D4.4差分方程1

1、第四节第四节一、差分的概念一、差分的概念二、差分方程的概念二、差分方程的概念机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 差分与差分方程的概念差分与差分方程的概念 第四章第四章 常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构三、三、常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构引言引言 在科学技术和经济管理的许多问题中在科学技术和经济管理的许多问题中, ,经济变量的数据大多按等间隔时间周期统计经济变量的数据大多按等间隔时间周期统计, ,因此因此, ,各有关变量的取值是各有关变量的取值是离散的离散的, ,如何寻求如何寻求它们之间的关系和变化规律呢？它们之间的关系和变化规

2、律呢？差分方程差分方程是是研究这类研究这类离散数学模型离散数学模型的有力工具。的有力工具。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、一、差分的概念差分的概念定义定义1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设函数设函数 ，记为，记为 。( )yf x xy当当 取遍取遍非负整数非负整数时函数值可以排成一个数列：时函数值可以排成一个数列：x01,xyyy则差则差 称为函数称为函数 在点在点 处的处的差分差分，1xxyy xyx也称为也称为一阶差分一阶差分，记为，记为 ，xy 即即1xxxyyy (0, 1, 2,)x 例例1. 常数的差分为零。常数的差分

3、为零。解：解：指数函数的差分等于指数函数乘上一个常数。指数函数的差分等于指数函数乘上一个常数。 例例3. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 已知已知 （ 为常数），求为常数），求 。xyC Cxy 10 xxxyyyCC 例例2. 设设 （其中（其中 且且 ），求），求 。xxya 0a 1a xy 解：解：11(1)xxxxxxyyyaaaa sin,xyax 求求 。xy 解：解：1sin (1)sinxxxyyya xax 112cos ()sin22a xa例例4. 设设解解:例例5. 设阶乘函数设阶乘函数 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

4、束结束 2xyx 求求 。xy 221(1)21xxxyyyxxx ( )(1)(2)(1),nxyxx xxxn(0)1,x 求求 。xy 解解:( )( )1(1)nnxxxyyyxx (1) (1)(11)(1)(1)xx xxnx xxn (1)(1) (1)(2)xxnx xxn(1)nnx 差分的四则运算法则差分的四则运算法则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1)();CyC y(2)();xxxxyzyz 11(3)();xxxxxxxxxxyzyzzyyzzy1111(4)().xxxxxxxxxxxxxxyzyyzzyyzzzzzz（利用一阶差分的

5、定义，自己证明。）（利用一阶差分的定义，自己证明。）高阶差分的定义：高阶差分的定义：一阶差分的差分一阶差分的差分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11()()xxxxxyyyyy 211()()xxxxyyyy212xxxyyy称为函数称为函数 在在 处的处的二阶差分二阶差分，记为，记为 ，即，即 xyx2xy 2212xxxxyyyy二阶差分的差分称为二阶差分的差分称为三阶差分三阶差分，记为，记为 ，即，即3xy 332133xxxxxyyyyy二阶及二阶以上的差分统称为二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分高阶差分。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

6、束结束 函数函数 在在 处的处的 阶差分阶差分，记为，记为 ，xyxnxy n1()nnxxyy 一般地，一般地，即即例例6. 设设22,.xxxyey求求解：解：2(1)2221(1)xxxxxxyyyeeee 22222()(1)(1)xxxxyyeeee 222(1)xee例例7. 已知已知解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 223342,.xxxyxxyy求求23 ()4 ( )(2)xyxx 3(21)4061xx2()(61)(6 )(1)xxyyxx 6 ( )06x 32()(6)0 xxyy 结论：结论： 次多项式的次多项式的 阶差分为常数，阶差

7、分为常数， 阶以上阶以上kkk的差分均为零。的差分均为零。说明：说明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数函数 在不同时期的值和它的各阶差分之间的关系在不同时期的值和它的各阶差分之间的关系xy(1) 函数的函数的 阶差分可以表示成已知函数在不同阶差分可以表示成已知函数在不同n时期值时期值 的线性组合。的线性组合。11,x nx nxxyyyy (2) 函数函数 的差分仍然是的差分仍然是 的函数，函数在不同的函数，函数在不同xyx时期的值时期的值 可以表示成可以表示成 及其各阶差分的及其各阶差分的xyx ny 线性组合。线性组合。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

8、 返回返回 结束结束 1xxxyyy 211()xxxxxxxyyyyyyy 222xxxxxxxyyyyyyy 23222xxxxxxyyyyyy 2(2)xxxyyy 2333xxxxyyyy 二、差分方程的概念二、差分方程的概念机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义3 含有未知函数的差分或含有未知函数含有未知函数的差分或含有未知函数几个不同几个不同时期值的符号的方程称为时期值的符号的方程称为差分方程差分方程，其一般形式为，其一般形式为或或2( ,)0nxxxxF x yyyy12( ,)0 xxxx nG x yyyy 或或12( ,)0 xxxx nH x

