6 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC 解斜三角形应用题的一般步骤：解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：分析：理解题意，分清已知与未知，画出理解题意，分清已知与未知，画出示意图示意图 （2）建模：建模：根据已知条件与求解目标，把已知根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验：检验上述所求的解是否符合实际意检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解义，从而得出实际问