D7_8常系数非齐次线性微分方程

1、目录 上页 下页 返回 结束 ),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特特 征征 根根通通 解解二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: :目录 上页 下页 返回 结束 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 第八节第八节型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、二、二、 第七章第七章 )(xfyqypy 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfyqypy ),(为常数

2、qp二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为Yy *y非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法目录 上页 下页 返回 结束 )(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx一、一、 )(xfyqypy 型)(e)(xPxfmx 为实数为实数 ,)(xPm设特解为设特解为, )(e*xQyx其

3、中其中 为待定多项式为待定多项式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程代入原方程 , 得得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为为 m 次多项式次多项式 .)(xfyqypy (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, , 02qp即则取则取),(xQm从而得到特解从而得到特解形式为形式为. )(e*xQymxQ (x) 为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若若 是特征方程的是特征方程的单根单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为为m 次多项式次多项式, 故特解形式为故

4、特解形式为xmxQxye)(*(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为xmxQxye)(*2小结小结 对方程对方程,)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若若 是特征方程的是特征方程的单根单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为为m 次多项式次多项式

5、, 故特解形式为故特解形式为xmxQxye)(*(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为xmxQxye)(*2)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即即即综上讨论综上讨论( ),kxmyx e Qx设k102不是根不是根是单根是单根是重根是重根目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1332 xyyy求方程的一个特解的一个特解.解解: 本题本题而特征方程为而特征方程为,0322rr不是特征方程的根不是特征方程的根 .设所求特解为设所求特解为,*10bxby代入方程代入方程 :132

6、33010 xbbxb比较系数比较系数, 得得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为于是所求特解为.31*xy0,0目录 上页 下页 返回 结束 例例2. xxyyy2e65 求方程的通解的通解. 解解: 本题本题特征方程为特征方程为,0652 rr其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xxCCY3221ee设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系数比较系数, 得得120 b0210bb1,2110bb因此特解为因此特解为.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得代入方程得xbbxb01022所求通解为所求通解为xxCCy32

7、21ee.e)(2221xxx ,2目录 上页 下页 返回 结束 练习练习. xyyye44 的通解的通解 (其中其中为实数为实数 ) .2. 求微分方程求微分方程？232.xyyyx e求方程的通解1 1目录 上页 下页 返回 结束 232.xyyyx e求方程的通解解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根2121 rr，xxeCeCY221 是单根，是单根，2 y设练习练习1 1(1) 求对应齐次方程的通解求对应齐次方程的通解(2) 求非齐次方程的特解求非齐次方程的特解此题此题.)()(2型型属属于于xmxexPxexf 其中其中, 1 m2 ()Ax

8、B1x2xe目录 上页 下页 返回 结束 代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为 xxeCeC221.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy xeBAxxy2)( yyy,将将 yYyxexx2)121( 对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxeCeCY221 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习2. 求微分方程求微分方程xyyye44 的通解的通解 (其中其中为实数为实数 ) .解解: 特征方程特征方程,0442rr特征根特征根:221 rr对应齐次方程通解对应齐次方程通解:xxCCY221e)(2时时,exAy令代

9、入原方程得代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为故原方程通解为xxCCy221e)(xe2)2(12时时,e2xxBy令代入原方程得代入原方程得,21B故原方程通解为故原方程通解为xxCCy221e)(xxe221目录 上页 下页 返回 结束 二、二、型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解xmxPyqypy)i(e)( yqypy分析思路分析思路:第一步第一步将将 f (x) 转化为转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析

10、原方程特解的特点分析原方程特解的特点xmxP)i(e)(目录 上页 下页 返回 结束 第一步第一步利用欧拉公式将利用欧拉公式将 f (x) 变形变形xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(则令,maxlnm )(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求如下两方程的特解求如下两方程的特解 i是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), xmkxQxy)i(1e)()(次多项式为mxQm故故xmx

11、Pyqypy)i(111e)()()( 等式两边取共轭等式两边取共轭 :xmxPyqypy)i(111e)(1y这说明为方程为方程 的特解的特解 .xmxPyqypy)i(e)( xmxPyqypy)i(e)( 设设则则 有有特解特解:目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的结果利用第二步的结果, 根据叠加原理根据叠加原理, 原方程有特解原方程有特解 :11*yyy xkxexmxmQQiiee原方程原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosxRms

12、inmmRR,其中均为均为 m 次多项式次多项式 .xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(目录 上页 下页 返回 结束 第四步第四步 分析分析的特点yxRxRxyyymmxksincose11因因11yy*yy所以mmRR,因此均为均为 m 次实次实多项式多项式 .11yyy本质上为实函数本质上为实函数 ,11yy目录 上页 下页 返回 结束 ( )e ( )cosxlf xP xx型sin)(xxPn二、二、)(xfyqypy (1)(2)*( )cos( )sinkxmmyx eRxxRxx是单根是单根 i 是是其其中中)(),()2()1(xRxRmm nlm,max k不不是是根根

