同济大学(高等数学)_第十一章_曲线积分与曲面积分

1、第十一章 曲线积分与曲面积分第1节 曲线积分以前讨论的定积分研究的是定义在直线段上的函数的定积分.本节将研究定义在平面或空间曲线段上函数的积分.1.1 第一型积分的概念与性质 在设计曲线形细长构件时，通常需要计算它们的质量, 而构件的线密度(单位长度的质量)却是因点而异的. 工程技术人员常常用这样的方法计算一个构件的质量： 设构件为平面xOy平面内一条有质量的曲线 L， L上任一点处的线密度为，这样就可以把实际问题定量化(如图11-1)：将曲线L分成n小段曲线,表示曲线段长度; 任取(xi , hi)Î Li, 得第i小段质量的近 似值;图11-1整个曲线构件的质量近似的等于; 当把

2、L分割的越来越细(即lmaxDs1, Ds2, × × ×, Dsn), 则整个曲线构件的质量为 . 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到，因此给出下面概念. 定义1 设L为xOy面内的一条光滑曲线段, 函数在L上有界.在L上任意插入一点列P1, P2, × × ×, Pn-1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为, 为第i个小段上任意取定的一点, 作乘积 (i=1, 2,× × ×, n ), 并作和, 如果各小弧段长度的最大值 l®0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数在曲线L上的第一

3、型曲线积分或对弧长的曲线积分, 记作, 即 . （11-1-1）其中，叫做被积函数, L 叫做积分路径 , 弧长微元. 特别地，如果L是闭曲线, 那么函数在闭曲线L上第一型曲线积分记作 .若L为空间上的光滑曲线段，为定义在L上的函数，则可类似的定义 在空间曲线L上第一型曲线积分，记作. 这样，本节开始所求的曲线形构件的质量可表示为. 类似于函数的定积分，并不是所有的在曲线L上都是可积的. 然而，当函数在光滑曲线弧L上连续时, 第一型曲线积分都是存在的. 因此，下文中我们总假定在L上是连续的. 关于第一型曲线积分也和定积分一样具有下述重要性质. 性质1(线性性) 设、为任意常数, 则 ; 性质2

4、(路径可加性) 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则.1.2 第一型曲线积分的计算方法 定理1 设在曲线段L上连续, L的参数方程为x=j(t), y=y(t) ( a £t £ b ),其中j(t)、y(t) 在a, b上具有一阶连续导数, 且j¢2(t)+y¢2(t)¹0, 则曲线积分存在, 且. 证明 设 . 如图11-1，在L上顺次插入，其中. 设为弧段Pi-1Pi的长度，则令，其中()为弧段Pi-1Pi上任意一点. 那么设L的弧长为s. 因此一致连续. 所以对任意给定正数，存在，当时，有. (）, 因此又等价于lmaxDs

5、1, Ds2, × × ×, Dsn. 从而.特别地，如果平面光滑曲线L的方程为 y=y(x) (a£x£b)则 如果平面光滑曲线L的方程为x=j(y) ( c£x£d)则 若空间曲线L的方程为 x=j(t), y=y(t), z=w(t) (a£t£b), 则.例1 计算 , 其中L是抛物线 y=x2 上点 O(0, 0) 与点 B(1, 1) 之间的一段弧. 解 曲线的方程为y=x2 (0£x£1) (图11-2), 因此 . 图 11-2 图11-3例2 计算，其中L是从沿圆周到

6、处的一段劣弧(如图11-3).解 曲线段L的参数方程为 .从而 .因此 . 例3 计算曲线积分, 其中L为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到2p 的一段弧. 解 在曲线 L 上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 例4 计算其中为球面和平面的交线.解 有对称性得由于在L上成立，且L 是一个半径为的圆周，因此同理于是1.3 第二型曲线积分在物理学中还会碰到另一种类型的曲线积分. 例如一质点在xOy面内受变力 F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下沿光滑曲线弧L从点A移

