对偶问题和运输问题

1、原问题与对偶问题的关系原问题(或对偶问题)对偶问题(或原问题)目标函数 max z n 个 变 =0 量 = 束 = 条 = 件 约 m个 束 = 约束条件右端项目标函数变量的系数 m 个 =0 变 =5 2x1 +2x3-x4=4 x2+x3+x4 =6 x1=0 x4无约束 Max z=5y1+4y2+6y3 y1+2y2 =0 y1 +y3=0 -3y1+2y2+y3=0,y2=0, y3无约束 3.对偶定理(原问题与对偶问题解的关系）考虑（LP）和（DP） 定理3-1 (弱对偶定理） 若 x, y 分别为（LP) 和（DP）的可行解，那么cTx bTy。 推论 若（LP）可行，那么（L

2、P）无有限最优解的充分必要条件是（LD）无可行解。1.1.线性规划对偶问题线性规划对偶问题 定理3-2 (最优性准则定理) 若x,y分别(LP),(DP)的可行解,且cTx=bTy ，那么x,y分别为(LP)和(DP)的最优解。 定理3-3 (主对偶定理) 若(LP)和(DP)均可行 那么(LP)和(DP)均有最优解,且最优值相等。 以上定理、推论对任意形式的相应性规划的对偶均有效1.1.线性规划对偶问题线性规划对偶问题4、原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系min z=CTXs.t. AX-XS=b X, XS0max y=bTWs.t. ATW+WS=C W, WS0min z=CT

3、Xs.t. AXb X 0max y=bTWs.t. ATWC W0对偶引进松弛变量引进松弛变量XTWS=0 WTXS=0互补松弛关系X，XsW，Ws五、对偶的经济解释1、原始问题是利润最大化的生产计划问题0 xxxxxxbxxaxaxabxxaxaxabxxaxaxa. t . sxcxcxczmaxmn2n1nn21mmnnmn22m11m22nnn222212111nnn1212111222211单位产品的利润（元/件）产品产量（件）总利润（元）资源限量（吨）单位产品消耗的资源（吨/件）剩余的资源（吨）消耗的资源（吨）2、对偶问题0wwwwwwcwwawawacwwawawacwwawa

4、wa. t . swbwbwbyminnm2m1mm21nnmmmn2n21n122mm2m22211211mm1m221111mm2211资源限量（吨）资源价格（元/吨）总利润（元）对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、w2、.、wm称为m种资源的影子价格（Shadow Price）原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y3、资源影子价格的性质影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子价格一定等于0种资源的边际利润第种资源的增量第最大利润的增量iibzwiooimmii2211wbw

5、bwbwbyzmmiii2211wbw)bb(wbwbzziiwbz 影子价格的经济含义 (1)影子价格是对现有资源实现最大效益时的一种估价 企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或出租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租该设备，否则不宜出租。第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。1.1.线性规划对偶问题线性规划对偶问题 需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格发生变化。另外，影子价格的经济含义（2），是指资源在一定范围内增加时的情况，

6、当某种资源的增加超过了这个“一定的范围”时，总利润的增加量则不是按照影子价格给出的数值线性地增加。这个问题还将在灵敏度分析一节中讨论。1.1.线性规划对偶问题线性规划对偶问题 5.由最优单纯形表求对偶问题最优解 标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 + x3 = 300 2x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 01.1.线性规划对偶问题线性规划对偶问题max z=CTXs.t. AX+XS=b X, XS0max y=bTWs.t. ATW-WS=C W, WS0max z=CTXs

7、.t. AX b X 0min y=bTWs.t. ATW C W 0单纯形表和对偶对偶问题原始问题引进松弛变量引进松弛变量zXXSRHS1WSTWTCBTB-1b0B-1AB-1B-1bzXXSRHS1-CT0T00AIbmax z=CTXs.t. AX+XS=b X, XS0min y=bTWs.t. ATW-WS=C W, WS0WT=CBTB-1WST=WTA- CT50100000CBXBx1x2x3x4x5i0 x3300111003000 x4400210104000 x52500(1)001250-z050100*0000 x350(1)010-1500 x41502001-1

