大物上10角动量守恒

1、2022-5-241大小和形状大小和形状始终保持不变，刚体始终保持不变，刚体内质点间的相对位置保持不变内质点间的相对位置保持不变2 ran一、刚体定轴转动的描述一、刚体定轴转动的描述刚体的定义和特点刚体的定义和特点刚体的定轴转动刚体的定轴转动各点都作圆周运动，各点都作圆周运动， 角量（角量（， ， ）都一样都一样刚体定轴转动的角量描述刚体定轴转动的角量描述dtd )(t dtd 22dtd rv rv rat2022-5-242221 JEk 刚体转动动能刚体转动动能二、二、 转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量)(12 niiirmJ描述转动物体转动惯性的大小描述转动物体转动惯性的大小231mL

2、J 2121mLJC2mhJJC均匀杆均匀杆均匀圆盘均匀圆盘221mRJC平行轴定理平行轴定理2022-5-243三、三、 转动定律转动定律力矩力矩FrMoz 标量写法标量写法sinFrM转动定律转动定律 JM JM四、转动的动能定理四、转动的动能定理力矩的功力矩的功 21MdA转动的动能定理转动的动能定理21222121 JJA2022-5-2443.2 3.2 角动量守恒定律角动量守恒定律1. 质点的角动量质点的角动量prL mr 大小：大小： sinrmL 方向：方向：沿通过沿通过O点的轴线点的轴线 m rL动量为动量为 的质点，对固定点的质点，对固定点 的的角动量：角动量：po若质点作

3、若质点作圆周运动圆周运动rmL 方向方向与与 方向相同方向相同 2mr J omr L p JL (动量矩动量矩)o方方向向一一致致其其指指向向与与vr vmp 2022-5-245dtLdM )(prdtd 2121LLttLddtM12LL 2.质点的角动量定理质点的角动量定理 dtLdpdtrd dtpdr pv Fr 0 M M LddtM dtMdtF角冲量角冲量冲量冲量冲量矩冲量矩F dtPdprL )( pddtF 质点绕某定轴转动时，所受到的冲量矩等于质质点绕某定轴转动时，所受到的冲量矩等于质点角动量的增量，点角动量的增量， 质点的角动量定理质点的角动量定理2022-5-246

4、1.刚体的角动量刚体的角动量oiir iiJLziLL )(iJ JL刚体系统：刚体系统：nLLLL 21二、二、刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律 JL 用标量用标量 JL规定轴的正方向规定轴的正方向与与转转轴轴正正向向相相同同L0 L与与转转轴轴正正向向相相反反L0 L2022-5-247 2121LLttLddtM12LL 2. 刚体的角动量定理刚体的角动量定理 JMdtdJ )( JdtddtLd 12 JJLddtM 积分形式：积分形式：微分形式：微分形式：质点系转动惯量在运动中发生变化时质点系转动惯量在运动中发生变化时（非刚体非刚体），角动量定理成为：），角动量定理成为：11

5、2221 JJdtMtt 刚体刚体绕某定轴转动时，所受到的冲量矩等于刚绕某定轴转动时，所受到的冲量矩等于刚体角动量的增量体角动量的增量，-刚体的角动量定理刚体的角动量定理 JM2022-5-2483. 角动量守恒定律角动量守恒定律当当 时时0 M012 LLLLL 12(恒矢量恒矢量) JJJ 12= 恒矢量恒矢量几点说明：几点说明：（1）角动量守恒应是）角动量守恒应是J的乘积守恒的乘积守恒不不变变若若 J不不变变 变变化化若若 J变变化化 对于定轴转动的刚体，只要满足合外力矩等于零，则刚体转对于定轴转动的刚体，只要满足合外力矩等于零，则刚体转动的角速度也就不变。例如，在飞机、火箭、轮船上用作

