第3章 逻辑函数

1、第3章 逻辑函数 主讲：成洁主要内容主要内容 基本逻辑运算基本逻辑运算 逻辑代数的基本公式和规则逻辑代数的基本公式和规则 逻辑函数的化简逻辑函数的化简3.1 概 述n逻辑代数是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。n本节讨论：逻辑变量、逻辑函数、基本逻辑运算和逻辑代数公式，以及化简逻辑函数的两种方法公式法和图形法。逻辑逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。就是用逻辑代数来描述。事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代

2、数中可以抽象地表示为可以抽象地表示为 0 和和 1 ，称为，称为逻辑逻辑0状态状态和和逻辑逻辑1状态状态。逻辑代数中的变量称为逻辑代数中的变量称为逻辑变量逻辑变量，用大写字母，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑和逻辑1，0 和和 1 称为称为逻辑常量逻辑常量，并不表示数量的大小，而是，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。表示两种对立的逻辑状态。 数字电路的特点及描述工具数字电路的特点及描述工具 数字电路是一种开关电路；数字电路是一种开关电路； 输入、输出量可用（输入、输出量可用（0，l）来表示。）来表示。 输入量和输出量之间的

3、关系是一种逻辑上的因果输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。关系。 仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函数数的数学的数学工具来描述。工具来描述。逻辑函数：逻辑函数： 如果对应于输入逻辑变量如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一的每一组确定值，输出组确定值，输出逻辑变量逻辑变量F就就有唯一确定的值，则有唯一确定的值，则称称F是是A、B、C、的逻辑函数。记为的逻辑函数。记为),(CBAfF 真值表、逻辑表达式、真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图、卡诺图逻辑图、波形图、卡诺图 公理3：公理4：公理5：3.2 逻辑代数的运算规则一一. 基本公理基

4、本公理公理1：设A为逻辑变量，若A0，则A1；若Al，则A0。公理2：0 0 0 ； 1 + 1 11 1 1； 0 + 0 0 。0 1 0 ； 1 + 0 1 。 1 0 0 ； 0 + 1 1 。1001 二二. 基本基本定律定律4、互补律： 0 1+AAAA分别令分别令A=0及及A=1代代入这些公式，即可证入这些公式，即可证明它们的正确性。明它们的正确性。1、0-1 律： 00A 11A+2、自等律： A1A A0A+（8）6、交换律交换律7、结合律结合律8、分配律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)

5、=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代数不普通代数不适用适用!(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC重叠律重叠律AA=AAA=A=A(1+B+C)+BC分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+BC0-10-1律律A+1=1A+1=1例例1、证明分配律：、证明分配律：A+BC=(A+B)(A+C)证明：证明：（10）吸收：多余（吸收：多余（冗余冗余）项，多余（）项，多余（冗余冗余）因子被取消、）因子被取消、去掉去掉 被消化了。被消化了。原原变量的吸收：变量的吸收： A

6、 + AB = A证明：证明：左式左式=A(1+B)原式成立原式成立口诀：口诀：长中含短长中含短,留下短。留下短。长项长项短项短项 =A =右式右式1|9.吸收律吸收律（11） 反变量的吸收：反变量的吸收： A + A B = A + B 证明：证明：=右式右式口诀：口诀：长中含反长中含反,去掉反。去掉反。原原(反反)变量变量反反(原原)变量变量添冗余项添冗余项BAABA+ + + 左左式式)AA(BA+ + + 1|BABAAABAA+)()(另证：另证：10.等同律等同律（12）混合混合变量的吸收：变量的吸收： 证明：证明：添冗余因子添冗余因子 A B + A C + BC=AB+AC 互

7、互为为反反变量变量=右式右式口诀：口诀：正负相对正负相对,余全完。余全完。（消消冗余项）冗余项）添加添加BCCAAB+ + + 左左式式BC)AA(CAAB+ + + + BCAABCCAAB+ + + + )BCACA()ABCAB(+ + + + CAAB + + 12.包含律包含律包含律推论：该式说明：两个与项相加时，若它们分别包含该式说明：两个与项相加时，若它们分别包含A和和 因子，则两项中的其余因子组成可添加的第因子，则两项中的其余因子组成可添加的第三个与项。其逆式也成立，即三个与项相加时，三个与项。其逆式也成立，即三个与项相加时，若两项中分别有若两项中分别有 和和A因子，而这两项的