8、75100 x225001001-z-2500050*000-10050 x1501010-10 x45000-211100 x225001001-z-2750000-500-50-c-cB BT TB B-1-1I IB B=(p p1 1, p, p4 4,p,p2 2 )oTB B-1-1最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50影子价格影子价格 y y1 1 = 50 = 50 y y2 2 = 0 = 0 y y3 3 = 50 , = 50 , B B-1-1对应的检验数对应的检验数 T T = = c cB BT TB B-1-1 。 1.1.线性规划对偶问题线性规

9、划对偶问题例3.2：求解线性规划问题：求解线性规划问题： 标准化：标准化： Max z = - 2x1 - 3x2 - 4x3 s.t. -x1-2x2-x3+x4= -3 -2x1+x2-3x3+x5= -4 x1,x2,x3,x4,x5 0Min f = 2x1 + 3x2 + 4x3 S.t. x1 + 2x2 + x3 3 2x1 - x2 + x3 4 x1 , x2 , x3 0 2.2.对偶单纯形法对偶单纯形法 对偶单纯形法的基本思想 对偶单纯形法的基本思想是：从原规划的一个基本解基本解出发，此基本解不一定可行，但它对应着一个对偶对偶可行解可行解（检验数非正），所以也可以说是从一

10、个对偶可行解出发；然后检验原规划的基本解是否可行，即是否有负的分量，如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基本解，此基本解对应着另一个对偶可行解（检验数非正）。2.2.对偶单纯形法对偶单纯形法 如果得到的基本解的分量皆非负则该基本解为最优解。也就是说，对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶解的可行性（即检验数非正），使原规划的基本解由不可行逐步变为可行，当同时得到对偶规划与原规划的可行解时，便得到原规划的最优解。2.2.对偶单纯形法对偶单纯形法 对偶单纯形法在什么情况下使用 ： 应用前提：有一个基，其对应的基满足: 单纯形表的检验数行全部非正（对偶可行）； 变量取值可有负数（非可行解）。 注：

11、通过矩阵行变换运算，使所有相应变量取值均为非负数即得到最优单纯形表。2.2.对偶单纯形法对偶单纯形法 1.建立初始对偶单纯形表,对应一个基本解,所有检验数均非正,转2； 2.若b0,则得到最优解,停止;否则,若有bk0则选k行的满足min bk0基变量为出基变量,转3 3.若所有akj0( j = 1,2,n )，则原问题无可行解,停止;否则,若有akj0 则选 =minj / akjakj0=r/akr那么 xr为进基变量,转4； 4.以akr为转轴元,作矩阵行变换使其变为1,该列其他元变为0,转2。 对偶单纯形法求解线性规划问题对偶单纯形法求解线性规划问题过程：过程：2.2.对偶单纯形法对

12、偶单纯形法例3.2：求解线性规划问题：求解线性规划问题： 标准化：标准化： Max z = - 2x1 - 3x2 - 4x3 s.t. -x1-2x2-x3+x4= -3 -2x1+x2-3x3+x5= -4 x1,x2,x3,x4,x5 0Min f = 2x1 + 3x2 + 4x3 S.t. x1 + 2x2 + x3 3 2x1 - x2 + x3 4 x1 , x2 , x3 0 2.2.对偶单纯形法对偶单纯形法 表格对偶单纯形法CI-2-3-400CBXBbX1X2X3X4X50 X4-3-1-2-1100 X5-4-21-301j-2-3-4000 X4-10-5/21/21-

13、1/2-2 X121-1/23/20-1/2j0-4-10-1-3 X22/501-1/5-2/51/5-2 X111/5107/5-1/5-2/5j00-9/5-8/5-1/52.2.对偶单纯形法对偶单纯形法单纯形法和对偶单纯形法步骤是是是是否否否否所有所有得到最优解计算计算典式对应原规划的基本解是可行的典式对应原规划的基本解的检验数所有所有计算计算以为中心元素进行迭代以为中心元素进行迭代停没有最优解没有最优解单纯形法对偶单纯形法0j0ib0maxjjk0miniiebbb0ika0ljaekeikikiabaab0minekkejejiaaa0min0csMinj/asjasj0brMin

