抽象代数李尚志

1、 走下神坛的走下神坛的 抽象代数抽象代数 李尚志李尚志 北京航空航天大学北京航空航天大学 2022-5-24抽象代数课程教什么抽象代数课程教什么?考什么考什么? 微积分微积分,线性代数有计算线性代数有计算,抽象代数没有抽象代数没有? 既然叫抽象既然叫抽象, , 就是没有例子就是没有例子? 有证明。太难有证明。太难,课时不够课时不够, , 删去删去! ! 还剩什么还剩什么？死记硬背！死记硬背！ 九阴真经九阴真经: : 努尔七八努尔七八,哈瓜儿哈瓜儿,宁血契卡宁血契卡,混混花察察花察察,学根许八涂学根许八涂,米尔米尔米尔米尔 小学程度就可以背诵和考试小学程度就可以背诵和考试! ! 谁是山寨版谁是山

2、寨版 ?2022-5-24 抽象代数一定要从公理开始抽象代数一定要从公理开始? 公理是什么公理是什么? 许多不同东西的共同点许多不同东西的共同点. . 公理化方法公理化方法: : 描述性描述性( (非构造性非构造性) )定义定义 样板样板: : 几何几何( (欧几里德欧几里德) - ) - 代数代数( (抽象代数抽象代数) ) 群群,环环,域的公理内容域的公理内容: : 1. 1. 对加、减、乘、除的封闭性对加、减、乘、除的封闭性 2. 2. 解释什么是加、减、乘、除解释什么是加、减、乘、除 加法：加法：向量空间前向量空间前4 4条公理条公理 = = 交换群的运算交换群的运算 乘法：乘法：结合

3、律结合律( (群的公理群的公理) ) 对加法的分配律对加法的分配律( (环的公理环的公理) ) Prof.zhangProf.zhang 教学法教学法: : 通过有招学无招通过有招学无招无招胜有招无招胜有招: : 案例案例公理公理案例案例2022-5-24 案例案例1. . 三阶幻方以一变多三阶幻方以一变多 旋转旋转 轴对称轴对称 共有多少个？共有多少个？ 按按2 2的位置分的位置分4 4组组. .每组每组2 2个个.2.24=84=8 正方形的正方形的对称群对称群2022-5-24 正多边形与正多面体正多边形与正多面体 正三角形的对称群正三角形的对称群 三角形数谜一变多三角形数谜一变多 23

4、=6 S3 正方体的旋转群正方体的旋转群 38个顶点个顶点=24 46个面个面=242022-5-24 公理化公理化: : 群群,子群子群,陪集分解陪集分解 以正方体旋转群以正方体旋转群G为例为例. G按按6个面个面1,6分组分组, 第第 i 组组 Gi =g|g1=i g,a在同一组在同一组 g1=a1 a-1g1=1 a-1g G1gaG1. Gi= aG1. 由由a 可逆得可逆得: h1 h 2 ah1 ah2 |Gi |=|G1|, i=1,6. |G|=6|G1|. |G1|整除整除|G|. 推广推广: G 对除法封闭对除法封闭总可总可计算计算a-1g “同组同组” 等价性等价性=G

5、1含含1, 对求逆对求逆,乘法封闭乘法封闭 群群G分为子群分为子群G1的陪集的陪集aG1, |G1|整除整除|G|.2022-5-24 案例案例2. 2. 复数的几何与矩阵模型复数的几何与矩阵模型 i2 = -1 : 左转两番朝后方左转两番朝后方 平面向量平面向量v v(-1)v,(-1)v,后转后转(180(180o o) ) 记记v viviv为左转为左转(90(90o o).).则则i i2 = -1.1. 域同构域同构: : 复数复数平面线性变换平面线性变换矩阵矩阵 i i 左转变换左转变换i a+bia+bi a a1+b bi 2022-5-24 案例案例3. 3. 平面旋转群平面

6、旋转群 R R 旋转旋转a a : :v v(cos(cosa a)v+(sin)v+(sina a)(iv)(iv) ) ( (coscosa a + +isinisina)a)n = = cosncosna a + +isinnisinna a ( (棣美弗公式棣美弗公式) ) f: f: RR, a R, a eia a = = coscosa a + +isinisina a f(a+bf(a+b) = ) = f(a)f(bf(a)f(b) : ) : ( (群同态群同态) ) K Kerf f=f=f-1(1)=2pZ. (1)=2pZ. R/2pZ/2pZ R R ( (群同构群

