北航2010-2015年研究生数值分析期末模拟试卷与真题

1、数值分析模拟卷A一、填空(共30分，每空3分)f11、1设人=，则A的谱半径P(a)=6P.5,A的条件数c0ndi(A)=6.e5b一2设f(x)=3x2+5,Xk=kh,k=0,1,2，则fXn,Xn书，Xn卡=3,fXn,Xn.,Xn也,乂口书=0.332一，x+x,0x13设S(x)=32，是以0,1,2为节点的三次样条函数，则2x+bx+cx-1,1xU为上三(2)设A为6父6矩阵，将A进行三角分解：A=LU,L为单位下三角阵,角阵，试写出L中的元素l65和U中的元素u56的计算公式。、(12分)设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数，试确定一个次数不超过3的多项式H(x),满

2、足H(0)=f(0)=0,H(1)=f(1)=1,H(2)=f(2)=1,H(1)=f(1)=3,并写出插值余项。四、（12分）线性方程组x1-卜x2=bi2：x12x2=b2（1）请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。（2）设P=2,给定松弛因子与=，请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式，并讨论收敛性。五、（7分）改写方程2x+x4=0为x=ln（4x）/ln2的形式，问能否用迭代法求所给方程在1,2内的实根？六、（7分）证明解方程（x3-a）2=0求3/的牛顿迭代法仅为线性收敛。113七、(12分)已知X0=-,Xi=-,X2=一.424(1)推导以这3个点作为求积节点

3、在0,1上的插值型求积公式;(2)指明求积公式具有的代数精度；12(3)用所求公式计算x2dx。八、(8分)若f(x)=(xXo)(XX1)(XXn),Xi互异，求fX0,X1，Xp的值，这里p三n1.数值分析模拟卷C一、填空题(每空3分，共30分)1 .设f(x)=4x8+3x4+2X2+1,则差商f20,21，28=；2 .在用松弛法(SOR)解线性方程组Ax=b时，若松弛因子切满足-1户1,则迭代法；*一.3.设f(x)=0,f(x)=0,要使求x的Newton迭代法至少三阶收敛，f(x)需要满足;324 .设f(x)=(x+2)(x3x+3x1)，用Newton迭代法求x1=2具有二阶

4、收敛的迭代格式为；求X2=1具有二阶收敛的迭代格式为；(7-2)5 .已知A=(31，则P(A)=,Cond式A)=6 .若x|1,改变计算式lgx-lgJx2_1=,使计算结果更为精确;7 .过节点(为，为3(i=0,1,2,3)的插值多项式为;22.8.利用抛物(Simpson)公式求xdx=。鱼21,二、(14分)已知方阵A=111,口2b(1)证明：A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积；(2)给出A的选主元的Doolittle分解，并求出排列阵；(3)用上述分解求解方程组Ax=b，其中b=(3.5,2,4)T。三、(12分)设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数

5、，试确定一个次数不超过3的多项式H(x),满足H(0)=f(0)=0,H(1)=f(1)=1,H(1)=f(1)=10,H(1)=f(1)=40,并写出插值余项。四、(10分)证明对任意的初值x0,迭代格式xn41=cosxn均收敛于方程x=cosx的根,且具有线性收敛速度。五、(12分)在区间-1,1上给定函数f(x)=4x3+1,求其在SSpan1,x,x中关于权函数P(x)=1的最佳平方逼近多项式。(可用数据：321、Po(x)=1,Pi(x)=x,P2(x)=x-22六、(12分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式Tn(x)=cos(narccosx)(n=0,1,2

6、,，xw1,1)的三项递推关系式：T0(x)=1,T1(x)=x,ITn.1(x)=2xTn(x)-Tn(x)(n=1,2,)2x21(2)用高斯一切比雪夫求积公式计算积分I=xxLdx,问当节点数n取何值时,0.x(2-x)能得到积分的精确值？并计算它。yn+=yn+J(Ki+K3)2七、(10分)验证对vt-K1=f(xn,yn)为2阶格式.K2=f(xn+th,yn+thK1),K3=f(xn+(1-t)h,yn十(1-t)hK1)2013年期末考试真题产生的序列4八;.下-列哪个结役是正瑞的？（A不收敛，B,收版,但不是收皴于s,C.以线性敛速收敛于”D.以不低于二酹的致途收敛于居-工

