a行列式的定义

1、线性代数线性代数 第2页什么是线性代数 代数（Algebra），源于阿拉伯语。其本意是“结合在一起”。也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。线性（linear），指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。它的研究对象是向量、矩阵、向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组；第3页为什么开设线性代数 线性代数在各种代数分支中占居首要地位；在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法

2、基础的一部分；该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性代数正是解决这些线性化了的问题的有力工具。运筹学的一个重要议题是线性规划，而线性规划要用到大量的线性代数的处理。第4页学习内容 第1章 行列式第2章 矩阵第3章 n维向量与线性方程组第4章 线性空间第5章 矩阵的对角化第6章 实二次型第5页这门课由我们共同完成 本课程的成绩由考试成绩、平时成绩和作业成绩三部分组成，按百分制计。其中：考试成绩：8080 %（通过

3、期末考试评定）；平时成绩：2020 %（按考勤、练习等评定）。第6页可以通过如下方式联系我 办公室：数学系2503室；电话2503；手机：136-5177-4336；Email：；助教: 李瑞 132-2803-4184 (中院309)张正强 188-1755-4480 (中院409)第7页材料获得ftp:/账号: majun904密码: public课件, 考古题, 部分习题解答参考书线性代数试题分析与解答第8页第一章 行列式第9页解二元一次方程组34223 ) 1 (2121xxxx146223 )2(2121xxxx方程组(1)有唯一解(x1=0.2,x2=0

4、.7)方程组(2)没有解看到这样两个现象，从科学或者数学的的角度出发可以提出什么问题？第10页解二元一次方程组34223 ) 1 (2121xxxx146223 )2(2121xxxx什么情况下这样的线性方程无解、有唯一解、有无穷多的解？如果线性方程组有唯一解，有没有一个统一的方法，求出这个唯一解？如果线性方程组有无穷多组解，有没有办法把这无穷多组解表示出来？第11页解二元一次方程组342232121xxxx第12页解二元一次方程组342232121xxxx341223第13页解二元一次方程组342232121xxxx341223第14页解二元一次方程组342232121xxxx3412233

5、4710212xxx3417100第15页解二元一次方程组342232121xxxx34122334710212xxx341710034107212xxx34110710第16页解二元一次方程组342232121xxxx34122334710212xxx341710034107212xxx3411071010210712xx1020110710第17页解二元一次方程组342232121xxxx34122310210712xx1020110710第18页解二元一次方程组342232121xxxx34122310210712xx1020110710第19页解二元一次方程组342232121xxxx

6、34122310210712xx102011071012337 32422 124310第20页解二元一次方程组342232121xxxx34122310210712xx102011071012337 32422 124310412343223123第21页解二元一次方程组342232121xxxx34122310210712xx102011071012337 32422 124310412343223123412343223123第22页解二元一次方程组342232121xxxx34122310210712xx102011071012337 32422 1243104123432231234

7、12343223123第23页解二元一次方程组342232121xxxx34122310210712xx102011071012337 32422 124310412343223123412343223123第24页考虑二元一次方程组(2) (1) 2221212111cxbxacxbxa第25页给定 a、b、c、d 四个数，称bcaddcba为一个二阶行列式。二阶行列式 第26页行指标.2112221122211211aaaaaaaaD为方便记二阶行列式 ija列指标第27页二阶行列式的计算对角线法则 11a12a22a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa 2112aa例如131 7

8、( 2) 31327 21a第28页考虑二元一次方程组2221212111cxbxacxbxaDDxDDxDcacaDbcbcDbabaD221122112221112211 , 0 , ,解时，上述方程组有唯一那么当令第29页34223 2121xxxx一次方程组利用二阶行列式解二元第30页34223 2121xxxx一次方程组利用二阶行列式解二元107 ,102 ,. 712333123 , 232424322,. , 01012434123221121DDxDDxDDD方程组唯一解为因此经计算所以原方程组有唯一解由于第31页例例 科学家们科学家们, , 猜测一下由三个方程组成的三元一次方

9、程组求解的情况？猜测一下由三个方程组成的三元一次方程组求解的情况？第32页称312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa为一个三阶行列式。由书中定义计算一下！可用下面的对角线法则记忆332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa三阶行列式 第33页称312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaa

10、aaa333231232221131211aaaaaaaaa为一个三阶行列式。333231333231232221232221131211131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式 另一种记忆方式第34页2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式第35页2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式243243122122421421243122421第36页2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式243243122122421421)2()2(2411)3(2)4( 4)2()4()3(12)2(21243122421第37页例例

11、 证明证明322)(11122 babbaababa例例 猜测一下由三个方程组成的三元一次方程猜测一下由三个方程组成的三元一次方程组解的情况？组解的情况？ 如果你是一个科学家如果你是一个科学家, ,你会怎么去定义四你会怎么去定义四阶行列式、五阶行列式阶行列式、五阶行列式? ?第38页312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa中，6项的行下标全为123在三阶行列式 第39页312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaa

12、a333231232221131211aaaaaaaaa中，6项的行下标全为123在三阶行列式 第40页312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa中，6项的行下标全为123，而列下标分别为在三阶行列式 第41页312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa中，6项的行下标全为123，而列下标分别为在三阶行列式 第42页3122133321123223113221

13、13312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa中，6项的行下标全为123，而列下标分别为在三阶行列式 123，231，312 此三项均为正号132，213，321 此三项均为负号 为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。第43页定义 由1，2， ，n 组成的有序数组称为一个n级 排列。记为 j1 j2 jn. 例如 32541 是一个5级排，83251467是一个8级排列3级排列的全体分别为123，231，312，132，213，321n级排列的种数为! 321) 1(nnn排列及逆序数 由n个不

14、同的元素按一定顺序排成一行，称为这个不同的元素按一定顺序排成一行，称为这n个元素的一个排列个元素的一个排列第44页定义 在在一个排列 中，若数 则称这两个数组成此排列的一个逆序； 否则否则称这两个数组成此排列的称这两个数组成此排列的一个顺序。一个顺序。stiiii inst ,21stii 例如 排列 32514 中 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序(或标准排列)。排列的逆序数排列的逆序数 3 2 5 1 4逆序逆序逆序3 2 5 1 4顺序顺序顺序第45页 一个排列 j1 j2 jn 中逆序的个数与顺序的个数之和等于 定义 一个排列 j1 j2

15、jn 中所有逆序的总数称为此排 列的逆序数。记为 （ j1 j2 jn ）例如 排列 32514 中3 2 5 1 42) 1( nn第46页 一个排列 j1 j2 jn 中逆序的个数与顺序的个数之和等于 定义 一个排列 j1 j2 jn 中所有逆序的总数称为此排 列的逆序数。记为 （ j1 j2 jn ）例如 排列 32514 中3 2 5 1 42) 1( nn1第47页 一个排列 j1 j2 jn 中逆序的个数与顺序的个数之和等于 定义 一个排列 j1 j2 jn 中所有逆序的总数称为此排 列的逆序数。记为 （ j1 j2 jn ）例如 排列 32514 中3 2 5 1 432) 1(

16、 nn1第48页 一个排列 j1 j2 jn 中逆序的个数与顺序的个数之和等于 定义 一个排列 j1 j2 jn 中所有逆序的总数称为此排 列的逆序数。记为 （ j1 j2 jn ）例如 排列 32514 中3 2 5 1 432) 1( nn01第49页 一个排列 j1 j2 jn 中逆序的个数与顺序的个数之和等于 定义 一个排列 j1 j2 jn 中所有逆序的总数称为此排 列的逆序数。记为 （ j1 j2 jn ）例如 排列 32514 中3 2 5 1 4312) 1( nn01第50页 一个排列 j1 j2 jn 中逆序的个数与顺序的个数之和等于 定义 一个排列 j1 j2 jn 中所

17、有逆序的总数称为此排 列的逆序数。记为 （ j1 j2 jn ）例如 排列 32514 中3 2 5 1 431故此排列的逆序数为 ( 32541)=0+1+0+3+1=5.2) 1( nn001第51页)321)2)(1( )12(nnnn，试求第52页逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性 3212)-1)(n-n(n n,123 (2)42351 24351, , 14532 23541 ) 1 (，确定下述排列的奇偶性第53页排列的奇偶性排列的奇偶性 定义定义在排列中，将任意两个元素对

18、调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的操作叫做元素不动，这种作出新排列的操作叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11nmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab第54页定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性推论推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .定理定理2 2 时，n个元素的所有排

19、列中，奇排列和偶排列的个数相等，各为 2n2! n第55页三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有三阶行列式共有 6 项，即项，即 项项!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积n阶行列式的定义 第56页三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213

20、aaaaaaaaa n阶行列式的定义 中，6项的行下标全为123，而列下标分别为123，231，312 此三项均为正号，此三项均为正号，均均偶排列偶排列132，213，321 此三项均为负号，此三项均为负号，均均奇排列奇排列第57页. ) 1() 1( ) 1() 1( ) 1() 1( ) 1(312213312312322113332112322311332211312213)321(312312)231(322113)312(332112)213(322311)132(332211)123(321)(333231232221131211321321321aaaaaaaaaaaaaaaaa

21、aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaajjjjjjjjj第58页2112221121121221102112)21(2211)12(21)(22211211 ) 1() 1( ) 1() 1( ) 1(212121aaaaaaaaaaaaaaaaaajjjjjj我们有类似地，二阶行列式，第59页nnnnnnjjjnjjjjjjnnnnnnjjjnjjjjjjaaaaaaaaaaaaDaaannn21212121212121)(21222211121121)(2) 1() 1(记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义定义).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa第60页说明说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和,结果是一个数结果是一个数;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积，行列式行数和列数要相等个元素的乘积，行列式行数