7、同构) )2022-5-24 案例案例4. 4. 单位根群单位根群 单位根单位根: : 1 1的的 n 次方根次方根. . xn =1的根的根. . f(a)f(a)n =1=1 na a = 2 = 2kp p a=2a=2kp/p/n 1,w,w1,w,w2 2, ,w,wn-1 , , w = w = cos(cos(2p/2p/n) +) +isin(isin(2p/2p/n) n阶循环群阶循环群 w w =1,w,w1,w,w2 2, ,w,wn-1 f:Z w w , k w wk , , f(k+r) = f(k)f(r) Ker f = nZ Zn=Z/nZ w w 2022-

8、5-24 案例案例5. 5. xn -1 的的因式分解因式分解 复数范围复数范围: : xn -1=(x-1)(x-w w)(x-w wn-1) 有理数范围有理数范围: : 以以x15 -1为例为例 1,w,w1,w,w2 2, ,w,w14在乘法群中的阶在乘法群中的阶d|15 同阶同阶d=1,3,5,15复因子相乘得复因子相乘得F Fd(x) F F1(x)=x-1. F F3(x)=(x3 3-1)/(x-1)=x2 2+x+1. F F5(x)=(x5 5-1)/(x-1)=x4 4+x3 3+x2 2+x+1 F F15(x)=(x1515-1)/(F F1(x)F F3(x)F F5

9、(x) 分圆多项式分圆多项式 F Fd(x)2022-5-24 有限域有限域: 5: 5最最 PK PK 3 3最最 1 1 抽象代数最后一课抽象代数最后一课 2 2 最难最难 3 3 最不应当考最不应当考 1 1 最有用最有用: : 信息安全大显身手信息安全大显身手 2 2 最有味最有味: : 抽象代数味道抽象代数味道 3 3 最易懂最易懂: : 小学生可以懂小学生可以懂! ! 4 4 最先讲最先讲: : 可在第一课第一分钟可在第一课第一分钟! ! 5 5 最应当考最应当考: :首选第一题首选第一题! !2022-5-24案例案例6.6.三阶幻方全推导三阶幻方全推导 各行和各行和= = (1

10、+9)/3=15 中心中心=(15445)/(4 1)=5 奇偶按角边奇偶按角边: : 第一行和第一行和=第一列和第一列和 : : a1+a2+a3 a1+b1+c1a2 b1 边边= =奇奇: : a1+a2+a3 1 a2 1 边边= =奇奇, , 角角= =偶偶2022-5-24案例案例7.7. 奇与偶的算术奇与偶的算术 -二元域二元域 曾肯成问题曾肯成问题: : 随机整数行列式等于奇随机整数行列式等于奇数与偶数的概率数与偶数的概率. 奇偶数加减乘公式奇偶数加减乘公式: : 偶偶偶偶= =偶偶, ,偶偶奇奇= =奇奇, ,奇奇奇奇= =偶偶; ; 整整偶偶= =偶偶, ,奇奇奇奇= =奇

11、奇. . 用用0,10,1表示表示: 0: 00=0,00=0,01=1,11=1,11=0;1=0; a a0=0,10=0,11=1.1=1. 二元域二元域 Z Z2 2=0,1.=0,1.注意注意1+1=0,a-b=1+1=0,a-b=a+ba+b. .2022-5-24 D=ad-D=ad-bcbc为奇数的概率为奇数的概率 情况情况1.1. ad=1,bc=0 ad=1,bc=0 a=d=1, a=d=1, ( (b,cb,c)=(0,0),(0,1),(1,0)=(0,0),(0,1),(1,0) 情况情况2.2. ad=0,bc=1 ad=0,bc=1 b=c=1, b=c=1,

12、( (a,da,d)=(0,0),(0,1),(1,0)=(0,0),(0,1),(1,0) 共共6 6种可能种可能, ,概率概率=6/16=3/8=6/16=3/8 D D为偶数的概率为偶数的概率=1-3/8=5/8=1-3/8=5/8 Z Z2 2上的上的2 2阶行列式阶行列式2022-5-24 GL(2,2):GL(2,2): Z Z2 2上上2 2维空间维空间V V共共3 3个非零向量个非零向量 v v1 1(1,0),v(1,0),v2 2(0,1),v(0,1),v3 3(1,1)(1,1) 任何两个线性无关任何两个线性无关 每个置换都是可逆线性变换每个置换都是可逆线性变换 上述矩

13、阵右乘分别得上述矩阵右乘分别得(1),(1),(23),(12),(23),(12), (123),(13),(132). (123),(13),(132). GL(2,2) S3 Z Z2 2上可逆矩阵群上可逆矩阵群2022-5-24 数域上的线性代数定理数域上的线性代数定理: : detAdetA=1=1A A可逆可逆行线性无关行线性无关 茅台换矿泉茅台换矿泉: :也适合于二元域也适合于二元域 Z Z2 2 第第1 1行行:A:A1 1 0, 2n-1个选择个选择 第第2 2行行:A:A2 2 l lA A1 1, 2n-2个选择个选择 第第k+1k+1行行:A:Ak+1k+1 l l1