7、设小为十汕佻0）.巾=/）QJR）.今要用三次代数插值多项式上计羿/近似他.且睛足琳+1zjrjl;4,a（0TI-3）.为构造巾应选那些H.作质值结点？（）A.（叫bTi的热+1,工上小；氏工七+1,町+如工*+G；C-4工妨*+i*工13工夫+注D-（ifciifc+i,工*+江E定义在区间E句上时应于划分苒；a=itXn-b的二次样条函数覆灯的一般形式是什么？（）n3na,=町南氏义工）=叼.+叭工一町也c.S歹式工-啊帝05（吗=二/+中（工-工力，i=bEE./3）在回回上可税,口一”（工）在上连续，见复化梯形积分公式收敛的充分必要条件是什么？（A,被积函数人工）在积分区间以可上有定

8、义，C.工）在心周上连续t10.下列四个计算，=人工黑工的数慎求积公式中，哪一个是Gauss型的？A.J（T）+4/十m&*“5代闹）十时+盯配。.何川）-9+2“。硼D得出（7.+m+匈2翩3二填空题请舄出正确答案体题共24分，每空4分）L设女於是正交矩阵并且矩阵B=2A.那么矩阵B的请他数条件数为Cbncl(B)?=ji向口(J+3i1时nia?i(l,j-4)j2,设带状矩阵月=k/iooxi的的元素为瓜j岫v+j,尸2,3,岫0,其余北京近空航天大孝研究生课程试提_A如果把7的全部带内元素存放在矩阵U=中，则短阵白的元素也8的恒工依次样茶多嗔式具有_一阶连续导数.4,设/3=产-/+I

9、,工o=-1.工1=0,3=1,H是小在区间上1川上的四次Hmnite幡值多项式，且满足日伪）=）”0,1,2,印色）=尸（引，U=0,孙那么印工）一一.写成按粒递增的形式,插值余项Rx.fx_H（对=.5.如果求解常微分方程初值|可题的显示单步法局部戳断误差项输+0=52）.则称此单步法是阶方法.三.f本题共I。分）为求解缱性代数方程组1211+5x-2-4H3H2j2a*i+22-21a=1,-2xj-4g+534.写出收敛的Gauss-Seidd迭代法的迭代公式（分量形式），并说明收敛的理由四、（本题共心分）设饕用卜列二级RungfKutta方法珈*13年+3k2）,ki=/（tn.if

10、n）,蚓=f（tn+敏,y“+油】求解下列初值问题虱。）=1,0W弭Iy=1-35+&式0）。，1 .试写出求解的计算公式（步长就用h&示1；2 .从绝对稳定性考虑，求出时步氏h的限制.北京苑等肮天大学研究生课程试卷五、（本题共15分）设有求解常微分方程初值问题寸=八九我tdwT,江后）=和的线性多步法3 1h期门士2号加叶13#ti+3fR）i上上41-求该二步法的局部截断误差主项以及方法的阶.2-试求该线性二步法的绝对稳定区间.3.若要用该线性二步法求解下列初值问题/二一（1+。期+巴tQt以6=篙则从绝对稳定性考虑，对步长八有何限制？.北京航空维生曼尹究生课程试卷（本题9分）设以幻是五次

11、多项式，证明.L口工排（。）+青+$+&+繇。、1.p(a)=46，condi(A)=6.2.fXn,Xni,Xnz=3,fXn,Xni,Xn2,Xn3=0.3.b=2,c=3.厂/、2634.；q2(x)=x-x.5105.11.2,.2);lii0(i=1,2,3)H(x)14322526322331xx-4504502519、12919(2)R(x)=2(x-)(x-1)2(x-),(,).4!164444一.2二、(1)L=;(2)x*%3.347;(3)线性收敛3四、Ac10c1612A=C=，B=产=v；求积公式具有9955次代数精度，是Gauss型的.1 -7-13o五、=1,久

12、=7,Pi=-1;截断误差主项为h3y“(xn).2448六、(1)P(BJ)=J06,P(BGS)=0.61,因此两种迭代法均收敛一1(2)当AaA0时，该迭代公式收敛.1.0.6参考答案、1.22 .Xn1=Xn-f(Xn)(A=0,1,)f(Xn)3. 1,04.257,75./1八J3、(-1)，(-，-)224(k1)xi6.15(k)x233_1(k1)x2_1v(k-1)，12x1208.是，1-1二、(1)032-1043-10：01210000341a65一。61U1562U2563U3564U45)l65二;(2)U55U56=a55一。5山16l52U26l53U35654U46)f(、9(x)=x-2x(x-1)(x-2),R(x)x(x-1)(x-2)4!“尸=6十取2k)四、(1)(k+)b2p*书),H1时收敛x2=-:x12(2)(k书)x1x2k1)=b11x1(k)x2k)22=b21x2k)-x1(k1)42五、收敛七、(1)2111233f(43f(23fq八、pWn时为0,p=n+1时为1参考答案C、1.42 .发散_.*3 .f(x)=04.xn1