章被控对象的数学模型

1、1 第二章第二章 被控对象的数学模型被控对象的数学模型第一节第一节 数学模型的概念数学模型的概念1数学模型数学模型 用数用数数学模型数学模型学的方法来描述控制系统学的方法来描述控制系统输输出量与输入量之间的关系出量与输入量之间的关系，这种系统特性的数学描述就称为系统的数学模型数学模型。由于在过渡过程中，系统的输出即被控变量被控变量随时间而变化，因而在描述系统特性的数学模型中不仅会出现这些变量本身变量本身，而且也包含这些变量的各阶导变量的各阶导数数，所以，系统特性方程式多为微分方程式，它是表示系统数学模型最基本的形式。22 2建立数学模型的意义建立数学模型的意义 在研究与分析一个控制系统时，不仅

2、要定性地了解系统的工作原理及特性，而且还要定量地描述系统的动态性能。通过定量的分析与研究，找到内部内部结构及参数结构及参数与与系统性能系统性能之间的之间的关系关系，即数学模型，从而编制控制程序； 另外，在系统不能按照预先期望的规律运行时，便可通过对模型的分析，适当地改变其结构和参数，使其满足期望性能的要求。当然，在设计一个系统的过程中，对于给定的被控对象及控制任务，也可以借助数学模型来检验设计思想，以构成完整的系统。这些都离不开数学模型。 33 3建立数学模型的一般原则建立数学模型的一般原则 实际的控制系统是比较复杂的，因为组成系统的各个环节有非线性非线性和时变性时变性的特点，各个环节之间具有

3、关联性，除此之外还有很多其他的内外因素。因此，系统的数学模型是变系数的非线变系数的非线性偏微分方程性偏微分方程，求解这些方程是非常困难的，有时甚至是不可能的。 因而，为了便于问题的分析，需要对实际模型做简化处理，如将时变参数定常化定常化，将非线性参数线性化线性化，使分布参数集中集中等。简化后的模型通常是一个线性微分方程式线性微分方程式。求解线性常微分方线性常微分方程程比求解变系数非线性的偏微分方程变系数非线性的偏微分方程要容易得多。 分析系统时，结果的准确程度完全取决于数学模型对给定实际系统的近似程度近似程度。如果简化后的数学模型与实际的模型出入很大，那么控制系统也就失去了它应有的控制作用。但

4、这决不意味但这决不意味着数学模型越复杂越好着数学模型越复杂越好，一个合理的数学模型的建立，应该在模型的准确性和简化性之间准确性和简化性之间进行折中。既不能过分强调准确性而使既不能过分强调准确性而使系统过于复杂，也不能片面追求简化性而使分析结果与实际出入系统过于复杂，也不能片面追求简化性而使分析结果与实际出入过大。过大。这是在建立系统数学模型的过程中要特别注意的问题。 4第二节、数学模型的类型第二节、数学模型的类型 数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量模型；另一类是参量模型。1 1非参量模型非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等曲线或数据表格等来表示时，就称为非参量模型（如下页图）

5、。非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的特点是形象清晰，比较容易看出其定性的定性的特征。但是，由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直接利用它来进行系统的分析和设计往往比较困难。 由于系统的数学模型描述的是系统在受到控制作用或干扰作用后被控变量的变化规律变化规律，因此系统的非参量模型可以用系统在一定形式的输入作用下的输出曲线或数据来表示。根据输入形式的不同，主要有阶跃响应曲阶跃响应曲线线、脉冲响应曲线脉冲响应曲线、矩形脉冲响应曲线矩形脉冲响应曲线等。62 2参量模型参量模型 当数学模型是采用数学方程式数学方程式来描述时，称为参量模型。参量模型可以用描述系统输出和输入间

6、关系的微分方程式微分方程式、差分方程差分方程、状态方状态方程程等形式来表示。 注：微分方程与差分方程简介注：微分方程与差分方程简介 我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分）导数（或微分）或差分（即增量）差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程微分方程或差分方程差分方程.7 在允许的范围内，多数系统动态特性多数系统动态特性可以忽略输入量的导数项，因此可表示为：)(x)(y)(y)()(01) 1(1)(ttatatyatyannnn 例如，一个对象如果