14、1A A1 1+l lk kA Ak k, 2n-2k个选择个选择 共有共有 (2n-1)(2n-22)(2n-2n-1)个个 概率概率=(1-1/2n)(1-1/2n-1)(1-1/2) Z Z2 2 上上n n阶行列式阶行列式2022-5-24 案例分析：案例分析：“ “假零假零”性质性质 a ab,abb,ab的奇偶性只与的奇偶性只与a,ba,b奇偶性有关奇偶性有关: : a ab b =(r+ =(r+偶偶) )(s+(s+偶偶) () (结合结合, ,交换）交换） =(r =(r s)+s)+ ( (偶偶偶偶)= (r)= (r s)+s)+ 偶偶 abab =(r+ =(r+偶偶)

15、 )( (s+s+偶偶) ) （分配（分配) ) = =rs+(rrs+(r偶偶+ +偶偶s+s+偶偶偶偶)=)=rsrs+ +偶偶 “假零假零”性质性质: : O1.1.偶偶偶偶= =偶偶 O2.2.整整偶偶= =偶偶 真零性质真零性质: : 0 00=0,0=0,数数0=00=0 只考虑奇偶性只考虑奇偶性: :可以将偶数当作可以将偶数当作0. 0. 2022-5-24 公理化：环公理化：环, , 理想理想, , 商环商环 环环 D D：对加、减、乘封闭对加、减、乘封闭 加、减、乘的合法性条件：加、减、乘的合法性条件： 加法加法: :结合律结合律, ,交换律交换律, ,零零, ,负元负元 减

16、法减法: :a-b=a+(-a-b=a+(-b),(a-b)+bb),(a-b)+b=a. =a. 乘法乘法: :结合律结合律, ,对加法的分配律对加法的分配律 理想理想Q Q: :D D的子集的子集, ,满足满足“假零假零”性质性质O1,1,O2 2 记记a-a-b bQ Q为为 a b (mod Q Q),可按等式计算可按等式计算 商环商环: : D/Q Q =同余类集合同余类集合 a=a+ Q,Q, 定义加定义加, ,减减, ,乘乘: :ab=ab, ab=ab. 2022-5-24 案例案例8. 8. Z Zn n - -单表密码单表密码 Zn = =Z/nZ=r+nZ| r=0,1,

17、n-1. 加法密码加法密码: : Z26: f(x) = x+b. 仿射密码仿射密码: : f(x)=ax+b, a可逆可逆. 可逆元与反函数可逆元与反函数. .例例: : y=3x+5, 93=27=1, 9=3-1,x=9(y-5). 可逆条件可逆条件: (a,n)=1, 存在存在 au+nq=1, au=1, u=a-1. y=ax+b x=a-1(y-b) Zn中可逆元组成乘法群中可逆元组成乘法群 Zn*2022-5-24 案例案例9.9.p元域元域Zp上可逆阵上可逆阵 素数素数p: Zp* = Zp 0. Zp 是域是域. Zp 上的上的n阶可逆方阵个数阶可逆方阵个数 |GL(n,p

18、)|=(pn-1)(pn-pk)(pn-pn-1) 随机整数随机整数n阶行列式模阶行列式模p余余r概率概率 r=0: P0=1-|GL(n,p)|/pn2 r 0, f:GL(n,p) Zp*, AdetA. 案例分析案例分析正规子群正规子群,同态基本定理同态基本定理2022-5-24 案例案例10.10. 极限与微分极限与微分 博士生博士生 2010考题考题. 在一点在一点a连续的全体实函数构成环连续的全体实函数构成环C O(D Dx)(无穷小无穷小)与与o(D Dx)=O(D Dx)D Dx都是都是C的理想的理想. limxcf(x)=A f(x) A (mod O(D Dx) f(x)

19、f(a)+f(a)D Dx (mod o(D Dx) 和差积商极限和差积商极限: f(x) A, g(x) B 加减乘除加减乘除 幂的导数幂的导数: (x+D Dx)n xn+nxn-1D Dx (xn)=nxn-1 积的导数积的导数: f(x)g(x) f(a)g(a)+(f(a)g(a)+g(a)f(a)D Dx 商的导数商的导数:2022-5-24案例案例11.11.分数化小数分数化小数- - 循环节长度循环节长度 数学聊斋数学聊斋: : 商家打折商家打折: 1428元元? a=1/7=0.142857 循环节循环节D=106a-a= 142857=(106-1)/7. q/p=a的循环