8、其余因因子，而这两项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。的，可以消去。AABCDCAABCAAB+三三、 摩根定理摩根定理(反演律）反演律）（14）（De Morgan)证明：证明：真值表法、真值表法、穷举法穷举法推广到多变量：推广到多变量：CBACBA + + +CBACBA+ + + 说明：两个（或两个以上）变量的说明：两个（或两个以上）变量的与非与非（或非或非）运算等于两个（或两个以上）变量的运算等于两个（或两个以上）变量的非或非或（非与非与）运算。运算。BABA+ + 1BABA + + 2用真值表证明摩根定理成立用

9、真值表证明摩根定理成立（15）A B=A+B A+B= A BA B0 00 11 01 1Y1=ABY2=A+B11101110相等相等 摩根定理摩根定理 AA100 A0 AAAAAABBAABAA+)(AA )()(CBACBAACABCBA+)(BABA+01AA+ 011 +A1+ AAAAA+ABBA+AABA+)()(CBACBA+)(CABABCA+BABA+10 AA01 AA0 AAABBA)()(CBACBAACABCBA)(BABAAB +AA1=A B=自等律自等律说明说明公公 式式求反律求反律反演律反演律分配律分配律结合律结合律还原律还原律吸收律吸收律交换律交换律重

10、叠律重叠律互补律互补律01律律四. 基本运算规则 n(1)(1)代入规则代入规则 n在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之一个函数，则等式仍然成立。这个规则叫代入规则 。n例如：等式CBABCABCA+BABA+若用若用F=AC代替代替A，则根据代入规则，等式，则根据代入规则，等式仍成立，即仍成立，即A+C+D=A C+D反演律反演律A+B=AA+B=AB B用用Y=C+DY=C+D代替代替B B=A C D例例1、证明：、证明：A+C+D=A C D证明：证明：(2)反演规则反演规则 内容：内容：将函数式将函数式F中所有的中所有的 + 变量与常数均取反变量与常数均取反1

11、.遵循先括号遵循先括号 再乘法再乘法 后加法的后加法的运算顺序运算顺序。2.不是单个变量上的反号保留不变。不是单个变量上的反号保留不变。规则规则:用处：用处：实现互补运算（求反运算）。实现互补运算（求反运算）。新表达式：新表达式：F显然：显然：FF (反函数反函数)例例2：1)DC()BA(F1 + + + + 0DCBAF1+ + + + 与或式与或式注意括号注意括号注意注意括号括号DBDACBCAF1+ + + + )EDCB(A+ + + + )EDCB(A + + + 例例3：EDCBAF2+ + + + + EDCBAF2 与或式与或式反号不动反号不动EDCBAF2+ + + + +

12、 EDACABAF+2反号不动反号不动解解1： 解解2： 逻辑代数的三条规则n练习1：求下列逻辑函数的反函数： CDCBAF1+ + + + CDC)BA(F1 + + E)DCBA(F2 + + E)DCB(AF2+ + + + 利用反演规则时须注意以下两点：n仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算顺序。n不属于单个变量上的长非号，在利用反演规则时应保持不变，而长非号下的变量及和号符号仍按反演规则处理。 德摩根定理实际上是反演规则的一个特例。 BAFBAF+BAF+（25）(3) 对偶定理对偶定理将函数式将函数式F中所有的中所有的对偶式：对偶式： + 常量常量取反取反新表达式：新表达式：F

13、对偶式对偶式对偶定理：对偶定理：当某个逻辑恒等式成立时，当某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立。则其对偶式也成立。若若0DCBAF1+则：则：1D)(C)BA(F1+DBCBDACA+（26）注：证明两个逻辑式相等时，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成。A+BC = (A+B)(A+C)A(B+C)AB+AC=使用对偶规则时，同样要注意运算的优先级别；正确使用括号；原式中的长非号，短非号均不变。对偶规则对偶式的两个重要性质：F*=G*性质1：若F（A，B，C，）=G（A，B，C，），则性质2：（F* ）*= F逻辑代数的三条规则n练习2：求下列逻辑函数的对偶式： )(1CBAF+CDABF

