电场线高斯定理

1、电场线高斯定理E电力线的性质电力线的性质 1 1）电力线起于）电力线起于( (或无限远处或无限远处) )，负电荷，负电荷( (或无限远或无限远处处) )。 2 2）两条电力线不会）两条电力线不会. . 3 3）静电场电场线不闭合）静电场电场线不闭合. .表示场强大小：表示场强大小：电力线的疏密程度表示场强的大小电力线的疏密程度表示场强的大小.dSdNE 矢量场的宏观特征表现为：矢量场矢量场的宏观特征表现为：矢量场“源源” 及及“旋旋”，它是矢量固有性质的反映。它是矢量固有性质的反映。 （2 2）若矢量场的环流处处为零，则称该矢量场无旋，反之）若矢量场的环流处处为零，则称该矢量场无旋，反之该矢量

2、场有旋。该矢量场有旋。 静电场是矢量场，通过讨论静电场的通量和环流得到静电场是矢量场，通过讨论静电场的通量和环流得到静电场的性质静电场的性质. .在高等数学中，可以得到矢量场一般性的结论：在高等数学中，可以得到矢量场一般性的结论：（1 1）若矢量场的通量处处为零）若矢量场的通量处处为零, , 则称该矢量场无源，反则称该矢量场无源，反之该矢量场有源。之该矢量场有源。二二 电场强度通量电场强度通量定义：通过某面积定义：通过某面积S的电通量等于通过的电通量等于通过S的电场线的条数的电场线的条数。(1)(1)均匀电场，均匀电场， S是平面，且与是平面，且与电场线垂直电场线垂直ES e电通量电通量ES(

3、2)(2)均匀电场，均匀电场， S S是平面，与是平面，与电场线不垂直电场线不垂直ESncoseES SEe电通量电通量(3) (3) S是任意曲面，是任意曲面，E是非均匀电场把是非均匀电场把S分成无限分成无限多多dSESdE通过通过dS的通量的通量SEdde通过整个曲面的电通量通过整个曲面的电通量sSEdcosdeesSEde对于闭合曲面，规定闭合面的法线指向面外。对于闭合曲面，规定闭合面的法线指向面外。 SSSESEdcosdeE0d,2e220d,2e11 为封闭曲面为封闭曲面S电场线穿出处电场线穿出处 电场线穿入处电场线穿入处 通过闭合曲面的电通量为穿过整个闭合面的电场线的净根通过闭合

4、曲面的电通量为穿过整个闭合面的电场线的净根数。数。SSEdcose1dS11E2dS22E三、高斯定理三、高斯定理 高斯定理是静电场的一个重要定理，反映电通高斯定理是静电场的一个重要定理，反映电通量和场源电荷之间的关系量和场源电荷之间的关系. . 在真空中在真空中, ,通过任一闭合曲面的电场强度通量通过任一闭合曲面的电场强度通量, ,等等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 . .0niiSqSE10e1dr+q四四 高斯定理的证明高斯定理的证明SdrrqSdESSe02041Srqd4S2022044rrq0qSdE高高斯斯证明方法：证明方法： 从特殊到一

5、般从特殊到一般1 点电荷点电荷q q 被任意球面包围被任意球面包围 设设q 0，场具有球对称性，场具有球对称性 2 2 点电荷点电荷q被任意曲面包围被任意曲面包围 ssq推广到任意形状的闭合曲面推广到任意形状的闭合曲面s。通过包围通过包围q的任意闭合曲的任意闭合曲面的电场强度通量也都等面的电场强度通量也都等于于q / 0.s电场线不会中断，电场线不会中断， 通过通过S面面的电通量与通过球面的电通量与通过球面 电电通量是相同的。通量是相同的。 点电荷点电荷q在闭合曲面在闭合曲面S外时，电场线从一侧穿入外时，电场线从一侧穿入S面面，从另一侧穿出从另一侧穿出S 面，面，从闭合面穿出的电场线的净数目等

6、从闭合面穿出的电场线的净数目等于零。于零。0dsESE3 闭合曲面不包围点电荷闭合曲面不包围点电荷 sq1s2s设带电体系由设带电体系由n个点电荷组成个点电荷组成4 多个点电荷被任意闭合曲面包围多个点电荷被任意闭合曲面包围高斯面高斯面S1kq2kq1q2q3qkq其中其中 k个在闭合面内个在闭合面内n-k个在闭合面外个在闭合面外 kiiknnEqqqq SESESE SEEESE10210212110.01ddddd由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为高斯定理成立的基础是：静电场的库仑定律高斯定理成立的基础是：静电场的库仑定律niiSqSE10e1d2） q