7、动到点B, 求变力F(x, y) 所作的功. 这样就可以把实际问题定量化(如图10-4).在曲线L上插入点A=P0, P1, P2, × × ×, , Pn=B把有向曲线L分成n个小弧段. 设 Pk=(xk , yk), 则有向曲线在x轴与y轴上的投影分别为 与 , 所以 (i=0, 1, 2, × × ×, n-1，n). 显然, F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似为 图11-4 ;其中为小弧段内任一点. 于是, 变力F(x, y)所作的功近似为 当有向曲线L的分割越细，上式右边的和就越接近正确值. 因此，（l 是各小弧段长

8、度的最大值）时的极限就是变力在L上所作的功的精确值: . 这种类型的和式极限就是下面所要求的第二型曲线积分的定义: 定义2 设函数 P(x, y), 在有向光滑曲线L上有界. 在L内插入一点列得到n个有向小弧段，设，; (xi, hi)为Li上任意一点, l 为各小弧段长度的最大值. 如果极限 总存在, 则称此极限为函数P(x, y), 在有向曲线L上的第二型曲线积分或对坐标轴的曲线积分, 记作. （11-1-2）特别地，如果L是有向闭曲线，则记作 . （11-1-3）若记F(x, y)=(, )，, 则 (11-1-2) 式可写成向量形式 或 （11-1-4）这样，在变力F(x, y)=P(

9、x, y)i+Q(x, y)j作用下沿光滑曲线弧L从点A移动到点B所作的功为 . 第二类曲线积分定义在有向曲线上，它具有的性质如下：性质1(方向性) 设L是有向曲线弧, -L是与L方向相反的有向曲线弧, 则 . 性质2(线性性) 设、为任意常数, F，G为向量函数，则 .性质3（路径可加性) 如果把L分成L1和L2, 则 . 1. 4第二型曲线积分的计算方法 定理2 设, 是定义在光滑有向曲线L: x=j(t), y=y(t), 上的连续函数, 当参数t单调地由 a 变到 b 时, 点M(x, y) 从L的起点A沿L方向运动到终点B, 则对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分（11-1-2）的计算，

10、可在L上任意选取一点作为起点，沿L所指定的方向前进，最后回到这一点. 若空间曲线L的参数方程为 x=j(t), y =y (t), z=w(t) , 则其中a 对应于L的起点, b 对应于L的终点. 例5 计算，其中L为由点到点的直线段 .解 L的参数方程为 例6 计算, 其中L为抛物线y2=x上从点A(1, -1)到点B(1, 1)的一段弧（图11-5）. 解法一 以x为参数. L分为AO和OB两部分: AO的方程为, x从1变到0; OB 的方程为, x从0变到1. 因此 . 解法二 以y为积分变量. L的方程为 x=y2, y从-1变到1. 因此 . 图11-5例7 计算，其中.解 L的

11、参数方程为 .则.又为的奇函数，所以.例8 设在力场作用下，质点由A(R,0,0) 沿L移动到B(R ,0, 2kp),其中L为 (1) x=R cost, y=Rsint, z= kt ,0t2p; (2) 直线AB. 解 (1)由于dx=-Rsintdt, dy=Rcostdt, dz=kdt, 所以 (2) L的参数方程为 图11-6 x=R, y=0, z=t, 0t2kp. 由于dx=0, dy=0, dz=dt . 所以1.5两类曲线积分之间的关系 若在定向光滑曲线L上，取点的一个L的弧长微元ds，作向量，其中为曲线L上在处与L同向的切向量. 那么在x轴上的投影为，可记为，即. 同

12、理. 第二型曲线积分又可以表示为 , 或 . 其中F=(P(x，y), Q(x，y), 为有向曲线弧L上点(x, y) 处切向量, . 类似地有 , 或 .其中F=(P, Q, R), =(cosa, cosb, cosg)为有向曲线段L上点(x, y, z)处切向量, . 例9 设，,试计算. 其中 表示函数沿L 的正向切方向的方向导数. 解 由第一、二型曲线积分的关系知.习题11-11、求下列第一型曲线积分：(1）计算积分.其中是直线上介于、之间的线段；(2）计算积分.其中为，()；(3）计算.是由、与围成的三角形区域的边界曲线；（4）计算积分.为圆周：（）；（5）求.其中为圆周；（6）.