14、+2DCABF+3BCAF+1)(2DCBAF+CDBAF)(3+CAABBCCAAB+ + + + +)CA()BA()CB()CA()BA(+ + + + + + + + + +3.3 逻辑函数的表示方法n逻辑函数n数字电路研究的是输出变量和输入变量之间的逻辑关系。图示为二输入、一输出的数字电路框图。ABF=f(A,B)数字电路框图数字电路框图数字电路数字电路当输入变量当输入变量A、B取值为逻辑值取值为逻辑值0或或1时，输出时，输出F也只能也只能是是0或或1。 （31）四种表示方法四种表示方法逻辑函数式逻辑函数式 (逻辑表示式逻辑表示式, 逻辑代数式逻辑代数式) 逻辑电路图逻辑电路图:卡诺

15、图卡诺图n2n个输入变量个输入变量 种组合。种组合。真值表：真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。一对应列出的表格。BABAY+逻辑函数逻辑函数的表示方法的表示方法 0 1 0 1 0 0 1 10 100011110CAB真值表表示法 n描述逻辑函数各个变量取值组合和函数值对应关系的表格，称为真值表真值表。n由于每一个输入变量有0、1两个取值，n个个输入变量有输入变量有2n个不同的取值组合个不同的取值组合，将输入变量的全部取值组合和相应的函数值一一列举出来，即可得到真值表。

16、n通常输入变量的全部取值组合按二进制顺序按二进制顺序进行，以防遗漏，并方便检查。 真值表表示法 n真值表直观明了直观明了，把实际逻辑问题抽象为数学问题时，使用真值表很方便。当变量较多时，为避免烦琐可只列出那些使函数值为1的的输入变量取值组合。n例：三人就某一提议进行表决，试列出表决结果的真值表。 真值表表示法 n解：设输入变量A、B、C代表三人，F代表表决结果，两人以上同意者为1（表示通过），否则为0。nA、B、C：同意为1，不同意为0。nF：通过为1，不通过为0。n则真值表为： 000101110 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1FA B C 表决

17、逻辑真值表表决逻辑真值表函数表达式表示法函数表达式表示法 n用与、或、非等运算表示函数中各个变量之用与、或、非等运算表示函数中各个变量之间逻辑关系的代数式子，叫做间逻辑关系的代数式子，叫做函数表达式函数表达式。n特点：特点：n简洁方便。能高度抽象而且概括地表示各个变量简洁方便。能高度抽象而且概括地表示各个变量之间的逻辑关系。之间的逻辑关系。n便于利用逻辑代数的公式和定理进行运算、变换。便于利用逻辑代数的公式和定理进行运算、变换。n便于利用逻辑图实现函数。便于利用逻辑图实现函数。n缺点是难以直接从变量取值看出函数的值，不如缺点是难以直接从变量取值看出函数的值，不如真值表直观。真值表直观。BABA

18、Y+逻辑图表示法 n把函数表达式输入变量间的逻辑关系用逻辑符号表示出来而得到的电路图，称逻辑图逻辑图。逻辑图只反映电路的逻辑功能，而不反映电器性能。n一般可根据逻辑表达式画逻辑图根据逻辑表达式画逻辑图。方法是把逻辑表达式中相应的运算用门电路的符号来代替。逻辑图表示法 n例：将F=AB+BC+CA画成逻辑图。例：对于图示电路试写出其输出端的逻辑式。练习：对于图示电路试写出其输出端的逻辑式。真值表 此电路为半加器，当输入端的值一定时，输出的取值也随之确定，与电路的过去状态无关，无存储单元，属于组合逻辑电路。BABA BAY2=A B+ABA B卡诺图表示法 n卡诺图（Karnaugh Map）是逻

19、辑函数的一种图形表示方法。n卡诺图和真值表一样可以表示逻辑函数和输入变量之间的逻辑关系。n卡诺图是用图示方法将各种输入变量取值组合下的输出函数值一一表达出来。AB01010123A B F0 00 11 01 1二二变量卡诺图与相应真值表对应关系变量卡诺图与相应真值表对应关系卡诺图卡诺图表述方式表述方式 n对于对于n个变量，如果某个变量，如果某乘积项乘积项含有含有n个因子个因子，每个因子以每个因子以原变量原变量或或反变量反变量的形式仅仅出现的形式仅仅出现一次一次，则这个乘积项称为最小项。，则这个乘积项称为最小项。nn个变量一共有个变量一共有2n个最小项。因为每一个变量个最小项。因为每一个变量都