7、0 ， E0，电力线穿出闭合曲面，正电荷为静电场，电力线穿出闭合曲面，正电荷为静电场的源头。的源头。1） q0， ER为半径的为半径的球面球面S作为高斯面。作为高斯面。SSEErSESESE24ddcosdo通过高斯面的电通量通过高斯面的电通量Pro因因p点在球面外点在球面外00qqiERrrrqE 4020若若p 点在球面内时，高斯面包含的电荷量点在球面内时，高斯面包含的电荷量qRrrRqrqi33333343434PrRrrRqrE 4030RrrrqRrrRqrE 4 4020030qRrqrEiE303024rROERR解：由对称性，任意场点解：由对称性，任意场点p p的场强的场强 的

8、方向垂直于带的方向垂直于带电平面。电平面。E例例3 3 求无限大均匀带电平面外的电场分布，设电荷面密求无限大均匀带电平面外的电场分布，设电荷面密度为度为 。+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

9、+ + + + + + + + + SEESS平面两侧距平面等远点处的平面两侧距平面等远点处的场强大小一样。场强大小一样。作一个圆柱形闭合面。作一个圆柱形闭合面。侧侧右右左左SESESESEsEdddd 2 0E02SEsEsEsEEEE无限大均匀带正（负）电平面的场强无限大均匀带正（负）电平面的场强 两个无限大均匀带电平板，带电量为等量异号，两个无限大均匀带电平板，带电量为等量异号，其场强的分布情况其场强的分布情况 0E0E0E 2 0E 2 0E过过p点做的柱形闭合面点做的柱形闭合面 设沿轴线方向，单位长度上的电荷为设沿轴线方向，单位长度上的电荷为 + + + + + + + + + +

10、+z解解: :对称性分析对称性分析, ,电场分布具有柱轴对称性电场分布具有柱轴对称性hSSEdErp点在圆柱体外点在圆柱体外（rR）上下两个底面的通量为零上下两个底面的通量为零侧面上各点场强的大小相等侧面上各点场强的大小相等侧SEdrhE 2例例4 求均匀带电长直圆柱面电场的空间分布。求均匀带电长直圆柱面电场的空间分布。rE0 20 2hrhE Rr p点在圆柱体内点在圆柱体内（rR）00iq+ + + + + + + + + + +zh02rhE0ERr EROrR02+ + + + + + + + + + +例例5 5 有一个半径为有一个半径为R 的球体，球内部带电，电荷体的球体，球内部带

11、电，电荷体密度的表达式为密度的表达式为 4( )qrrR( )0r (rR) (rR)求求(1) (1) 球体总带电量球体总带电量Q解：在球内取半径为解：在球内取半径为r，厚度为，厚度为dr的薄球壳，该壳内包含的薄球壳，该壳内包含的电量的电量drrRqdrrRqrdVdq342444球体总带电量球体总带电量dqQqdrrRqR0344(2) (2) 球内、外部空间的场强分布函数。球内、外部空间的场强分布函数。场强分布具有球对称性，高斯面为球面。场强分布具有球对称性，高斯面为球面。通过高斯面的电通量通过高斯面的电通量24 rE0iqE当场点在球面外时当场点在球面外时qqiRrrrqE10210

12、4当场点在球面内时当场点在球面内时qdqi42403424rRqdrrRqrRrrRqrE204022 424 rE42401rRq例例6 一厚度为一厚度为d d的无限大均匀带电平板，电荷体密的无限大均匀带电平板，电荷体密度为度为。试求板内外的场强分布，并画出场强随。试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标的变化曲线。坐标的变化曲线。 dxo解：电荷分布有面对称解：电荷分布有面对称性，平板两侧到中心面性，平板两侧到中心面距离相同的各点，场强距离相同的各点，场强大小相等。方向与平板大小相等。方向与平板垂直。垂直。高斯面取作圆柱面，其轴与平板高斯面取作圆柱面，其轴与平板垂直。垂直。x2dxo设圆柱底面面积设圆柱底面面积s s，到中心平面的距离均到中心平面的距离均为为x通过高斯面的电通量通过高斯面的电通量sEE20iq)2(dsqi2dx 当当 时时02dE 小结高斯定例解题步骤：小结高斯