13、其中为圆周；（7）.其中为曲线，上相应于从0变到2的弧段.2、求下列第二型曲线：（1）其中L为曲线上介于、之间的一段弧；（2）.其中是摆线上对应从0到的一段弧；（3）.其中是曲线对应于的点到的点；（4）.其中是由点到点的上半圆周. 4 .其中是曲线：上由0到的一段弧.5计算，其中：（1）抛物线上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）曲线上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧.6.设质点受力的作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由沿椭圆移动到，求所做的功. 7.设为定义在平面曲线段上非负连续函数，且在上恒大于零.(1)试

14、证明(2)第二型曲线积分是否成立？为什么？第2节 格林公式2. 1 格林公式本节讨论区域D上的二重积分与D的边界曲线L上的第二型曲线积分之间的联系. 单连通与复连通区域: 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域(即区域D内有“洞”)(如图11-7). 图11-7对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正方向如下: 当观察者沿L行走时, 区域D总在他的左边. 相反的方向称为负方向，记为-L. 区域D的边界曲线的方向: 图11-8 定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数,

15、则有 , （11-2-1） 其中L是D的取正向的边界曲线. 证明 根据区域D的不同形状，一般可分为三种情况证明.I） 当D既是X Y型的区域(如图11-9)(即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点的情形) . 设 D=(x, y)|j1(x)£y£j2(x), a£x£b. 因为连续, 所以由二重积分的计算法有 图11-9 另一方面, 由第二型曲线积分的性质及计算法有 . 因此 .设D=(x, y)|y1(y)£x£y2(y), £y£. 类似地可证.由于D既是X Y型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得 .

16、II）若区域D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割为有限个既是X Y型区域的区域(如图11-10). III)若区域D为有限个“洞”的复连通区域，我们只证明只有一个洞的情况（图11-11）. 对复连通区域D, 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D来说都是正向. 证毕 例1 设L是任意一条分段光滑的闭曲线, L方向为正方向证明 . 证 令P=2xy, Q=x2, 则.因此, 由格林公式有. 例2 计算曲线积分. 其中.解 记补充：则构成封闭曲线.由格林公式 图11-12设区域D的边界曲线为L, 取P=-y, Q=x, 则由格林公式得到一个计算平面区域D的面积

17、 公式： . 我们可以用上述公式来求平面图形的面积. 例3 求椭圆 所围成图形的面积S. 解 设D是由椭圆x=acosq , y=bsinq 所围成的区域. 令, , 则. 于是由格林公式, =pab. 2. 2 平面上曲线积分与路径无关的条件很容易想象，当函数沿着连接A，B两个端点的路径L积分，一般来说，积分的值会因端点的变化而变化，还会随着路径的不同而不同. 然而，像重力做功只与路径的端点值有关而与路径无关.下面来探究曲线积分与路径无关的条件.首先给出积分与路径无关的定义. 设D是一个平面区域, P(x, y)、Q(x, y)在区域D内具有一阶连续偏导数. 如果对于区域D内任意指定的两个点

18、A、B以及区域D内从点A到点B的任意两条光滑曲线L 1、L 2, 等式 恒成立, 则称曲线积分在D内与路径无关, 否则说与路径有关. 设曲线积分在D内与路径无关, L 1和L 2是D内任意两条从点A到点B的曲线, 则有 , 因为 Û ÛÛ, 所以有以下结论: 曲线积分在D内与路径无关的充要条件是沿D内任意闭曲线L的曲线积分等于零. 定理2 设区域D是一个单连通域, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分在D内与路径无关（或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式在D内恒成立. 证明 充分性 ：若, 则, 由格林公式,

