D7.5常系数方程

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.5 常系数线性微分方程常系数线性微分方程一一 常系数线性齐次方程常系数线性齐次方程二二 常系数线性非齐次方程常系数线性非齐次方程三三 Euler方程方程二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程特征方程,( r 为待定常数 ),所以令的解为 其根称为特征根特征根.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一一 常系数线性齐次方程常系数线性齐次方程0yp yq y(p,q为常数）因为r为常数时， 函数rxerxye2()0rxrprq e20rprq常系数方程:20rprq特征方程:1. 当时, 两个线性无关的解:0yp y

2、q y240pq12,r ,rrxe是是的解当且仅当的解当且仅当r是特征方程是特征方程的解。的解。故有两个相异实根11,r xye22,r xye因此方程的通解为1212r xr xyC eC e2. 当240pq时, 有两个相同实根12,rr方程有方程有解:11.r xye设另一解为12( ),r xyu x e代入方程得:12111(2)()0r xeurur up uruqu即2111(2)()0urp urprq u注意到1r是特征方程的重根，故有0,u 取 u = x , 则得12,r xyxe故的通解为1111212()r xr xr xyC eC xeCC x e常系数方程:20

3、rprq特征方程:0yp yq yrxe是是的解当且仅当的解当且仅当r是特征方程是特征方程的解。的解。故3. 当时, 240pq有一对共轭复根12,riri这时有两个复数解:()1ixye(cossin)xexix()2ixye(cossin)xexix故11122()yyycos,xex12122()iyyysinxex是的无关解:因此的通解为12cossinxxyC exC ex12(cossin)xeCxCx小结小结:特征根:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 0yp yq y(p,q为常数）20rprq特征方程:12,r

4、r12rr122prr 1 2 ,ri1212r xr xyC eC e1112r xr xyC eC x e12cossinxxyC exC ex若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r , 则有解则其通解中必含特征方程特征方程: 推广推广:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )(1)110nnnnya yaya yka( 为常数）1110nnnnra rara,r xe,r xxe1,kr xxe则其通解中必含112()kr xkCC xC xe,ri则有解cos,xexsin,xexcos,xxexsin,xxex1cos,kxxex1sin,kxxex112()cosx

5、kkeCC xC xx112()sinkkDD xD xx其中 均为任意常数(,)iiC Drxe是是的解当且仅当的解当且仅当r是特征方程是特征方程的解。的解。故例例1的通解.特征方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 230yyy求方程2230,rr 121,3,rr 312xxyC eC e解解: 特征根:因此原方程的通解为例例2 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C22C于是所求初值问题的解为(42 )tst e例例30yyy的通解.解解: 特征方程特征

6、根为共轭复根:121313,2222ri ri 因此原方程的通解为求方程21 0,rr 例例4 390yy求方程的通解.221233cossin22xxyC exC ex机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 2390,r 特征方程特征根为:123 ,3,rr 因此原方程的通解为3312xxyC eC e注:不要特征方程写成2390rr例例5的通解. 特征方程例例6推广 目录 上页 下页 返回 结束 求方程(4)250yyy解解: 432250,rrr特征根:123, 40,1 2rrri 因此原方程通解为1234cos2sin2xxyCC xC exC ex求方程(5)(4)0yy的通解

7、. 解解: 特征方程:540,rr特征根 :123450,1rrrrr原方程通解:2312345xyCC xC xC xC e例例7. 特征方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解.444d0 (0)dwwx求方程解解: 44r22222()20,rr即2222(2)(2)0rrrr其根为1, 2(1),2ri3, 4(1)2ri 方程通解 :w 2cos2xex2sin2xex2C1C2cos2xex2sin2xex3C4C例例8特征方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4)20yyy的通解. 求方程42210rr 解解: 即22(1)0r 则1,ri2ri 是2重共轭复根，故

8、则方程通解 :y cosxsin xcosxxsinxx1C2C3C4C1234()cos()sinCC xxCC xx例例9为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .根据给定的特解知特征方程有根 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 1234,2,cos2 ,3sin2xxyeyxeyx yx求一个以解解: 121,rr3,42ri 因此特征方程为22(1) (4)0rr即43225840rrrr故所求方程为(4)25840yyyyy其通解为1234()cos2sin2xyCC x eCxCx思考与练习思考与练习 求方程的通解 .答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaC

9、xaCysincos21:0a通解为xaxaeCeCy21第九节 目录 上页 下页 返回 结束 0ya y机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二 常系数线性非齐次方程常系数线性非齐次方程),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解接下来是求非齐次方程特解，前面介绍过常系数变易法，常系数变易法，今介绍降阶法降阶法。( )ypyqyf x（一（一 ） 降阶法降阶法机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )ypyqyf x二阶常系数线性非齐次微分方程 :20rprq有两个根设为特征方程令代入（*）得（*）（*）两端乘以得12,r

10、 ,r1zyr y2( )zr zf x2r xe2222( )r xr xr xz er zef x e得22( )r xr xzef x e设y是（*）的一个解机动 目录 上页 下页 返回 结束 得令 ( )ypyqyf x即（*）两端乘以可得（*）可得即22( )r xr xzef x e22( )dxr xr tazef t et22( )dxr xr tazef t et221( )dxr xr tayr yef t et1r xe2112( )dxrr xr xr tayeef t et2112( )d dxurr ur xr taayeef t etu2112( )d dxurr

11、 ur xr taayeef t etu1zyr y ( )ypyqyf x二阶常系数线性非齐次微分方程 :20rprq有两个根设为特征方程有特解当时， 用分部积分得当时， 用分部积分得12,r ,r2112( )d dxurr ur xr taayeef t etu12rr2211211( )d( )dxxr xr tr xrtaayef t etef t etrr122prr 22( )dppxxtayext f t et上面求解出的公式使用不方便 根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以（二（二 ） 待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束

12、确定待定系数 .待定系数法待定系数法( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx接下来给出*y给出特解( )( )xmf xeP x 表示k 次多项式 .( )kP x为实数 , , 1设特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )xmypyqyeP x*( ),xyQ x e其中 为待定多项式 ,则 )(xQ*( )( )xyeQ xQ x2*( )2( )( )xyeQ xQ xQx代入原方程 ,化简 得 2( )(2)( )()( )( )mQxp Q xpq Q xP x(1) 若 不是特征方程的根,即 20,pq则( )Q x应为m 次多项式，故*y可设为*y 0

13、1mmaa xa xxe1设特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )xmypyqyeP x*( ),xyQ x e代入原方程 ,化简 得 2( )(2)( )()( )( )mQxp Q xpq Q xP x(2) 若 是特征方程的单根 ,即 20,pq20p则代入原方程 ,化简 得 ( )(2)( )( )mQxp Q xP x故( )Q x应为m+1 次多项式，故*y可设为*y 01xmmaea xa xx(3) 若 是特征方程的重根 ,即 20,pq20p则代入原方程 ,化简 得 ( )( )mQxP x故( )Q x应为m+2 次多项式，故*y可设为*y 01xmmaea xa

14、 x2x1设特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )xmypyqyeP x*( ),xyQ x e代入原方程 ,化简 得 2( )(2)( )()( )( )mQxp Q xpq Q xP x(1) 若 不是特征方程的根 , *y可设为01*mxmyaa xea x(3) 若 是特征方程的重根 , *y可设为*y 021xmmaa xxa xe(2) 若 是特征方程的单根 , *y可设为01*mxmyx aa xxea若当 是特征方程可设非齐次方程有特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )(1)11( )nnnxmnya yaya yP x e1110nnnnra rara一般地

15、的 k 重根重根 时,*y 01mxmaa xa xekx注注 若 不是特征方程的根时0.k 注注可设特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )xypyqyeH x*( ),xyQ x e代入原方程 ,化简 得 2( )(2)( )()( )( )Qxp Q xpq Q xH x特别地(A) 若 方程的是特征方程单单根则为 ( )(2)( )( )Qxp Q xH x( )( )QxH x(B) 若 方程的是特征方程重重根则为 这里( )H x可以任何连续函数例例10的一个特解.解解: 特征方程为不是特征方程的根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 本题2331yyyx求方程2230,

16、rr其根为121,3.rr 0故可设所求特解为*y 01aa x代入方程 :01010131aa xaa xaa xx2 02 202 03 即10133231a xaax比较系数, 得133a01321aa得011,13aa 于是所求特解为1*3yx的通解. 解解: 特征方程为本题为单根，例例11256xyyyxe求方程2560,rr其根为122,3.rr对应齐次方程的通解为2312.xxYC eC e故可设非齐次方程特解为2*xye01()a xa x2x代入方程得0101()()a xa xa xa xx2 25 即10122a xaax比较系数, 得121a0120aa得0111,2a