6、定动的角速度也就不变。例如，在飞机、火箭、轮船上用作定向装置的向装置的回转回转仪就是利用这一原理制成的。仪就是利用这一原理制成的。1221 JJdtMtt ,0 )2( 外外若若系系统统 M外外内内但但MM （3 3）角动量定理、角动量守恒定律只适用于惯性系）角动量定理、角动量守恒定律只适用于惯性系可可认认为为系系统统角角动动量量守守恒恒2022-5-249J J J J 对于定轴转动的对于定轴转动的非刚性物体非刚性物体，物体上各质元对转轴的，物体上各质元对转轴的距离是可以改变的。即转动惯量距离是可以改变的。即转动惯量J是可变的当满足合外是可变的当满足合外力矩等于零时，物体对轴的角动量守恒，即

7、力矩等于零时，物体对轴的角动量守恒，即 常矢常矢量这时量这时 与与 成反比，即成反比，即 增加时，增加时， 就变小；就变小； 减少减少时时 ， 就增大。就增大。例如一人站在可绕竖直光滑轴转动的凳上，两手各例如一人站在可绕竖直光滑轴转动的凳上，两手各握一个握一个哑铃哑铃，两臂伸开时让他转动起来，然后他收，两臂伸开时让他转动起来，然后他收拢双臂。在此过程中，对竖直轴而言，没有外力矩拢双臂。在此过程中，对竖直轴而言，没有外力矩作用，转台和人系统对竖直轴的角动量守恒所以，作用，转台和人系统对竖直轴的角动量守恒所以，当双臂收拢后变小了，旋转角速度就增加了如果当双臂收拢后变小了，旋转角速度就增加了如果将两

8、臂伸开，增大了，旋转角速度又会减少。将两臂伸开，增大了，旋转角速度又会减少。2.2.转动惯量转动惯量J J是可变的是可变的花样滑冰运动员、花样滑冰运动员、芭蕾舞芭蕾舞演员在表演时，也是运用演员在表演时，也是运用角动量守恒定律来增大或减少身体绕对称竖直轴转角动量守恒定律来增大或减少身体绕对称竖直轴转动的角速度，从而做出许多优美而漂亮的舞姿。动的角速度，从而做出许多优美而漂亮的舞姿。2022-5-2410 再如：再如：跳水运动员跳水运动员的的“团身团身- -展体展体”动作，当运动员跳水时团身，转动惯量较动作，当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量小，转速较快；在入水前展

9、体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。增大，转速降低，垂直入水。2022-5-2411试用角动量守恒定律解释：猫从高处落下试用角动量守恒定律解释：猫从高处落下时，不论原来的姿势如何。它总是能使自时，不论原来的姿势如何。它总是能使自己的四肢着地，以免摔伤的现象。己的四肢着地，以免摔伤的现象。在下落过程中，猫不可能在身躯伸直的情况下使自己转体。在下落过程中，猫不可能在身躯伸直的情况下使自己转体。因为在上半身向一方向转动时，为保持角动量守恒，下半因为在上半身向一方向转动时，为保持角动量守恒，下半身必向相反方向转动。猫的基本动作是先让自己屈体成身必向相反方向转动。猫的基本动作是先让自己屈体成“U”U”

10、形，再使前半身与后半身绕相反方向转动。形，再使前半身与后半身绕相反方向转动。由于猫身的柔软性，不难完成以上动作。前后半身这种反由于猫身的柔软性，不难完成以上动作。前后半身这种反向转动向转动 使角动量在铅垂方向的分量保持为零。但由于转动使角动量在铅垂方向的分量保持为零。但由于转动时所绕轴不可能完全沿铅垂方向，故不能使角动量的水平时所绕轴不可能完全沿铅垂方向，故不能使角动量的水平分量同时保持为零，为了保持水平方向的角动量为零，猫分量同时保持为零，为了保持水平方向的角动量为零，猫巧妙地借助自己巧妙地借助自己尾巴尾巴的甩动。的甩动。2022-5-2412例例1：匀质细杆长匀质细杆长 l ，质量，质量