19、对任意闭曲线L, 有. 必要性: 假设存在一点M0ÎD, 使, 不妨设h>0, 则由的连续性, 存在M0的一个d 邻域U(M0, d), 使在此邻域内有. 于是沿邻域U(M0, d)边界l 的闭曲线积分 , 这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在D内. 证毕定理要满足区域D是单连通区域, 且函数P(x, y)及Q(x, y)在D内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点. 例4 计算, 其中L为抛物线y=x2上从O(0, 0) 到B(1, 1) 的一段弧.解 因为 在整个xOy面内都成立, 所以在整个xO

20、y面内, 积分与路径无关. . 图11-13例5 计算, 其中L为一条分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向. 解 记L 所围成的闭区域为D. 令 , . I)当(0, 0)ÏD时, 由格林公式得; II)当(0, 0)ÎD时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r 2(r>0). 由L及l围成了一个复连通区域D1, 应用格林公式得, 其中l的方向取逆时针方向. 于是 =2p. 例6 已知 确定 使与路径无关.解 由积分与路径无关的条件知即 亦即解此方程得 又 从而 . 所以所求函数 2. 3 二元函数的全微分求积 曲线积分在D内与路径无关, 表明曲线

21、积分的值只与起点从点(x0, y0)与终点(x, y)有关. 如果与路径无关, 则把它记为. 即 . 若起点(x0, y0)为D内的一定点, 终点(x, y)为D内的动点, 则u(x, y)为D 内的的函数. 二元函数u(x, y) 的全微分为du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy. 而表达式P(x, y)dx+Q(x, y)dy与二元函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个二元函数u(x, y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时，怎样求出这个二元函数呢？ 定理3 设区域D是一个单连通域

22、, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D内具有一阶连续偏导数, 则P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在D内为某二元函数u(x, y)的全微分的充分必要条件是等式 在D内恒成立. 证明 必要性: 假设存在某一函数u(x, y), 使得du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 则有 , . 因为、连续, 所以, 即. 充分性: 因为在D内, 所以积分在D内与路径无关.在D内从点(x0, y0)到点(x, y)的曲线积分可表示为.考虑函数u(x, y). 下证.因为由偏导数定义知类似地有, 从而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是

23、某一函数的全微分. 证毕下面我们给出求全微分的原函数的公式: 或 . 例7 应用曲线积分求的原函数. 解 这里 P=xy2, Q=x2y. 因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数, 且有 , 取积分路线为从O(0, 0)到A(x, 0)再到B(x, y)的折线, 则所求函数为 . 习题10-21利用Green公式，计算下列曲线积分：(1) .其中为正向圆周；(2) .其中为以及为顶点的三角形负向边界；(3) .其中为的上半圆周从点到点及的上半圆周从点到点连成的弧.（4）.其中为圆周，取逆时针方向；（5）.其中为闭区域的正向边界.2. 计算.其中为上半圆周,沿逆时针方向.3计算曲线积分.

24、其中：（1）闭区域的正向边界；（2）圆周按逆时针方向；4设函数具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线，有.5. 证明曲线积分 在整个坐标面上与路径无关, 并计算积分值.6. 求原函数(1)(2)7.求下列曲线所围成的面积：(1) (2)星形线 8.为了使曲线积分与路径无关，可微函数应满足怎样的条件？第三节 曲面积分3. 1第一型曲面积分的概念及其性质 类似于第一型曲线积分，面密度函数 r(x, y, z) 在曲面S上连续时，曲面S质量为 (l 为各小块曲面直径的最大值). 定义1 设曲面S是光滑的, 函数在S上有界. 把S任意分成n小块: DS1, DS2 , × × &

25、#215;, DSn (DSi代表曲面的面积), 在DSi上任取一点(xi, hi, zi ), 如果当各小块曲面的直径的最大值 l®0时, 极限总存在, 则称此极限为函数在曲面S上的第一型曲面积分或对面积的曲面积分, 记作, 即 图11-14 . 其中叫做被积函数, S叫做积分曲面. 我们指出当在光滑曲面S上连续时第一型曲面积分总是存在的.今后总假定在S上连续. 特别地，当=1时，曲面积分为曲面S的面积. 根据上述定义光滑曲面 S 的面密度为 r(x, y, z)，则曲面 S 的质量 M 可表示为 r(x, y, z) 在 S 上的第一型曲面积分: 3. 2 第一型曲面积分的计算定