20、节的循环节 D=(10d-1)q/p=整数整数. 最小的最小的d使使 10dq q(mod p) 当当 p是素数是素数( 2,5), 10d 1(mod p) D是是 10在乘法群在乘法群 Zp*中的阶中的阶,整除整除 p-1 混循环混循环: (10d-1)10kq 0(mod p).2022-5-24 案例分析案例分析乘法群元素的阶乘法群元素的阶 例例:q/7. 10k (k=1,2,)模模7余余3,2,6,4,5,1，d=6. 循环节循环节D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857 对对k=1,2,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7。 将将D前

21、前k位移到末尾位移到末尾,得到得到D的的rk(=3,2,6,4,5)倍。倍。 推广：推广：1/a的循环节轮换排列都得到的循环节轮换排列都得到D的的rk倍。倍。 仅当仅当d=n-1时得到所有各倍时得到所有各倍循环群的生成元循环群的生成元 另例另例:1/17=0.0588235294117647。1/19= 更多性质：更多性质：142+857=999，14+28+57=99。2022-5-24案例案例1212. . 复数的代数模型复数的代数模型域扩张域扩张2022-5-24案例案例1212. . 复数的代数模型复数的代数模型域扩张域扩张 环同态基本定理环同态基本定理 已经找到矩阵已经找到矩阵J满足

22、满足J2+I=0。 环同态环同态 f f:RxRJ, f(x)f(J). Kerf f = f f-1(0) = (x2+1). 每个每个 aI+bJa+bx=a+bx+q(x)(x2+1)|q(x)Rx 商环商环 C = Rx/ ( (x2+1) =a+bx|a,bR 0=x2+1=x2+1 x2 = -1。 a+bx 0 与与x2+1互素互素,在在C中可逆中可逆.C 是域是域. 记记1=1,x=i, 则则 i2 = -1. C=a1+bi | a,bR =复数域。复数域。 直接为直接为x2+1造根造根: 不需先猜不需先猜J2+I=0。 在在Rx中强制规定中强制规定“假零集合假零集合”Q Q

23、 = 0= x2+1. 则则 Q Q = (x2+1)由由 x2+1 的所有倍式组成的所有倍式组成. C=Rx/ (x2+1) 线性变换线性变换: a+bxxa+bx在基在基1,x下的矩阵下的矩阵 满足条件满足条件 J2 = -I.2022-5-24 推广推广. . 域的代数扩张域的代数扩张 无中生有无中生有: 为域为域F上多项式上多项式f(x)造根。造根。 强制规定强制规定f(x)=0: 在在Fx中生成理想中生成理想 (f(x). 同余类环同余类环 E=Fx/(f(x)中中f(x)=0, x是根是根. f(x) 在在 Fx 中不可约中不可约: E 是是F的代数扩域的代数扩域. 设设d=deg

24、 f(x), 则则 E 是是 F 上上 d 维空间维空间,E:F=d. 造矩阵根造矩阵根: : F上线性变换上线性变换g(x)xg(x) 在基在基1,x, , xd-1 下的矩阵下的矩阵J是是f(x)的根。的根。 f(x)可约可约: 不可约因子不可约因子h(x)在扩域在扩域E=Rx/(h(x)中有根中有根,也是也是f(x)的根。的根。 同构同构: : h(x)在扩域在扩域M/F中有根中有根w,则则s s:EM, g(x)g(w)为域同构为域同构. 自同构：自同构：s sGal(E/F) g(w)g(u), w与与u为为h(x)的的任意两个根。任意两个根。2022-5-24 案例案例13.13.

25、m m序列序列有限域的扩张有限域的扩张 Z2 上线性移位寄存器序列上线性移位寄存器序列u1,u2,um, 满足条件满足条件 uk+n=c1uk+n-1+cnuk . m m序列序列: : 选选c1,c2,cn达到最大周期达到最大周期 N=2n-1. (uk+1,uk+n) = (uk,uk+n-1)A 状态转移矩阵状态转移矩阵 A = A的最小多项式的最小多项式 m(x) = xn-c1xn-1-cn-1x-cn. (uk+1,uk+n)=(u1,un)Ak 取遍非零状态取遍非零状态. 如果如果B=f(A)= a1An-1+an-1A+anI不可逆，不可逆，2022-5-24 如果如果B=f(A)= a1An-1+an-1A+anI不可逆不可逆,则有则有Uk+1= (uk+1,uk+n) 0使使Uk+1B=0 0=Uk+