20、有两种状态都有两种状态原变量和反变量，而变量一原变量和反变量，而变量一共有共有n个。个。3.4 逻辑函数的标准形式3.4.1 最小项表述最小项表述1最小项的定义最小项的定义最小项编号最小项编号 n编号方法：把与最小项对应的那一组变量取编号方法：把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制，值组合当成二进制数，与其对应的十进制，就是该最小项的编号。就是该最小项的编号。n下表为三变量的最小项及其编号。下表为三变量的最小项及其编号。变量的各组取值A B C000001010011100101110111对应的最小项及其编号最小项编 号CBA CBA CBA CBA CBA CBA

21、 CBA CBA om1m2m3m4m5m6m7m例：三变量函数的最小项：编号规则编号规则:原变量取原变量取1,反变量取反变量取0。 变量赋值为变量赋值为1时时用原变量表示；变用原变量表示；变量赋值为量赋值为0时用该变时用该变量的反变量来表示量的反变量来表示:可见输入变量的可见输入变量的八种状态分别唯八种状态分别唯一地对应着八个一地对应着八个最小项最小项。=?(2)最小项性质 ABCCBACBACBABCACBACBACABABC三三变量最小项真值表变量最小项真值表m7m6m5m4m3m2m1m0编号编号000000010000001000000100000010000001000000100

22、0000100000010000000000001010011100101110111n个变量的逻辑函数有个变量的逻辑函数有2n个最小项。个最小项。每一个最小项对应了一组变量取值，任意一个最小项，每一个最小项对应了一组变量取值，任意一个最小项，只有对应的那一组取值使其值为只有对应的那一组取值使其值为1，其它均为，其它均为0。任意两个最小项之积恒为任意两个最小项之积恒为0，记作：，记作：mimj=0（ij）所有最小项的逻辑和为所有最小项的逻辑和为1，记作，记作mi=1（i=0，1，2，2n-1）(6)n个变量逻辑函数的每一个最小项都有个变量逻辑函数的每一个最小项都有n个相邻项。个相邻项。相邻是指

23、逻辑相邻。相邻是指逻辑相邻。(5)两个最小项相加可以消去互为反变量的因子。两个最小项相加可以消去互为反变量的因子。 逻辑相邻：逻辑相邻：若两个最小项只有一若两个最小项只有一个因子以原、反区别，其他个因子以原、反区别，其他因子均相同，则称这两个最因子均相同，则称这两个最小项具有小项具有逻辑相邻性逻辑相邻性。 如果一个具有如果一个具有n个变量的函数的个变量的函数的“或或”项包含项包含全部全部n个变量个变量, 每个变量都以每个变量都以原变量原变量或或反变量反变量形式形式出现出现, 且且仅仅出现出现一次一次，则这个，则这个“或或”项被称为项被称为最大最大项项。假如一个函数完全由最大项假如一个函数完全由

24、最大项的的积积组成组成, 那么该那么该函数表达式称为函数表达式称为最大项表达式最大项表达式。 3.4.2 最大项表述方式最大项表述方式1最大项的定义最大项的定义变量的各组取值A B C000001010011100101110111对应的最大项及其编号最大项编 号CBA+CBA+CBA+CBA+CBA+CBA+CBA+CBA+oM1M2M3M4M5M6M7M例：三变量函数的最大项：编号规则编号规则:原变量取原变量取0,反变量取反变量取1。所以与最小项类似，有0120iiMn0),(),(2121nnAAAfAAAf因iinnMAAAfAAAfn1202121),(),( 而注意：变量顺序.)(

25、)()(),(CBACBACBACBACBAF+5410MMMM例如：例如：)5 , 4 , 1 , 0(M最大项表达式: F2. 最大项的性质最大项的性质 ：1）只有一组取值使 Mi0。 3）全部最大项之积等于0，即Mi0。01, 0, 0,11时，只有例：MCBACBAM+1)()(41+CBACBAMM例：2）当ji 时，1+jiMM。最大项的性质(续)4）n变量的最大项有n个相邻项。一对相邻项之积可以消去一个变量。取反取反取反：项其邻项有例三变量最大项C; M B; M A; M )3( M 3062CBACBACBACBA5）当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真