26、理1 设光滑曲面S：S 在曲面S上为连续函数，则 图11-15. 定理证明与第一节定理证明相仿，这里不再重复. 例1 求.其中第一象限部分(如图11-16).解 ，(如图11-17).=图11-16 图11-17例2 计算曲面积分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0<h<a)截出的顶部(如图11-18). 解 S的方程为, Dxy: x2+y2£a2-h2. 因为 , , , 所以 图11-18 . 3. 3 第二型曲面积分通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如由方程z=z(x, y) 表示的曲面分为上侧与下侧. 封闭的曲面分为内侧与外侧. 在讨论第二型曲

27、面积分时， 需要指定曲面的侧, 我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧. 不妨设n=(cosa, cosb, cosg) 为曲面上取定的法向量, 则曲面上满足cosg>0的侧为上侧， 满足cosg<0的侧为下侧. 封闭曲面如果取法向量的指向朝外，我们就认为取曲面的外侧. 这种通过确定法向量亦即确定侧的曲面称为有向曲面. 设S是有向曲面. 在S上任取一小块曲面DS , 把DS投影到xOy平面上得一投影区域, 这投影区域的面积记为. 假定DS上各点处的法向量与z轴的夹角g 的余弦cosg 有相同的符号(即cosg 都是正的或都是负的). 我们规定DS在xOy面上的投影 为 类似地

28、可以定义DSi在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx. 有了上面的说明我们就可以解决这样的问题，设稳定流动的不可压缩流体在点的流度可表示为v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)，求在单位时间内流向定向曲面S的流体的质量, 即流量F. 图11-19类似于第一型曲面积分，把曲面S分成n小块: DS1, DS2, × × ×, DSn(DSi代表第i小块曲面的面积). 在S是光滑的和v是连续的前提下, 只要DSi的直径很小, 我们就可以用 DSi上任一点 (xi, hi, zi ) 处的流速vi

29、=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k代替DSi上其它各点处的流速, 以该点(xi, hi, zi ) 处曲面DSi的正侧面上单位法向量ni=(cosai , cosbi , cosgi )代替DSi正侧面上其它各点处的单位法向量. 从而得到通过DSi流向指定侧的流量的近似值vi×niDS i (i=1, 2, × × × ,n)于是, 通过曲面S流向指定侧的流量 ,又因为 cosai×DSi»(DSi)yz , cosbi×DSi

30、87;(DSi)zx , cosgi×DSi»(DSi)xy ,因此上式可以写成 令l®0取上述和的极限, 就得到流量F的精确值： . 这样的极限还会在其它问题中遇到，我们就抽象出如下曲面积分的概念. 定义2 设 S 为光滑的有向曲面, 函数P 、Q、 R 在 S上有界. 把S任意分成n块小曲面 DSi (DSi代表第i小块曲面的面积). DSi 在三个坐标平面上的投影分别为为(DSi)xy, (xi, hi, zi ) 是 DSi上任意取定的一点. 当各小块曲面直径的最大值l®0时，总存在, 则称此极限为函数在有向曲面S上第二型曲面积分，记作=其中叫做

31、被积函数，S叫做积分曲面.类似地可定义函数在有向曲面S上的第二型曲面积分及函数在有向曲面S上第二型曲面积分分别为=以上三个曲面积分也称为对坐标的曲面积分.我们指出，当在有向光滑曲面S上连续时，第二型曲面积分是存在的，以后总假设在S 上连续.第二型曲面积分常常以下面形式出现，, 或 .因此，上面流向S指定侧的流量F可表示为 F. 若记A=(, ，R(x, y, z)，, 则第二型曲面积分也可写成向量形式 第二型曲面积分具有与第二型曲线积分类似的一些性质. 如下性质1(方向性) 设S是有向曲面, -S表示与S取相反侧的有向曲面, 则 .性质2(线性性) 为常数, 性质3(可加性) 如果把S分成S

