大学物理角动量1

1、mgy系统在位置系统在位置a的势能等于把系统从该位置经任意路的势能等于把系统从该位置经任意路径移到势能零点时保守力所作的功径移到势能零点时保守力所作的功零势点保apaErdF 势能的表述bapapbpbpaEEEErdFA)(保保20)(21rrk rmGm0 设系统由设系统由n个质点组成个质点组成,对其中第对其中第i个质个质点点(质量为质量为mi )应用动能定理应用动能定理,有有2022121iiiiiiivmvmAAA外内式中：式中：i=1,2,3,。m1mimnFnfinF1Fifnif1ifi1f1nfn1质点系的动能定理内力做的功能抵消么？不能不能ijjrirO0KKEEAA内外 A

2、内内=A保守内力保守内力+A非保守内非保守内 A保守内力保守内力= -(Ep-Ep0)A外外+A非保守内非保守内=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 上次内容回顾0KKEEAA内外0AA非保守内外 例题例题4如图所示，光滑地面上有一辆质量为如图所示，光滑地面上有一辆质量为M的静止的静止的小车，小车上一长为的小车，小车上一长为L的轻绳将小球的轻绳将小球m悬挂于悬挂于o点。点。把绳拉直，将小球由静止释放，求小球运动到最低点把绳拉直，将小球由静止释放，求小球运动到最低点时的速率。时的速率。 TmgvoLmM221mvmgL gLv2 系统系统(m+地球地球)机械能不守恒：机械能不守恒： 系统系统

3、(M+m+地球地球)机械能守恒：机械能守恒： 222121MVmvmgLmMMgLv2 0= MV-mv 例题例题5半径为半径为R 、质量为、质量为M且表面光滑的半球，放且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为m的的小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图所小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图所示的示的 角位置处，开始脱离球面，试求：角位置处，开始脱离球面，试求： (1) 角满角满足的关系式；足的关系式；(2)分别讨论分别讨论m/M1时时cos 的取。的取。 vrMmRmgNVx0cosxMVmv222121)cos1 (xM

4、VmvmgRxVMvm相对地，相对地速率设xy 小物体脱离球面前相对球面作圆运小物体脱离球面前相对球面作圆运动，沿法向有动，沿法向有 mgcos -N=mvr2/R 脱离球面的条件是：脱离球面的条件是：N=0。vrMmRmgNVxxxVMvxvm相对地，轴分量，其相对地速率设rvMm速率相对设0 xxMVmv222121)cos1 (xMVmvmgRcos vvx注意：此时注意：此时M是惯性系是惯性系vrMmRmgNVx0 xxMVmv222121)cos1 (xMVmvmgRxy对地对对地MMmmvvvxrxVvvcos222)sin()cos(rxrvVvv02cos3cos3mMm解得：

5、解得： mgcos =mvr2/R sinryvv (2) 当当m/Mm时时, cos =2/3 这相当于这相当于M不动的情况。不动的情况。 当当m/M1,即即mM时，有时，有 cos3 -3cos +2=0分解因式得分解因式得 (cos -1)2(cos +2)=0 cos =1 , =0这表明，这时这表明，这时M一下子滑出，一下子滑出，m竖竖直下落。直下落。02cos3cos3mMmvrMmRmgNVx能量部分小结能量概念的引入能量概念的引入功的计算功的计算质点动能定理质点动能定理机械能守恒定律机械能守恒定律保守力的概念保守力的概念质点系动能定理质点系动能定理势能势能功能原理功能原理功的计

6、算功的计算是核心是核心处理问题的手法的处理问题的手法的灵活性，利用特点灵活性，利用特点做文章做文章守恒条件，守恒条件，相对运动相对运动第三章 刚体力学教材中对角动量这个概念叙述的不充分教材中对角动量这个概念叙述的不充分结构安排不合理结构安排不合理先讲角动量，再讲刚体先讲角动量，再讲刚体刚体的平动和转动平动：如果刚体在运动中平动：如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在刚体内任何两点的连线在空间的指向始终保持平行空间的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。这样的运动就称为平动。转动：如果刚体内的各个质点都绕同一直线转动：如果刚体内的各个质点都绕同一直线作圆周运动作圆周运动,这种运动便称为转动这

7、种运动便称为转动OR所绕的这一直线称作转轴所绕的这一直线称作转轴转轴固定不动称为定轴转动转轴固定不动称为定轴转动刚体的一般运动比较复杂。刚体的一般运动比较复杂。但可以证明但可以证明,刚体一般运动刚体一般运动可看作是平动和转动的结可看作是平动和转动的结合合OR刚体的平动和转动刚体问题的研究思路在研究清楚了质点问题后，我们将刚体看成无数个在研究清楚了质点问题后，我们将刚体看成无数个质点组成，通过研究这无数质点的运动，来研究整质点组成，通过研究这无数质点的运动，来研究整个刚体的运动规律个刚体的运动规律借助的工具就是微积分借助的工具就是微积分无论是从内容上还是从方法上，无论是从内容上还是从方法上，质点