26、值表（在真值表中，函数所包含的最大项填“0”）。3最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系下标下标i相同的最小项与最大项互补，即相同的最小项与最大项互补，即 mi M i 。例：例：A BC=A + B + C3.4.3 标准与或表达式n最小项是组成逻辑函数的基本单元最小项是组成逻辑函数的基本单元n任何逻辑函数都可以表示成为最小项之和的任何逻辑函数都可以表示成为最小项之和的形式形式标准与或式，并且这种形式是唯一的。标准与或式，并且这种形式是唯一的。就是说，就是说，一个逻辑函数只有一个最小项之和一个逻辑函数只有一个最小项之和的表达式的表达式。 最小项表达式的求法最小项表达式的求法一般表达式一般表

27、达式： 除非号除非号去括号去括号补因子补因子真值表真值表ABBACABF+)(:例ABBACBAABBACABABBACAB+)()( ABCBABCA+ CABABCCBABCACCABCBABCA+)(+)7 , 6 , 5 , 3(6753mmmmm除非号除非号去括号去括号补因子补因子方法方法用真值表求用真值表求最小项表达式最小项表达式+)5 , 4 , 3 , 1 (5431m mmmmF例例：函数 F=AB + AC A B C F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11111其其余余补补00000n例：写出Y1=AB+BC+AC的最小项表达

28、式n解： +mmmmmBCACBACABABCCBAABCBCAABCCABABCBBACAABCCCABACBCABY)3 , 5 , 6,7()()()(35671CDABY+2CDBBAADDCCABY)()(2+DABCABCDCDBBCDAADDCABABC)()(iiim)15,14,13,12,11, 7 , 3(CDABY+2iiim)15,14,13,12,11, 7 , 3(3.4.4 标准或与表达式标准或与表达式 3.4.5 两种标准形式的相互转换对于一个n变量的逻辑函数F，若F的标准与或式由K个最小项相或构成，则F的标准或与式一定由 2n K 个最大项相与构成，并且对于

29、任何一组变量取值组合对应的序号i，若标准与或式中不含mi，则标准或与式中一定含Mi。ABCCABBCACBACBAF+),(：例例如如= m(2, 3, 6, 7)F(A,B,C)= m(0, 1, 4, 5)ABCCABBCACBAFF+=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)5 , 4 , 1 , 0(M而:所以,有 F(A,B,C)=m(2,3,6,7)= M(0,1,4,5)F(A,B,C)= m(0,1,4,5)7 , 6 , 3 , 2(M同理n找出那些使函数值为找出那些使函数值为1 1的变量取值组合，变量的变量取值组合，变量值为值为1 1的写成原变量，为的写成原

30、变量，为0 0的写成反变量，这的写成反变量，这样对应于使函数值为样对应于使函数值为1 1的每一个组合就可以写的每一个组合就可以写出一个乘积项，把这些乘积项加起来，可以出一个乘积项，把这些乘积项加起来，可以得到函数的原函数的标准与或式。得到函数的原函数的标准与或式。 把函数值为把函数值为0 0的对应乘积项相加，则得反的对应乘积项相加，则得反函数。函数。3.4.6 逻辑函数表达式与真值表的相互转换1由真值表求对应的逻辑函数表达式由真值表求对应的逻辑函数表达式n例：写出表决逻辑的原函数和反函数的标准与或式。n解 ：ABCCABCBABCAF+CBACBACBACBAF+000101110 0 00

31、0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1FA B C表决表决逻辑真值表逻辑真值表2.由由函数式写真值表函数式写真值表n将输入变量的各种组合一一代入函数式中计算将输入变量的各种组合一一代入函数式中计算输出变量值，全部完成后得到输出变量值，全部完成后得到真值表真值表。01101111例如：例如：Y=A+BC+ABC，求它的真值表。求它的真值表。3.5 逻辑代数化简法逻辑代数化简法 同一个逻辑函数可以有多种表达形式，一种形式的表达式，同一个逻辑函数可以有多种表达形式，一种形式的表达式，对应一种电路，尽管它们的形式不同，但实现的逻辑功能相对应一种电路，尽管它们的形式不同，但实