14、-bi/airair03.3.灵敏度分析灵敏度分析 例3.5: 上例最优单纯形表如下 C i23000CBX BBX 1X 2X 3X 4X 52 X 141001/400 X 5400-21/213 X 22011/2-1/80j00-1.5-1/803.3.灵敏度分析灵敏度分析 0 0.25 0 这里 B B-1 = -2 0.5 1 0.5 -0.125 0 各列分别对应 b1、b2、b3 的单一变化因此，设 b1 增加 4，则 x1 ,x5 ,x2分别变为：4+04=4, 4+(-2)4=-40, 2+0.54=4用对偶单纯形法进一步求解，可得：x* = ( 4, 3, 2, 0, 0

15、 )T f* = 173.3.灵敏度分析灵敏度分析 增加一个变量 增加变量 xn+1 则有相应的pn+1 ,cn+1 。 那么 计算出B B-1pn+1 , n+1=cn+1-cri ari n+1 填入最优单纯形表, 若 n+1 0 则 最优解不变； 否则，进一步用单纯形法求解。3.3.灵敏度分析灵敏度分析例3.6:例3.4增加x6 , p6=( 2, 6, 3 )T, c6=5 计算得到Ci230005CBXBbX1X2X3X4X5X62 X141001/401.50 X5400-21/2123 X22011/2-1/800.25j00-1.5-1/801.25用单纯形法进一步求解，可得：

16、x* = ( 1,1.5,0,0,0,2 )T f* = 16.53.3.灵敏度分析灵敏度分析 增加一个约束 增加约束一个之后，应把最优解带入新的约束，若满足则最优解不变，否则填入最优单纯形表作为新的一行，引入一个新的非负变量（原约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量，否则引入非负人工变量），并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为0，进一步用单纯形法或对偶单纯形法求解。3.3.灵敏度分析灵敏度分析例3.7:例3.4增加3x1+ 2x215，原最优解不满足这个约束。于是Ci 2 3 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 2 X1 4 1 0 0 1/4 0 0 0

17、X5 4 0 0 -2 1/2 1 0 3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 0 0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0 1 j 0 0 -1.5 -1/8 0 0 3.3.灵敏度分析灵敏度分析经对偶单纯形法一步，可得最优解为（3.5, 2.25, 0, 0, 3, 2 )T，最优值为 13. 75 A A中元素发生变化(只讨论 N 中某一列变化情况） 与增加变量 xn+1 的情况类似，假设 pj 变化 。那么，重新计算出 B B-1pj j = cj - cri ari j 填入最优单纯形表，若 j 0 则最 优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。（例子从略）3.3.灵敏度分析灵敏

18、度分析第四章 运输问题运输问题的表示网络图、线性规划模型、运输表初始基础可行解西北角法、最小元素法非基变量的检验数闭回路法、对偶变量法确定进基变量，调整运量，确定离基变量2321341运输问题网络图s2=27s3=19d1=22d2=13d3=12d4=13s1=14供应量供应地运价需求量需求地6753842759106运输问题线性规划模型0 xxxxxxxxxxxx13xxx12xxx13xxx22xxx19xxxx27xxxx14xxxxs.t.x6x10 x9x5x7x2x4x8x3x5x7x6zmin3433323124232221141312113424143323133222123

19、12111343332312423222114131211343332312423222114131211供应地约束需求地约束运输问题的表格表示初始基础可行解西北角法813131466初始基础可行解最小元素法（1）最小元素法（2）最小元素法（3）最小元素法（4）最小元素法（5）最小元素法（6）-5非基变量xij的检验数zij-cij闭回路法(1)z12-c12=(c11-c21+c22)-c12=6-8+4-7=-5-5闭回路法(2)z13-c13=(c11-c21+c23)-c13=6-8+2-5=-5-5-5闭回路法(3)z14-c14=(c11-c21+ c21 - c23 + c33 -c14)-c13=(6-8+2-10+6)-3=-7-7-5-5闭回路法(4)z24-c24=(c23-c33+ c34)-c24=(2-10+6)-7=-9-9-5-7-5闭回路法(5)z31-c31=(c21-c23+ c33)-c31=(8-2+10)-5=+11+11-5-7-9-5闭回路法(6)z32-c32=(c22-c23+ c33)-c32=(