32、1和S2, 则. 3.4 第二型曲面积分的计算方法 设积分曲面S由方程 z=z(x, y) 给出的, S在xOy面上的投影区域为Dxy , 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, 被积函数R(x, y, z)在S上连续, 则有, 其中，当S正侧面取上侧时, 积分前取“+”; 当S正侧面取下侧时, 积分前取“-”. 这是因为, 按第二型曲面积分的定义, 有 =. 当S正侧面取上侧时, cos g>0, 所以(DSi)xy =(Dsi)xy. 又因(xi, hi, zi)是S上的一点, 故zi=z(xi, hi). 从而有. 令l®0取上式两端的极限, 就得到.同理当

33、S取下侧时, 有.这是因为n=(cosa, cosb , cosg), , . 类似地, 如果S由x=x(y, z)给出, 则有 . 如果S由y=y(z, x)给出, 则有. 例3 计算曲面积分, 其中S是球面外侧在的部分. 解 把有向曲面S分成以下两部分: : ()的上侧, : ()的下侧. S1和S2在面上的投影区域都是 于是 . 例4 计算，（1）为锥面在部分的下侧(如图11-20)；（2）为锥面与平面所围曲面的内侧(如图11-21). 图11-20 图11-21解（1）：，下侧. ：. 则.（2）， ：，上侧； ：，下侧.：.3.5两类曲面积分之间的联系 设积分曲面S由方程z=z(x,

34、 y)给出的, S在xOy面上的投影区域为Dxy , 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, 被积函数R(x, y, z)在S上连续. 如果S取上侧, 则有. 另一方面, 因上述有向曲面S的法向量的方向余弦为 , , , 故由第一型曲面积分计算公式有 .由此可见, 有 . 如果S取下侧, 则有 . 但这时, 因此仍有 , 类似地可推得 , . 综合起来有 , 其中cos a, cos b, cos g 是有向曲面S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦. 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式: 或 . 其中A=(P, Q, R), n=(cos a, cos b, c

35、os g) 是有向曲面S上点 (x, y, z) 处的单位法向量, dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy), 称为有向曲面元, An为向量A在向量n上的投影. 例5 计算曲面积分, 其中S是曲面介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧.解 由两类曲面积分之间的关系, 可得 . 在曲面S上, 曲面上向下的法向量为(x, y, -1) , , . 故 =8p. 习题11-31计算曲面积分其中为抛物面在平面上方的部分，分别如下： （1） （2）（3）2.,其中为平面在第一卦限的部分.3.计算,其中是界于平面及之间的圆柱面.4计算,其中为半球面 5，是球面；是介于平，之间的圆柱面.6. 计算

36、下列第二型曲面积分 （1），其中是柱面被平面及所截下的第一卦限内部分的前侧; （2），其中是球面的下半部分的下侧; 7计算，其中为上半球体，的外侧8.计算，其中为半球面的上侧。9计算，其中为三个坐标面与平面所围成的四面体表面的外侧第四节 高斯公式与斯托克斯公式格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 而在空间上，也有同样类似的结论，这就是高斯公式. 它表达了空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系.4. 1高斯公式定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏

37、导数, 则有 ， （11-1）或 ( 11-1；)其中S取外侧. (11-1) 、(11- 1；) 式称为高斯公式. 证 设W是一个xy型区域，即上边界曲面为S1: z=z2(x, y), 下边界曲面为S2: z=z1(x, y), 侧面为柱面S3. S1取下侧, S2取上侧; S3取外侧. 根据三重积分的计算法, 有 . 另一方面, 有 图11-22,以上三式相加, 得 .所以 . 类似地有,把以上三式两端分别相加, 即得高斯公式. 对于不是XY型区域的情况，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个XY型区域来讨论，这里不再细说. 证毕例1 利用高斯公式计算曲面积分, 其中S为柱面x2+y2=1及