17、a 因此特解为122*(1).xyxxe所求通解为2312xxyC eC e1222().xxx e机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12的通解. 解解:特征方程为2210,rr 其根为求2(32)xyyyxe121,rr对应齐次方程的通解为12xxYC eC xe故可设非齐次方程特解为*y xe01()aa x1是特征方程的二重根，本题2x代入方程得201()32,xaax即106232a xax比较系数, 得163a 022a 得0111,.2aa 因此特解为122*(1).xyxxe所求通解为12122(1).xxxyC eC xexxe例例13的通解. 解解: 方程特征方程为25

18、60,rr其根为求2562xxyyyxee256xyyyxe122,3.rr对应齐次方程的通解为2312xxYC eC e求(*)方程的一个特解,先求可转为求(1) 与562xyyye(2) 特解。设(1)的特解1y2xe01()aa x机动 目录 上页 下页 返回 结束 x得22112xyxx e 设(2)的特解2yxec得21*6xye故原方程通解为2312xxYC eC e2212xxx e16xe例例14 求解定解问题解解:特征方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 321 (0)(0)(0)0yyyyyy32320,rrr其根为1230,1,2rrr 故对应齐次方程通解为2123x

19、xYCC eC e设非齐次方程特解为*y a, x代入方程得1.2a 原方程通解为121232xxYCC eC ex由初始条件得12312322302,40CCCCCCC 得41 143321CCC于是所求解为21( 324)4xxyxee 注对于方程ypyqyA若0,qAyq则若0,0,qpAyxp则0,0,qp若则212yAx机动 目录 上页 下页 返回 结束 (p,q为常数）( )cos( )sinxlnypyqyeP xxP xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2把(*)转化为( ),xmypyqyeP x注意到cossincossinixixexixexix ,则cos2sin

20、2ixixixixeexeexi (*)即( )( )22ixixixixxlneeeeypyqyeP xP xi ( )( )22x ixx ixx ixx ixlneeeeypyqyP xP xi( )( )( )( )2222x ixx ixlnlnP xP xP xP xypyqyeeii机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )cos( )sinxlnypyqyeP xxP xx ( )( )( )( )2222x ixx ixlnlnP xP xP xP xypyqyeeii（*）即为令 max,ml n 则( )( )22lnP xP xi 是一个m次多项式，( ),mHx记为则

21、（*）方程即为( )( )x ixx ixmmypyqyHx eHx e求（*）的特解就求( )x ixmypyqyHx e ( )x ixmypyqyHx e （1）（2）（1）（2）的特解。机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )cos( )sinxlnypyqyeP xxP xx （*）令 max,ml n 则( )( )22lnP xP xi 是一个m次多项式，( ),mHx记为求（*）的特解就求( )x ixmypyqyHx e ( )x ixmypyqyHx e （1）（2）设i 是特征方程k重根,则可设20rprq的（1）的特解为1y x ixe ( )mQxkx其中( )mQ

22、x是一个m次多项式则（2）的特解为2y 1y ( )kx ixmx Qx e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )cos( )sinxlnypyqyeP xxP xx （*）令 max,ml n 求（*）的特解就求( )x ixmypyqyHx e ( )x ixmypyqyHx e （1）（2）设i 是特征方程k重根,则可设20rprq的（1）的特解为1y ( )kx ixmx Qx e（2）的特解为2y 1y ( )kx ixmx Qx e 故（*）有特解12yy ( ) cossin( ) cossinkxmmx eQ xx ixQ xx ix 12( )cos( )sinkxmm

23、x eRxxRxx 其中(1)(2)( ),( )mmRxRx是m次多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )cos( )sinxlnypyqyeP xxP xx （*）令 max,ml n 则（*）有的特解y 12( )cos( )sinkxmmx eRxxRxx 其中(1)(2)( ),( )mmRxRx是m次多项式。设i 是特征方程k重根,20rprq的机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )cos( )sinxlnypyqyeP xxP xx 方程可设特解为y 其中是m次多项式。i 是特征方程k重根。kx20rprq的结论结论当 cossinxexx 1( )mRx 2( )m