7、可以用一个一阶微分方程式来描述其特性(通常称一阶对象一阶对象)，则可表示为：式中 及 分别为与系统结构和参数有关的常系数常系数。011,aaaann011,bbbbmm)()(x)(x)(x)(y)(y)(y)(y01)1(1)(01)1(1)(txbtbtbtbtatatatammmmnnnn 对于线性的连续控制系统，通常可用常系数线性微分方程式来描述，如以x(t)表示输入量输入量，y(t)表示输输出量出量，则系统特性可用下列微分方程式来描述：8 以上方程式中的系数 和 以及T、K 等都可以认为是相应的参量模型中的参量，它们与系统的特性有关，一般需要通过系统的内部机理分析或大一般需要通过系统

8、的内部机理分析或大量的实验数据处理才能得到量的实验数据处理才能得到。011,aaaann011,bbbbmm或表示成)(x)(y)(ytKttT(方程两边同除以a0)式中01aaT 01aK )(x)(y)(y01ttata9 第三节、第三节、 数学模型的建立数学模型的建立 建立以微分方程式表示的数学模型时，一般可按如下步骤进行。 （1)根据系统和各元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其确定其输入量输入量和和输出量输出量。 （2)根据元件工作时所遵循的物理或化学定律，列出其相应的原始方程式列出其相应的原始方程式。在条件许可下可适当简化，忽略一些次要因素。这里所说的物理或化学定律，不外乎牛

9、顿定律牛顿定律、能量守恒定律能量守恒定律、物质守恒定律物质守恒定律、基尔霍夫定律基尔霍夫定律等等。10 （3)列出原始方程式的中间变量与其它因素中间变量与其它因素的关系式。的关系式。 (4)将上述关系式代入原始方程式，消去中消去中间变量间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程便是系统或元件在时域的数学模型。 一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项与输入量有关的项写在方程的写在方程的右端右端，与输出量有关的项与输出量有关的项写在方程的写在方程的左端左端，方程两，方程两端变量的导数项均按降幂排列。端变量的导数项均按降幂排列。 下面举例作进一步说明：下面举例作进一步说明： 贮槽

10、液位控制系统贮槽液位控制系统: : 如右图所示的系统，液体经过阀门1不断地流入贮槽，贮槽内的水又通过阀门2不断流出。 工艺上要求贮槽的液位保持一定的高度。在这里，贮槽就是被控对象被控对象，液位就是被控变量被控变量。设阀门2的开开度度保持不变，阀门1的开度变化是引起液位h变化的扰动作用，对象的输入量输入量是流入贮槽的流量Qi，对象的输出输出量量是液位h。下面来看当阀门1的开度变化时，液位h是如何随着Qi变化的，也就是分析建立表征建立表征h 和和Qi之间关之间关系的数学模型系的数学模型。12 由题意可知，贮槽对象蓄储量的变化率蓄储量的变化率为单位时间为单位时间流入对象的物料量减去单位时间流出对象的

11、物料量流入对象的物料量减去单位时间流出对象的物料量。设贮槽横截面积为A，当流入贮槽的流量Qi等于流出贮槽的流量Q0时，对象处于平衡状态，对象的输出量液位h保持不变。 假定在很短的一段时间dt内，由于Qi发生了变化，不再等于Q0，因而引起液位变化了，此时，流入与流出贮槽的水量之差(Qi一一Q0)dt应该等于贮槽内增加或减少的水量Adh，即 ( (关键的一步关键的一步) ) 上式就是用微分方程式表征贮槽对象特性的数学上式就是用微分方程式表征贮槽对象特性的数学模型模型。AdhdtQQoi13 在上式中，还不能一目了然地看出h和Qi之间的关系。因为在贮槽出水阀因为在贮槽出水阀2开度不变的情况下开度不变

12、的情况下，随着，随着h的变化，的变化，Q0也会变化也会变化(Q0 =f(h)，h越大，越大，静压头越大，静压头越大，Q0也会越大。也会越大。也就是说，在上式中，Qi、Q0、h都是时间的变量，因而还需消去中间变量Q0，得出h只和Qi为变量的关系式。 如果考虑到变化量很微小，可以近似认为可以近似认为Q0与与h成正成正比比，与与阀门阀门2 2的阻力系数的阻力系数Ws成反比成反比（这就是简化这就是简化数学模型很好的例子数学模型很好的例子），用式子表示为： 14AdhdtRhQsi)(issQRhdtdhARsART sRK iKQhdtdhT移项整理后可得:令则可得: 上式就是用来描述简单贮槽液位控制