32、现的逻辑功能相同，所以在实现某种函数的电路时，重要的是如何处理函数，同，所以在实现某种函数的电路时，重要的是如何处理函数，以尽量少的单元电路、以及电路类型来达到目的。以尽量少的单元电路、以及电路类型来达到目的。化简的意义：电路简单化简的意义：电路简单 使用已有器件使用已有器件化简的方法：代数化简法（公式法）化简的方法：代数化简法（公式法） 卡诺图化简法卡诺图化简法 n一般说来，表达式越简单，实现起来逻辑电路也越简单。n默认最简形式为最简默认最简形式为最简与或式与或式，即用最少的与，即用最少的与门和或门来实现函数。门和或门来实现函数。 n与或表达式最简，由它转换得来的表达式，一般来说也就最简。最

33、简与或式最简与或式：乘积项的乘积项的项数最少项数最少。每个乘积项中每个乘积项中变量个数最少变量个数最少。1. 并项化简法并项化简法 利用公式利用公式 可以把两项合并为一项，可以把两项合并为一项，并消去一个变量。并消去一个变量。1+ AA例：例：1)(1+BCBCBCBCAABCBCAABCFABAABCCBACCABCBACABCBAABCCBCBACBBCAF+)()()()(2逻辑函数化简 n2. 吸收法：根据公式A+AB=A可将AB项消去，A和B同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。 BCDCBABCAAF+)(例：化简例：化简BCADCBABCABCABCDCBABCAABCDCBABCA

34、AF+)()()()(解解:将将A+BC看成一项看成一项 长中含短长中含短,留下短。留下短。逻辑函数化简 EBAEBBAEBABAF+1利用公式利用公式 可将可将 中的因子中的因子 消去。消去。A、B均可是任何复杂的逻辑式。均可是任何复杂的逻辑式。BABAA+BAA例：例： CDBABACDBABABABACDBAABBABACDBAABCDBABAF+)(2长中含反长中含反,去掉反。去掉反。3. 配项化简法配项化简法 方法方法 方法方法 长长中含短，留下中含短，留下短短吸收消去吸收消去4. 消去冗余项化简法消去冗余项化简法 （70）DEFGEFBACEFBDCAABDAADF2+ + + +

35、 + + + + ( (合并项合并项) )（长中含短，留下短）（长中含短，留下短）ADEFGEFBBDCAA+ + + + + ( (长中含反长中含反, ,去掉反去掉反) )吸收吸收消去消去吸收消去吸收消去( (正负相对正负相对, ,余全完余全完) )吸收消去吸收消去（最简与或式）（最简与或式）EFBBDCAF2+ + + + DEF:冗余因子冗余因子DEFG:冗余项冗余项（71）)GF(ADEDBDBCBCBCAABF3+ + + + + + + + 添冗余项：添冗余项：BA(正负相对正负相对,余全完余全完)消冗余项消冗余项DBDBCBCBA+ + + + + （长中含短，留下短）（长中含短

36、，留下短）添冗余项：添冗余项：DC（最简与或式）（最简与或式）(正负相对正负相对,余全完余全完)DCDBCBAF3+ + + + 合并项：合并项： A（72）添冗余项：添冗余项：DC（最简与或式）（最简与或式）( (正负相对正负相对, ,余全完余全完) )添冗余项：添冗余项：BA( (正负相对正负相对, ,余全完余全完) )消冗余项消冗余项DBDBCBCBA+ + + + + （长中含短，留下短）（长中含短，留下短）合并项：合并项： ADCDBCBAF3+ + + + )GF(ADEDBDBCBCBCAABF3+ + + + + + + + （73） 化简结果不唯一化简结果不唯一)GF(ADE

37、DBDBCBCBCAABF3+ + + + + + + + 经过化简得最简与或式经过化简得最简与或式:或者或者:项数项数,因子数对因子数对应相同。应相同。讨论讨论:DCDBCBAF3+ + + + DCDBCBAF3+题题1：ABCCABCBAF+课堂练习课堂练习用公式化简法化简下列逻辑函数式：用公式化简法化简下列逻辑函数式：题题2：CBBCBAABF+ + + + 题题3: CDDACABCCAF+题题1：ABCCABCBAF+反变量吸收反变量吸收提出提出AB=1提出提出A课堂练习课堂练习)(CCABCBA+ABCBA+)(BCBA+)(BCA+ABAC +用公式化简法化简下列逻辑函数式：用

