D9.7极值与最值

1、 第八章 第七节第七节一、多元函数极值一、多元函数极值 二、多元函数最值二、多元函数最值三、条件极值的求法三、条件极值的求法多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某去心邻域内有

2、xyzxyz高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一

3、阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当证明略 . 时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx096

4、32 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BA

5、CABC高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 例例2.讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 是二者的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值

6、存在存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )依据高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233

7、高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xD为问怎样折法才能使断面面高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsi

8、ncossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 ,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘

9、数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量

10、和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 例例5.要设计一个容量为0V则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 试问 0VzyxyxzyzxS)

11、(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为,340Vxyz思考思考:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等 .高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 解：解：0120020323322zyxFyxFyzxFz

12、yxFzyx.691224623maxu则例例6. 将正数12分成三个正数 x, y, z 之和, 使得为最大.)12(),(23zyxzyxzyxF令zyxu23解得唯一驻点 (6,4,2), 故最大值为高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 解：解：设 为椭球面上一点,过该点的切平面为),(000zyxP)(020 xxax)(020yyby0)(020 zzcz1202020czzbyyaxx化简得该切平面在三个轴上的截距各为,02xax ,02yby 02zcz 例例7.在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面,使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标

13、.高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 所围四面体的体积000222661zyxcbaxyzV,lnlnln000zyxuF000lnlnlnzyx) 1(220220220czbyax令0, 0, 0, 0000FFFFzyx由高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 可得即01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx30ax 30by 30cz )3,3,3(cba当切点坐标为 时，四面体的体积最小 .23minabcV高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件

14、在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F高等数学高等数学目录

15、 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习思考与练习 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则 ACABS2110321yx高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS点击图中任意点动画开始或暂停高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P118 3; 4; 6; 10; 11.高等数学高等数学目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx设拉