11、M，其一端挂在光滑水平轴上静止其一端挂在光滑水平轴上静止一子弹质量一子弹质量 m ，从杆中点穿过，从杆中点穿过0 速度由速度由 变为变为0 (1)、求：杆开始转动时角速度、求：杆开始转动时角速度 解：以子弹、杆为研究对象，解：以子弹、杆为研究对象，作用时间很短，重力可以忽略，作用时间很短，重力可以忽略，系统相对于转轴外力矩为零，角动量守恒。系统相对于转轴外力矩为零，角动量守恒。)( 0Ml2m3 Jlm 2231MlJ 020 lm 2022-5-2413(2)、杆的摆动过程机械能守恒定律，求杆的最大摆角、杆的摆动过程机械能守恒定律，求杆的最大摆角? 0EP 0 解：选择重力势能零点如图解：选

12、择重力势能零点如图0212 J2Ml31J MglJ12 cos2022glM4m31)( )cos( 120lMg2022-5-2414例题例题2 2如图杆长为如图杆长为 l ,l ,质量为质量为 m,m,摩擦系数为摩擦系数为 m m 设开始时杆以角速设开始时杆以角速度度 0 0 绕过中心绕过中心 o o 且垂直与桌面的轴转动且垂直与桌面的轴转动, , olm,0m试求试求: :（1 1）作用在杆的摩擦力矩）作用在杆的摩擦力矩 （2 2）经过多长时间杆才会停止转动）经过多长时间杆才会停止转动)1(解解：rdrlmgm m dMMmglm m41 dmfrdmgrdMm m dm任任取取gdm

13、fm m frMd )(fr 竖竖直直向向下下方方向向 fr drlmdm 22/llrdrlmgm m2022-5-2415由由角角动动量量定定理理：)(200 JJJtM MJt0 gltm m 30 21ttdtM1122 JJ 2121mlJ mglMm m41 考虑方向考虑方向olm,0mdmfr（2 2）经过多长时间杆才会停止转动）经过多长时间杆才会停止转动2022-5-2416例例3：一质量为一质量为m，半径为，半径为R的圆盘放在水平桌面上，轴光的圆盘放在水平桌面上，轴光滑，撤消外力时其转动角速度为滑，撤消外力时其转动角速度为。若盘与桌的摩擦。若盘与桌的摩擦系数为系数为，求，求(

14、1)盘停止的时间？盘停止的时间？(2)合外力的功？合外力的功？解解: (1)Ro drr221mRJ rdfdM rdrgRmr m m 22dmgdmdfm m drrRmgMR2022 m m mgRm m 32t 0 gRm m 43 JM t222121 JJA外外力力矩矩2241 mR(2)gdmrm m dsgrdMm m 动动量量定定理理求求还还可可用用角角 21ttdtM1122 JJ 221mRJ gRtm m 43 2022-5-2417选正方向如图选正方向如图MlAo水平桌面上一均匀细棒，长水平桌面上一均匀细棒，长 l ，质量，质量 M，可绕可绕 O 点转动点转动与桌面滑

15、动摩擦系数为与桌面滑动摩擦系数为m m小滑块质量小滑块质量 m ，水平速度，水平速度1 垂直棒的另一端垂直棒的另一端 A 碰撞，碰撞，碰后速度碰后速度 ，与，与 方向相反。方向相反。1 2 求：细棒开始转动至停止需要时间？求：细棒开始转动至停止需要时间？解：解：过程一：过程一：滑块与棒碰撞滑块与棒碰撞滑块与棒碰撞，角动量守恒滑块与棒碰撞，角动量守恒设：细棒碰后转动角动量设：细棒碰后转动角动量LlmLlm021 )(21mlL 例例4 m2022-5-2418联立得：联立得：过程二：过程二：细棒在摩擦力矩的作用下，减速转动细棒在摩擦力矩的作用下，减速转动dmgf m mdxlMdm dmgxMl