38、公式化简法化简下列逻辑函数式：CBBCBAABF +)(CBBCBAAB+）（反演反演CBBCAABCCBACBAAB+被吸收被吸收被吸收被吸收CBBBCAAB+)(CBCAAB+CBAABCCCBAAB+)()(配项配项题题2：CDDACABCCAF+简化)()(DDACBCCAF+)()(DACBCA+CDACABCA+CDABCCA+)(CDACDB)A(+1BABAA+解：题题3：将将n个输入变量的全部最小项用小方块个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是相邻的几何位置上，所得到的阵列

39、图就是n变量的变量的卡诺图卡诺图。 卡诺图的每一个方块卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方组合注明在阵列图的上方和左方和左方。3.6 卡诺图化简法3.6.1 与或表达式的卡诺图表示00 01 11 1000011110CDABDCBA ACDCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA ABCDCDBADCBA DCBA DABCDCBADBn最小项卡诺图的画法最小项卡诺图的画法n画正方形或矩形，图形中分割出画正方形或矩形，图形中分割出2n个小方个小方格，格，n

40、为变量的个数，每个最小项对应一个小为变量的个数，每个最小项对应一个小方格。方格。n变量取值按循环码排列（变量取值按循环码排列（Gray Code），其），其特点是相邻两个编码只有一位状态不同。特点是相邻两个编码只有一位状态不同。n变量卡诺图形象地表达了变量各个最小项之变量卡诺图形象地表达了变量各个最小项之间在逻辑上的相邻性。间在逻辑上的相邻性。00 01 11 1001BCACBA CBACABCBA CBA BCAABCCBA AACCBBCB01A01m3m0m2m1 卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上

41、组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。方和左方。m0m2m1诺图的思想源于两个逻辑相邻的最小项可以诺图的思想源于两个逻辑相邻的最小项可以化简的性质。化简的性质。二变量卡诺图（A，B）mo m2m1 m3 0101ABAB 0101BA BABA ABBBAA逻辑相邻：逻辑相邻：相邻单相邻单元输入变量的取值元输入变量的取值只能有一位不同。只能有一位不同。0100011110 ABCm0m1m3m2m4m5m7m6输入变量输入变量三变量卡诺图三变量卡诺图注意：注意：m2与与m0逻辑相邻。逻辑相邻。m0m3m5m1mo m1m2 m3m6 m7 m4 m50 100011110CABA

42、BCD0001111000011110四变量卡诺图四变量卡诺图卡诺图的特点：具有循环邻接的特性。卡诺图的特点：具有循环邻接的特性。m5m1m4m7m13说明： 2个或以上变量，按循环码规则排列；个或以上变量，按循环码规则排列； 每个小方格对应一个最小项；每个小方格对应一个最小项； 相邻方格的最小项，具有逻辑相邻性相邻方格的最小项，具有逻辑相邻性，即即有一个变量互为反变量；有一个变量互为反变量；具有逻辑相邻性的方格有：具有逻辑相邻性的方格有：相接相接几何相邻的方格；几何相邻的方格；相对相对上下两边、左右两边的方格；上下两边、左右两边的方格；相重相重多变量卡诺图，以对称轴相折叠，重在一齐的多变量卡

43、诺图，以对称轴相折叠，重在一齐的方格。方格。逻辑相邻的最小项可以消去互补变量逻辑相邻的最小项可以消去互补变量mo m1m2 m3m6 m7 m4 m50 100011110CAB三变量卡诺图逻辑相邻举例00 01 11 1001B CACBA CBACABCBA CBA BCAABCCBA 相接相对00 01 11 1001B CACBA CBACABCBA CBA BCAABCCBA 四变量卡诺图逻辑相邻举例相接相对相对00 01 11 1000011110CDABDCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA ABCDCDBADCBA D

44、CBA DABCDCBA函数卡诺图函数卡诺图 用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形式表现出来。卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形式表现出来。方法方法真值表真值表 填卡诺图填卡诺图表达式表达式 一般与或式一般与或式 填卡诺图填卡诺图化成最小项表达式化成最小项表达式 填卡诺图填卡诺图真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。由真值表填卡诺图由真值表填卡诺图A B CF0 0 000 0 110 1 000 1 111 0 011 0 111 1 001 1 1