38、平面z=0, z=3所围成的空间闭区域W的整个边界曲面的外侧. 解 这里P=(y-z)x, Q=0, R=x-y, , , . 由高斯公式, 有 图11-23 . 例2 求其中S是的外表面.解 记，由高斯公式，所求积分令，则变为：，.所以 .4. 2斯托克斯公式斯托克斯公式建立了沿曲面的曲面积分与沿的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系. 对曲面 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下规定： 右手法则设S是空间上的光滑曲面，其边界曲线为L，取定S的一侧为正侧，伸开右手手掌，以拇指方向指向此侧的法线正向，其余四指伸开微曲，并使曲面S在手掌的左侧，则其余四指所指的方向就是边界曲线L的正方向，反之亦然(如

39、图11-24). 如图11-24定理2 设L为分段光滑的空间有向闭曲线, S是以L为边界的分片光滑的有向曲面, L的正向与 S 的侧符合右手规则, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在曲面S(连同边界)上具有一阶连续偏导数, 则有 . 记忆方式: ,或 ,其中n=(cosa , cosb , cosg)为有向曲面S的单位法向量. 例3 利用斯托克斯公式计算曲线积分, 其中L为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则. 解 设S为闭曲线L所围成的三角形平面, S在yOz面、zOx面和xOy面上的投

40、影区域分别为Dyz、Dzx和Dxy , 按斯托克斯公式, 有 . 例4 利用斯托克斯公式计算曲线积分 , 其中L是用平面截立方体: 0£x£1, 0£y£1, 0£z£1的表面所得的截痕, 若从x轴的正向看去取逆时针方向. 解 取S为平面的上侧被L所围成的部分, S的单位法向量, 即. 按斯托克斯公式, 有.,其中Dxy为S在xOy平面上的投影区域, 于是.习题11-41 利用高斯公式计算下列曲面积分.(1) 其中是平面所围成的立体的表面的外侧； （2）， 其中是球面的外侧； (3) 其中是球面的外侧. 2、 计算曲面积分,其中为有向

41、曲面,其法向量与轴正向的夹角为锐角3计算曲面积分其中是的外侧. 4、 利用斯托克斯公式计算曲线积分(1)，其中为与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧. (2) 其中为,所交的椭圆的正向. 第五节 MATLAB软件应用5.1计算曲线积分 例1 计算曲线积分，其中L为心形线的下半部分.心形线的参数方程为.解 程序如下 syms r t x y a f g u x=a*(1+cos(t)*cos(t);y=a*(1+cos(t)*sin(t); r=a*(1+cos(t); f=diff(x); g=diff(y); u=sqrt(f2+g2); int(y*u,t,pi,2*p

42、i) ans =-16/5*(a2)(1/2)*a计算结果：ans=.例2 计算曲线积分，其中L为圆周的，且取正方向.解 程序如下取，画出积分曲线，如图所示 t=0:0.01:2*pi; x=cos(t); y=sin(t); plot(x,y);积分的计算方法有两种; （1） 直接计算 syms x y t dx dy a x=a*cos(t); y=a*sin(t); dx=diff(x); dy=diff(y); int(x*y2-4*y3)*dx+(x2*y+sin(y)*dy,t,0,2*pi);ans =3*a4*pi（计算结果：ans=）（2）利用Green公式 syms x y p q d r t f a u v p=x*y2-4*y3; q=x2*y+sin(y); d=diff(q,x)-diff(p,y); u=r*cos(t); v=r*sin(t); g=subs(d,x y,u v); int(int(g*r,t,0,2*pi),r,0,a)ans = 3*pi*a4（计算结果：ans=）例3 利用Gauss公式计算曲面积分，其中S为上半球体的表面外侧.解 程序如下 syms p q r x y z dpx dqy drz f g u v t m n l a p=x*z2;q=x2*