9、 yyyy 例如：例如：2;xxyyx223xxyyx 2212xxxxyyyy差分方程的差分方程的不同形式不同形式之间可以之间可以相互转化相互转化。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如：例如：差分方程差分方程2123xxxxyyy可转化为可转化为21223xxxxyyy 若将原方程的左边写成若将原方程的左边写成212112()()2xxxxxxxxyyyyyyyy2122xxxxxyyyyy 则原方程又可化为则原方程又可化为223xxxyy定义定义4 4 差分方程中未知函数的最大下标与最小差分方程中未知函数的最大下标与最小下标的差称为差分方程的下标的差称为差分方程

10、的阶阶。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例：例：5324320 xxxyyy三阶差分方程三阶差分方程310 xxyy二阶差分方程二阶差分方程定义定义5 5 如果一个函数代入差分方程后，方程两如果一个函数代入差分方程后，方程两程的程的通解通解。数恰好等于方程的阶数，则称这个解为差分方数恰好等于方程的阶数，则称这个解为差分方分方程的解中，含有分方程的解中，含有相互独立相互独立的的任意常数任意常数的个的个边恒等，则称此函数为差分方程的边恒等，则称此函数为差分方程的解解。若在差。若在差机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如：例如：函数函数是一阶差分

11、方程是一阶差分方程152xyx函数函数2()xyCxC为为数数任任意意常常的的解解；12xxyy 是一阶差分方程是一阶差分方程的的解解，12xxyy 而且是它的而且是它的通解通解。我们通常根据事物在初始时刻所处状态，对差分我们通常根据事物在初始时刻所处状态，对差分满足初始条件的满足初始条件的解解称为差分方程的称为差分方程的特解特解。方程附加一定条件，这种附加条件称为方程附加一定条件，这种附加条件称为初始条件初始条件。三、常系数线性差分方程解的结构三、常系数线性差分方程解的结构机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 阶常系数线性差分方程的一般形式为阶常系数线性差分方程的一般形

12、式为n1111( )x nx nnxnxya yaya yf x 其中其中 为常数，且为常数，且 ， 为已知函数。为已知函数。(1,2, )ia in 0na ( )f x当当 时，差分方程时，差分方程 称为称为齐次的齐次的； ( )0f x 当当 时，差分方程时，差分方程 称为称为非齐次的非齐次的； ( )0f x 若若 是是 阶常系数非齐次线性差分方程，阶常系数非齐次线性差分方程，n则其所对应的则其所对应的 阶常系数齐次线性差分方程为阶常系数齐次线性差分方程为n11110(0)x nx nnxnxnya yaya ya 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 n关于关于

13、 阶常系数线性差分方程的解有如下一些结论阶常系数线性差分方程的解有如下一些结论定理定理1.次线性差分方程次线性差分方程的解，则它们的线性组合的解，则它们的线性组合若函数若函数 都是常系数齐都是常系数齐12( ),( ),( )kyxyxyx1122( )( )( )( )kky xC yxC yxC yx也是方程也是方程 的解，其中的解，其中 为常数。为常数。12,kCCCn定义定义6. 设有设有 个函数个函数12( ),( ),( )nyxyxyx都在某都在某一区间一区间 上有定义，若存在一组不全为零的数上有定义，若存在一组不全为零的数I否则，称之为否则，称之为线性无关线性无关。机动机动 目

14、录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12,nkkk使对一切使对一切 有有,xI 110nnk yk y则称函数则称函数 在区间在区间 上上线性相关线性相关，12( ),( ),( )nyxyxyxI定理定理2. 若函数若函数 是是 阶常系数阶常系数12( ),( ),( )nyxyxyxn齐次线性差分方程齐次线性差分方程的的 个线性无关的解，则个线性无关的解，则n11( )( )xnnYC yxC yx就是方程就是方程的的通解通解（其中（其中 为常数）。为常数）。12,nCCC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理3. 若若 是非齐次方程是非齐次方程 的一个特解，的一个特解， 是它对是它对*xyxY应的齐次方程应的齐次方程的通解，则非齐次方程的通解，则非齐次方程的的通解通解为为 *xxxyYy定理定理4. 若若 分别是非齐次方程分别是非齐次方程*12,yy11111( )x nx nnxnxya yaya yfx 11112( )x nx nnxnxya yaya yfx 111112( )( )x nx nnxnxya yaya yfxfx 的特解，则的特解，则 是方程是方程*12yyy的特