13、系统特性的上式就是用来描述简单贮槽液位控制系统特性的微分方程式微分方程式。它是一阶常系数微分方程式，式中T 称为时间常数时间常数，K 称为放大系数放大系数。 swhkQ0 式中k为变量转换系数，设Ws=kRs，Rs也称为阻力系数，并将此式代入上式中（ ） 得:AdhdtQQoi15第四节、描述系统特性的参数第四节、描述系统特性的参数 为了研究问题方便起见，在实际工作中，常用下面三个物理量来表示系统的特性。这些物理量，称为对象的特特性参数性参数。 一一、放大系数放大系数K 对于如图14所示的贮槽对象，当流入流量Qi有一定的阶跃变化后，液位h会产生相应的变化，但最后会稳定在某一数值上。将流量Qi的

14、变化量看作系统的输入，液位h的变化量看作系统的输出，则在稳定状态时，系统一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象的静态特性静态特性。设Qi的变化量用 Qi表示，h的变化量用 h表示。在一定的 Qi下， h的变化情况如图21所示。在重新达到稳定状态后，一定的 Qi对应着一定的 h值。令K等于 h与 Qi之比，即16图2-1贮槽液位变化曲线iQhKiQKh或 K的意义也可以这样来理解：如果有一定的输入变化量 Qi，通过系统就被放大了K 倍变为输出变化量 h，则称K K 为系统的放大系数为系统的放大系数。17 K 越大，就表示系统的输入量有一定变化时对输越大，就表示系统的输入量有一定变化时对输

15、出量的影响就越大；也就是被控变量的变化就越灵敏出量的影响就越大；也就是被控变量的变化就越灵敏，这在选择自动控制方案时是必须要考虑的。 二二、时间常数时间常数 T 从大量的生产实践中发现，有的系统受到干扰后，被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的系统在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才能达到新的稳态值。如截面积大的贮槽与截面积小的贮槽相比,当流入量变化相同时，截面积小的贮槽液位变化很快，并迅速趋向新的稳态值，而截面积大的贮槽惰性大，液位变化慢，须经过较长时间才能稳定。如何定量如何定量地表示系统的这种特性呢地表示系统的这种特性呢? ?在控制系统中用在控制系统中用时间常数时间常数T

16、 来来表示表示。时间常数越大，表示系统受到干扰作用后，被控时间常数越大，表示系统受到干扰作用后，被控变量变化得越慢，到达新的稳定值所需的时间越长变量变化得越慢，到达新的稳定值所需的时间越长。 18)1 ()(TteKAth 现设Qi为阶跃作用，t0时Qi0；t0时QiA，如图22(a)所示。为了求得在Qi作用下h的变化规律，可以对上式微分方程求解微分方程求解(找出分离变量；两端积分，求解)，得: iKQhdtdhT 上式就是系统在受到阶跃作用QiA后，被控变量h随时间变化的规律，称为被控变量过渡过程的被控变量过渡过程的函数表函数表达式达式。根据上式可画出ht曲线，称为阶跃响应曲线阶跃响应曲线或

17、飞升曲线飞升曲线，如图22(b)所示。 为了进一步理解放大系数放大系数K与时间常数与时间常数T 的物理意义的物理意义:下面结合图14所示的贮槽例子，来进一步加以说明。由前面的推导可知，贮槽液位控制系统特性表达式为:19 图22 反应曲线20 从图22响应曲线可以看出，系统受到阶跃作用后，被控变量就发生变化，当t时，被控变量不再变化而达到了新的稳态值h()，这时由式 KAh)(AhK)()1 ()(TteKAth可得：或 由此可见，放大系数放大系数K 是描述系统静态性是描述系统静态性能的参数能的参数。对于贮槽液位系统，K只与出液阀的阻力有关，当阀的开度一定时，K就是一个常数。21下面来看时间常数

18、时间常数T T 的物理意义的物理意义: :将tT代入 式 ，就可以求得：KAeKATh632.0)1()(1)(632.0)(hTh)1()(TteKAth将式AhK)(代入上式得： 这就是说，当系统受到阶跃输入后，被控变量达到当系统受到阶跃输入后，被控变量达到新的稳态值的新的稳态值的63.2所需的时间就是时间常数所需的时间就是时间常数T，实际工作中，常用这种方法求取时间常数。显然，时间常数时间常数越大，被控变量的变化也越慢，达到新的稳定值所需的越大，被控变量的变化也越慢，达到新的稳定值所需的时间也越大时间也越大。22 在输入作用加入的瞬间，液位液位h的变化速度是多大的变化速度是多大呢呢? ?