24、Rx max,ml n 12( ),( )mmRxRx例例15的通解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 特征方程为故齐次通解为918cos330sin3yyxx 求通解290,r 3 .ri 12cos3sin3yCxCx本题中3i是特征方程的单根,y x cos3sin3xx ab代入原方程解得5,3ab故原方程通解为12cos3sin3(5cos33sin3 )yCxCxxxx例例16的特解解解: 特征方程为cos2yyxx求方程210,r 12,.ri ri 特征值本题中2 , i机动 目录 上页 下页 返回 结束 不是特征方程的根, 故设特解为*y ()axbcos2sin2

25、xx()cxd代入方程得( 334 )cos2(334 )sin2cos2a xbcxcxdaxxx比较系数 , 得13 a043cb03 c043ad1439,0adbc于是求得一个特解14cos2sin239yxxx (1) 特征方程设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例17(4)2sinyyyx(4)3sinxyyxex(1)(2)42210,rr 解解: 即22(1)0,r 故有二重共轭复根,ri 此题, i故可设特解为*y 2xcossinxxab(2) 特征方程420,rr即22(1)0rr 有根1,23,40,rri 利用叠加原理 ,

26、可设非齐次方程特解为*y 2x ()axbxe c(cossin )xxxde求物体的运动规律. 解解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 tphxktxsindd222 当p k 时, 齐次通解: tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齐次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解为,sin的作用ptHF xox代入可得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例18 若设物体只受弹性恢复力 f和铅直干扰力当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,)(sintkAxtppkhsin22自由振动强迫振动!22将很大振幅pkh 当 p = k 时, )coss

27、in(tkbtkatx非齐次特解形式:代入可得: khba2, 0方程的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 )(sintkAxtktkhcos2随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅tkh2这时产生共振现象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .自由振动强迫振动xox对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )cosxnypyqyeP xx2机动

28、目录 上页 下页 返回 结束 ( )sinxnypyqyeP xx或解方程法二法二()( )ixnypyqyP x e可以1的待定系数法出其一个特解记为( ).Qx由于i是复数, 故特解应复函数,将其记为( )( )( )QxR xiI x（*）由欧拉公式（*）为方程( )cos( )sinxxnnypyqye P xx ie P xx故( )yR x是( )cosxnypyqye P xx的一个特解( )yI x是( )sinxnypyqye P xx的一个特解结论:()( )( )ixnypyqyP x e求解( )cosxnypyqyeP xx或( )sinxnypyqyeP xx(1)

29、 首先构造复方程(2) 利用待定系数法解出复方程(*)一个复特解( )( )( )QxR xiI x(3)则复特解的实部( )R x和虚部( )I x分别是,( )sinxnypyqyeP xx( )cosxnypyqyeP xx一个特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例19一个特解.解解:特征方程为210r 121,1rr 特征值故原方程的一个特解求sin2xyyex1,2,( )1nP x本题中构造方程 (1 2 ) i xyye解(*),12i 不是特征方程的根, 故设(*)特解为(1 2 )*i xyae代入方程(*)得4(1)1ia得111 ,4(1)8aii 故(1 2 )1

30、*18i xyie 即1*cos2sin2cos2sin28xyexxixx 1cos2sin28xyexx 例例16的特解解解: 特征方程为不是特征方程的根,故(*)有特解cos2yyxx求方程210,r 12,.ri ri 特征值本题中0,2,( )nP xx构造方程 2xiyyxe解(*),2i故设(*)特解为2*()xiya xb e代入方程(*)得14,39abi 214*()39ixyxi e 1414cos2sin2sin2cos23939xxxixxx 故原方程的一个特解是14cos2sin239yxxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习时可设特解为 x

31、y *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2时可设特解为 xdcxsin)(1 . (填空) 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )yyf x1）当( )cosf xxx2）当2( )cos2xf xxxe2. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xexCCY221)(2时,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xexCCy221)(xe2)2(12时,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xexCCy221)(xex221机动 目录 上页 下页 返

32、回 结束 3. 已知二阶常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xeyy2 对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeCy21xex机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 形如形如 kp,tex 令常系数线性微分方程xtln即三三 Euler方程方程方程称为Euler方程，方程，其中为常数。( )1(1)11( )nnnnnnx yp xypxyp yf x欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )1(1)11( )nnnnnnx yp xypxyp yf x,txe令则ln ,txddyxddddyttx1 ddyxtddyxyt 22ddyxd1 dd()dddytt