13、i 01,次次多多项项式式m特解：特解：目录 上页 下页 返回 结束 例例4. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题 特征方程, 2, 0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb目录 上页 下页 返回 结束 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程为, 092r其根为

14、对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为目录 上页 下页 返回 结束 .sincos21xCxCY 其通解其通解(1)对应齐次方程对应齐次方程0 yy012 r特征方程特征方程特征根特征根ir xyysin ii 0(2)设原方程的特解为设原方程的特解为 xAcossin xB yx0,2

15、1 BA 解得解得xxycos21 则则方程的通解为方程的通解为xCxCysincos21 xxcos21 由初始条件由初始条件,得得21, 021 CC所以所以, 0( , 1 , 0)( xPl)1)( xPn初始条件初始条件, 0)0( y. 1)0( y是特征根是特征根.cos2sin21)(xxxxfy 练习：练习：解：解：目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程xmxPyqypye)(. 1 xmkxQxye)(*特解为sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 按不是、是特征方程的根, 分别取0、1。ixkxye*特解为

16、sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,maxk102不是根不是根是单根是单根是重根是重根目录 上页 下页 返回 结束 例例. xxyy3sin303cos189 求方程的通解的通解. 解解: 特征方程为特征方程为, 092r其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数比较系数, 得得,5a,3b因此特解为因此特解为)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根为特征方程的单根 ,i3)3sin33

17、cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为目录 上页 下页 返回 结束 .1. 1 xeyy.1,012 rr,21xxeCeCY ,xxaxeeb1.*baxeyx .33.2xxeyy .3,032irr . )3sin3cos(21xCxCY .)(*xebaxy 思考题或略讲题xmxPyqypye)(. 1 xmkxQxye)(*特解为2.exypyqyxkxye*特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,maxsin)(cos)(xxPxxPnl目录 上页 下页 返回 结束 . )(844. 322xexyyy )(.2,0442

18、二重根 rrr,)(221xexCCY ,822cbxaxx .8222xxedxe.*222xedxcbxaxy .423.42xeyyy ,0232 rr.2,121 rr.221xxeCeCY .*2xexay xmxPyqypye)(. 1 xmkxQxye)(*特解为2.exypyqyxkxye*特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max( )cos( )sinlnP xxP xx目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)() 1当xxf2e)()2当xy *xbxacos)(*yxk2e)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPxf

19、nlxsin)(cos)(e)(xkxye*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 设sin)(cos)(xxRxxRmmxxxxf2e2cos)()3当*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xk2e时可设特解为 目录 上页 下页 返回 结束 第七章、微分方程小结第七章、微分方程小结目录 上页 下页 返回 结束 1.1.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程xxfyygd)(d)(2、齐次方程、齐次方程形如形如)(ddxyxy的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程 .令令,xyu ,xuy 则,ddddxuxuxy解法解法:代入原方程得代入原方程得3、一阶线性微分方程

20、、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式（一阶线性微分方程标准形式（1）:)()(ddxQyxPxy0)(ddyxPxy解齐次方程解齐次方程 通解为：通解为：xxPCyd)(e用用常数变易法常数变易法:,e)()()(xxPxuxyd则则作变换作变换一阶微分方程一阶微分方程目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程标准形式（一阶线性微分方程标准形式（1）:)()(ddxQyxPxy故原方程的通解故原方程的通解CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(一阶线性微分方程标准形式（一阶线性微分方程标准形式（2）：）：)()(ddyQxyPyx通解：通解：CyyQxyyPyyPde)(ed)(

21、d)(目录 上页 下页 返回 结束 二、可降阶高阶微分方程二、可降阶高阶微分方程 1、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程),(pxfp 2、不含有不含有y3、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令令,py xpydd 则xyypddddyppdd不含有不含有x目录 上页 下页 返回 结束 三三.求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 ),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根 221prr

22、xrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解目录 上页 下页 返回 结束 ),(为常数qp四四.二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :型)(e)(xPxfmxxmkxQxye)(*当当 不不是特征方程的是特征方程的 根根 时时,是单根是重根是单根是重根特解特解2,1,0取ksin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1 )重根重根, ixkxye*则设特解为则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,maxxmxPyqypye)(. 1 目录 上页 下页 返回 结束 .sincos21xCxCY 其通解其通解(1)对应齐次方程对应齐次方程0 yy012 r特征方程特征方程特征根特征根ir xyysin ii 0(2)设原方程的特解为设原方程的特解为 xAcossin xB yx0,21 BA 解得解得xxycos21 则则方程的通解为方程的通解为xCxCysincos21 xxcos21 由初始条件由初始条件,得得21, 021 CC所以所以, 0( , 1 , 0)( xPl)1)( xPn初始条件初始条件, 0)0( y. 1)0( y是