8、力学是刚体力学的基础。质点力学是刚体力学的基础。MFLPIm 质质点点力力学学刚刚体体力力学学212112ttLLLLLddtM12IIdtF物理学研究问题的一个基本思想在在继继承的基承的基础础上上进进行行创创新新在遇到新问题的时，应该去研究前人解决类似问题的做在遇到新问题的时，应该去研究前人解决类似问题的做法：即从原有的成熟的理论中寻找借鉴法：即从原有的成熟的理论中寻找借鉴我们经常会发现，所学习的新理论和学过的一我们经常会发现，所学习的新理论和学过的一些理论尽管内容不同，但形式上、方法上、思些理论尽管内容不同，但形式上、方法上、思想上总有些千丝万屡的联系想上总有些千丝万屡的联系212112t

9、tLLLLLddtM12IIdtFMFLPIm 质质点点力力学学刚刚体体力力学学 继承与创新问题小结 排名第二的指导思想在遇到新问题的时，应该去研究前人解决类似问题的做在遇到新问题的时，应该去研究前人解决类似问题的做法：即从原有的成熟的理论中寻找借鉴法：即从原有的成熟的理论中寻找借鉴我们在遇到新问题时，除了首先从近似处理问题的角度去分析之外，还要从继承和创新的角度去思考描述定轴转动的物理量描述刚体的运动时描述刚体的运动时,用角量最为方便。即我们曾用角量最为方便。即我们曾讨论过的角位置讨论过的角位置、角速度、角速度、角加速度、角加速度等概等概念以及有关公式念以及有关公式为什么角量为什么角量方便呢

10、？方便呢？Lrmvdo质点的角动量vmrprL 质点对质点对o点点的角动量的大小的角动量的大小,等于等于质点的动量与质点的动量与o点点到到动量的垂直距离动量的垂直距离d的乘积的乘积,即即L=Pd。L=rpsin =mvrsin =mvd 在惯性参考系中选一固定的参考点在惯性参考系中选一固定的参考点o,质点对质点对o的位的位矢为矢为 ,动量为动量为 ,则质点对则质点对o点的角动量点的角动量(也称动量矩也称动量矩)为为rp L=Pr=mvr =mr2. LL 若一质量为若一质量为m的质点以角速度的质点以角速度 沿半沿半径径r的圆周运动的圆周运动(如如图图),质点对给定点质点对给定点o(圆心圆心)的

11、角动量的大小的角动量的大小角动量的大小和方向不仅决定于质点角动量的大小和方向不仅决定于质点的动量的动量,也依赖于所选定的参考点也依赖于所选定的参考点,即即参考点不同参考点不同,质点的角动量也不同质点的角动量也不同vmrprL质点的角动量Lrmvdo物理学研究问题的模式质点运动质点运动的描述的描述质点质点运动学运动学质点质点动力学动力学引入物理量，引入物理量，来描述我们来描述我们的研究对象，的研究对象，并给出物理量并给出物理量之间关系之间关系建立定律来给建立定律来给出这些物理出这些物理量是如何随时量是如何随时间变化间变化角动量作为角动量作为描述质点状描述质点状态的量态的量什么定律什么定律起到这个

12、起到这个作用呢？作用呢？vmrprLFrdtLdprLdtLddtLdMpdtrddtpdr质点角动量定理FrM 合外力对固定点合外力对固定点o的力矩的力矩质点角动量的时间变化质点角动量的时间变化率等于所受的合外力对率等于所受的合外力对同一点的力矩同一点的力矩Lrmvdo力矩：力矩：FrModdtLdM质点角动量定理和对哪一点有关和对哪一点有关向线段为参考点到作用点的有rFrMprLFdM 212112ttLLLLLddtMFrMod上式左端的积分称为冲量矩。合外力矩的冲量矩等于上式左端的积分称为冲量矩。合外力矩的冲量矩等于质点角动量的增量。它是质点角动量定理的积分形式质点角动量的增量。它是质

13、点角动量定理的积分形式质点角动量定理的积分形式dtLdMLrmvdo如果：如果：0M0dtLd常矢量L质点角动量守恒定律：质点所受的合外力对某一点的力质点角动量守恒定律：质点所受的合外力对某一点的力矩为零，它对同一点的角动量保持不变矩为零，它对同一点的角动量保持不变角动量的优势之一：质点的角动量守恒定律dtLdM常数)(vmrL常数dtrdmr开普勒第二定律在相等的时间内，行星与太阳在相等的时间内，行星与太阳的联线扫过的面积相同的联线扫过的面积相同 op太阳太阳FrM0矢量式kMjMiMMzyxkLjLiLLzyxdtdLMdtdLMdtdLMzzyyxxdtLdMprLFrMnnppprrr