19、将式对时间t t求导得：)1 ()(TteKAthTteTKAdtdh 由上式可以看出，在过渡过程中，被控变量变化速度在过渡过程中，被控变量变化速度是越来越慢的是越来越慢的，当t=t=0 0时，有：当t时，由式(A)可得：01eTKAeTKAdtdhTtTheTKAdtdht)(00(A)(B)23 上式(B)所表示的是t=0时液位变化的初始速度，由下图23所示的响应曲线来看： 就等于曲线在起始点时切线的斜率就等于曲线在起始点时切线的斜率，且这条切线在新的稳定值h()上截得的一段时间正好等于T。因此，时间常数时间常数T的物理意义的物理意义可以这样来理可以这样来理解：解：当系统受到阶跃输入作用后

20、，被控变量如果当系统受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变化，达到新的稳态值所需的时间保持初始速度变化，达到新的稳态值所需的时间就是时间常数就是时间常数。可是实际上被控变量的变化速度可是实际上被控变量的变化速度是越来越小的是越来越小的。所以，被控变量变化到新的稳态值所需要的时间，要比T长得多。理论上说，需要无限长的时间才能达到稳态值。 0tdtdh24图2-3 时间常数T的求法25 从式 可以看出，只有当t=时，才有h()=KA。但是当t=3T 时，代人上式便得： 可见，从输入作用开始后，经过3T时间，液位已经变化了全部变化范围的95，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。所以： 时间

21、常数时间常数T 是表示在输入作用下，被控变量是表示在输入作用下，被控变量完成其变化过程所需要时间的一个重要参数完成其变化过程所需要时间的一个重要参数。)(95. 095. 0)1 ()3(3hKAeKAThTteTKAdtdh26 三三、滞后时间滞后时间 前面介绍的贮槽液位系统在受到输入作用后，被控变量会立即开始变化。如图21所示，即这是一阶对象一阶对象在阶跃输入作用下的响应曲线。这种对象用时间常数T T 和放大系数K K 两个参数就可以完全描述了它们的特性。但是有的对象，在受到输入作用后，被控变量却是滞后一定的时间才发生变化，这种现象称为滞后现象。根据滞后性质的不同，可分为两类，即 传递滞后

22、传递滞后和容量滞后容量滞后。 1 1传递滞后传递滞后 传递滞后又叫纯滞后纯滞后，一般用 表示。 纯滞后纯滞后的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。例如下图24(a)所示的溶解槽，料斗中的固体物料用带式输送机送至加料口。在料斗加大送料量后，固体溶质需等输送机将其送到加料口并落入槽内后，才会影响溶液浓度。当以料斗的以料斗的加料量加料量作为系统的作为系统的输入输入，以以溶液浓度溶液浓度作为作为输出输出时时，其响应曲线如图24(b)所示。图中所示的 为带式输送机将固体溶质由加料斗输送到溶解槽所需要的时间，称为纯滞后时间纯滞后时间 。 显然，纯滞后时间 与带式输送机的输送速度和输送距离L有如下

23、关系：000vL00v28图2-4 溶解槽及其响应曲线输入输出29图2-5 有和没有纯滞后的一阶阶跃响应曲线 下面我们来看有有和和没有没有纯滞后的2个一阶阶跃响应曲线的区别。 如下图25所示为有有和没有没有纯滞后的二阶阶跃响应曲线。x为输入量，y(t)为无纯滞后时的输出量，y(t)为有纯滞后时的输出量。 比较两条响应曲线，它们除了在时间轴上前后相差一个的时间外，其他形状完全相同。也就是说纯滞后对象的特性是当输入量发生变化时，其输出量不是立即响应输入量的变化，而是要经过一段纯滞后时间以后，才开始等量地反映原没有滞后时的等量地反映原没有滞后时的输出量的变化输出量的变化 。30表示成数学关系式为 :

24、 00)(y0)(y)(yttttt 因此对于有有和无无纯滞后特性的系统,其数学模型具有类似的形式。如果上述例子中被控对象都是一阶对象，而且它们的时间常数和放大系数亦相等，仅在自变量t上相差一个T 的时间，那么，若无纯滞后的系统特性可以用下述方程式描述的话：tttt0)(y)(y则有纯滞后的特性可以用下述方程式描述：)(x)(y)(ytKtdttdT)(x)(y)(ytKtdttdT31 2容量滞后容量滞后 容量滞后也叫过渡滞后过渡滞后。即系统在受到阶跃输入作用后，被控变量开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢又变慢直至逐渐接近稳定值，其响应曲线如图26所示。图图2-6 2-6 具有容量滞后具有容量滞后系统的响应曲线系统的响应曲线 容量滞后容量滞后一般是由于一般是由于物料或物料或能量能量的传递需要的传递需要通通过一定阻力过一定阻力而引起的，一而引起的，一般出现在二阶系统般出现