16、f 0m mMglm m21 120LLdtMtf fxdx 由角动量定理由角动量定理L 0)(2121 m m mlMgltMgmtm m )(221 也可由转动定也可由转动定律求（匀减速）律求（匀减速）2022-5-2419人相对地的速度人相对地的速度例例5R4M2MM如图：人、绳、滑轮、如图：人、绳、滑轮、 重物，人相对绳匀速向上爬重物，人相对绳匀速向上爬求：重物上升的加速度求：重物上升的加速度? a解：设人相对绳的速度解：设人相对绳的速度常量常量 u重物上升的速度重物上升的速度 取人、滑轮、重物为研究对象取人、滑轮、重物为研究对象 运用角动量定理运用角动量定理MgRMgRMgRM212

17、1 u系统的角动量系统的角动量RuMMRRML)(4121212 2022-5-2420由角动量定理由角动量定理MRuMRL 813dtdLM )813(21MRuMRdtdMgR dtdMR 813 gdtda134 也可由牛顿定律也可由牛顿定律和转动定律求之和转动定律求之2022-5-2421 6、体重、身高相同体重、身高相同的甲乙两人，分别的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度由初速度为零向上爬，当他们由同一高度由初速度为零向上爬，经过一定时间，经过一定时间，甲甲相对于绳子相对于绳子是乙相对是乙相对于绳子速率的两倍于绳子速

18、率的两倍，则到达顶点的情况，则到达顶点的情况是：是：(A) 甲先到达甲先到达 (B) 乙先到达乙先到达(C) 甲乙同时到达甲乙同时到达(D) 谁先到达不能确定谁先到达不能确定u2 1 单元检测题单元检测题-选择题选择题2022-5-2422解：绳相对地的速度为解：绳相对地的速度为 u甲乙相对绳的速度如图甲乙相对绳的速度如图甲相对地的速度为甲相对地的速度为212 u1 乙相对地的速度为乙相对地的速度为u2 取人、绳为系统取人、绳为系统0M 系统的角动量守恒系统的角动量守恒0umRumR21 )()( 221u 222123212u 甲甲地地22222321u 乙乙地地甲乙同时到达甲乙同时到达u2

19、 1 C2022-5-242312、花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，、花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为转动惯量为 J0 ，角速度为，角速度为 0 ，然后将两臂收回，使转动惯量，然后将两臂收回，使转动惯量减少为减少为 J0 /3 。这时其转动的角速度为。这时其转动的角速度为00003D3C31B31A )( )( )( )(解：运动员旋转时角动量守恒解：运动员旋转时角动量守恒 JJ00 0J31J 03 D2022-5-242413、如图所示，一均匀细杆可绕通过上端、如图所示，一均匀细杆可绕通过上端O点的光滑轴在竖直面点的光滑轴在竖直面内旋转

20、，初始状态静止。现有一小球自左方水平打击细杆，设小内旋转，初始状态静止。现有一小球自左方水平打击细杆，设小球与细杆之间为球与细杆之间为非弹性碰撞非弹性碰撞，则在碰撞过程中，细杆与小球组成，则在碰撞过程中，细杆与小球组成的系统的系统(A) 只有机械能守恒只有机械能守恒(B) 只有动量守恒只有动量守恒(C) 只有对只有对O轴的角动量守恒轴的角动量守恒(D) 机械能、动量和角动量均守恒机械能、动量和角动量均守恒o机械能守恒条件机械能守恒条件动量守恒条件动量守恒条件角动量守恒条件角动量守恒条件0A 外外0A 非非保保内内0F 外外0M 外外C解：解：2022-5-2425大小和形状大小和形状始终保持不变，刚体始终保持不变，刚体内质点间的相对位置保持不变内质点间的相对位置保持不变2 ran一、刚体定轴转动的描述一、刚体定轴转动的描述刚体的定义和特点刚体的定义和特点刚体的定轴转动刚体的定轴转动各点都作圆周运动，各点都作圆周运动， 角量（角量（， ， ）都一样都一样刚体定轴转动的角量描述刚体定轴转动的角量描述dtd )(t dtd 22dtd rv rv rat第二章之刚体的转动小结第二章之刚体的转动小结2022-5-2426221 JEk 刚体转动动能刚体转动动能二、二、 转动惯量转动惯量转动惯量转动