14、.,.,2121动量分别为分为别它们的位置矢量系设有个质点组成的质点质点系的角动量定理)()(111131211prdtdfffFrnm1mimnFnfinF1Fifnif1ifi1f1nfn1)()(222232122prdtdfffFrn)()(131nnnnnnnnprdtdfffFriiiFr内力矩能抵消么？iiiprdtd)(ijjrirjirroiiiiiiprdtdFr)(iiiprL)(体系总角动量iiiFrMLdtdM质点系角动量的时间变化率等于各点受到所质点系角动量的时间变化率等于各点受到所有外力对同一点力矩的矢量和有外力对同一点力矩的矢量和质点系的角动量定理 解解 j t

15、bi tadtrdcossin)(mrLrmk tabm2sink tabm2coskabm 例题例题1 一质点的质量为一质点的质量为m，位矢为：位矢为： (式中式中a、b、 均为常量均为常量);求求质点对坐标原点的角动量及它所受的力矩。质点对坐标原点的角动量及它所受的力矩。jwtbi tarsincosjwtbi tarsincosdtda质点所受的力矩质点所受的力矩:j tbi tadtrdcossin)sincos(2j tbi taFrM0FrMamFjwtbi tarsincosr2rm2 解解 小球对小球对o点的角动量守恒点的角动量守恒0rFom 例题例题2，如图所示，一细绳穿过光

16、滑水平桌面上的小，如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔孔o，绳的一端系有一质量为，绳的一端系有一质量为m的小球并放在桌面上；另的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度 0绕孔绕孔o作作半径半径r的匀速圆周运动的匀速圆周运动,现在向下缓慢拉绳，直到小球作现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为圆周运动的半径为r/2时止，求这一过程中拉力的功。时止，求这一过程中拉力的功。r2v0202020) r(m23) r(m21) r2(m21A2rmvrrm0RMmGmo 221 解解 火箭只受引力火箭只受引力(保守力保守力)作用，机械能守

17、恒：作用，机械能守恒：RMmGm3212 例题例题3 质量为质量为m的火箭的火箭A，以水平速度，以水平速度 o沿地球表沿地球表面发射出去，如图所示。火箭面发射出去，如图所示。火箭A的运动轨道与地轴的运动轨道与地轴oo 相交于距相交于距o为为3R的的C点。不考虑地球的自转和空气阻力，点。不考虑地球的自转和空气阻力，求：求： =？(设地球的质量为设地球的质量为M、半径为、半径为R) Co AMRo3Rmd0vRMmGmo 221 对对o点的角动量守恒：点的角动量守恒： m oR =)43(322GMRRsinoo 解解得得RMmGm3212 m 3Rsin Co oAMRo3Rmd是多少？端重物上

18、升的速度上爬时当人相对绳以匀速人从静止向上爬设系一与人等重的重物另一端了绳的一端的人抓住质量为一轻绳绕过一轻定滑轮例VBuBAm, 4Vu解：体系对解：体系对O点角动量守恒点角动量守恒O绳地人绳人地VVVBxVuV则人对地的速度为物体对地的速度为 ,RrvmmVRRVum)( 0Vu2体系对体系对O点角动量守恒点角动量守恒O 刚体的定刚体的定轴转动轴转动 刚体的角动量刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。刚体上各个质点的角动量之和。设刚体以角速度设刚体以角速度绕固定轴绕固定轴z转动转动,质量为质量为mi的质点对轴的角动量为的质点对轴的角动量为 Li=miviri=mi ri2整个整个刚体对

19、刚体对z轴的角动量轴的角动量就是就是 L=( mi ri2) I= mi ri2,称为称为刚体对刚体对z轴的轴的转动惯量转动惯量。mivirioL ZIL 刚体定轴转动的角动量轴方向zIL, I= mi ri2 即：即：刚体的转动惯量等于刚体中各质点的刚体的转动惯量等于刚体中各质点的质量乘以它们各自到转轴距离的平方的总和。质量乘以它们各自到转轴距离的平方的总和。dmrI2r为刚体上的质元为刚体上的质元dm到转轴的距离。到转轴的距离。质量连续分布刚体质量连续分布刚体和转轴有关和转轴有关,和物体的质量和质量分布有关和物体的质量和质量分布有关转动惯量的计算lllcrommm IO=ml2+ml2=2ml2 例题例题1 质量离散分布刚体：质量离散分布刚体： I= mi ri2 (1)正三角形的各顶点处有一质点正三角形的各顶点处有一质点m，用质量，用质量不计的细杆连接不计的细杆连接,如图。系统对通过质心如图。系统对通过质心C且垂且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为直于三角形平面的轴的转动惯量为)33(lr 23mrIc2iiirmI由公式：通过通过o点且垂直于三角形点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为平面的轴的转动惯量为,2mldmxILLC222Cxxdxdm 例例2质量为质量为m、长度为