45、0mo m1m2 m3m6 m7 m4 m50 100011110CAB 0 100011110CAB对应最小项填1其余补0 0 1 1 0 1 1 0 000 01 11 1001BCAmo m1 m3 m2m4 m5 m7 m600 01 11 1001BCA 1 1 1 1 0 0 0 0例如：例如： 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 1000 01 11 1000011110CDABACABDCBAF+ABCDDABCCDBADCBADCABABCDDCBADCBA+ +)15,14,13,11,10, 5 , 4(15141110131545mmm

46、mmmmmm 1 1 1 1 1 1 1 00 01 11 1000011110CDAB由一般与或式由一般与或式 填卡诺图示例填卡诺图示例:三变量三变量CAABF+ 1 1 1 1 00 01 11 1001BCA00 01 11 1001BCA1 11 1示例示例:四变量四变量DCBCDBADBBDF+ 00 01 11 1000011110CDAB1111111111100 01 11 1000011110CDAB111111 1 11（91）3.6.2 与或表达式的卡诺图化简n原理：相邻的两个最小项可以化简消去一原理：相邻的两个最小项可以化简消去一对因子。对因子。010010010010

47、1111ABCD0001111000011110（92）一、化简原则一、化简原则n如果两个最小项相邻，可以合并为一项并如果两个最小项相邻，可以合并为一项并消去消去一对一对因子；因子；n如果四个最小项相邻，可以合并为一项并如果四个最小项相邻，可以合并为一项并消去消去两对两对因子；因子；n如果八个最小项相邻，可以合并为一项并如果八个最小项相邻，可以合并为一项并消去消去三对三对因子；因子；n如果如果2n 个最小项相邻，可以合并为一项并个最小项相邻，可以合并为一项并消去消去n对对因子。因子。（93）两个最小项相邻的情况两个最小项相邻的情况11 11111111（94）四个最小项相邻的情况四个最小项相邻

48、的情况111111111111111111111111（95）八个最小项相邻的情况八个最小项相邻的情况1111111111111111111111111111111111111111（96）二、卡诺图法化简步骤二、卡诺图法化简步骤(一一)布阵布阵（画法规则）（画法规则）(二二)填项填项(用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数)(三三)勾圈化简勾圈化简(用卡诺图用卡诺图化简化简)三三步步曲曲(一一)布阵（画法规则）：布阵（画法规则）：1.N=2n 格（格（n 5）: 最小项最小项2.循环码编排循环码编排循环邻接循环邻接上下封闭上下封闭布布阵阵（97）A BC D0 00 11 11 00 00

49、 11 1 1 0ABDC m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m8 m9 m11 m10 m12 m13 m15 m14高位高位低位低位（98）(二二) 填项：填项：用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数填填F=1的项的项1.最小项直接填入；最小项直接填入；2.刷项（填公因子所包含的项）；刷项（填公因子所包含的项）；3.按按 （m0 , m15) 编号填入。编号填入。按按F=1的的与或式与或式填项填项方法方法（99）例例1:BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F1+ + + + + A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC1直接填入直接填入

50、)CC + +（1公因子公因子:BDA有重复有重复“1”者，只填一个者，只填一个“1”。（100）A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC1111公因子公因子:BD 有重复有重复“1”者，只填一个者，只填一个“1”。刷项：刷项：填公因子包填公因子包含的项含的项例例1:BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F1+ + + + + （101）A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC1111 1 1 1 11 1 1 1有重复有重复“1”者，只填一个者，只填一个“1”。刷项：刷项：填公因子包填公因子包含的项含的项例例1:BADCBAB

51、DABDBA)D,C,B,A(F1+ + + + + （102）A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1F=1的项全部填完以后的项全部填完以后,填项填项结束结束;不填者自动为不填者自动为“0”。例例1:BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F1+ + + + + （103）(三三) 勾圈化简：勾圈化简：1.尽量勾大，尽量勾大，2i个格消个格消i个变量个变量(i n);3.每个圈至少有一个每个圈至少有一个独立格独立格；4.圈必须覆盖所有的圈必须覆盖所有的“1”，即不能，即不能遗漏取值为遗漏取值为“1”的小方块。的小方

52、块。勾勾圈圈原原则则得到得到最简与或式最简与或式。2.“1”可以重复利用；可以重复利用；（104）A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1D保留公因子：保留公因子：消消取值不同的变取值不同的变量：量：1+ AAB保留公因子：保留公因子：DB)D,C,B,A(F1+ + 合理重叠（合理重叠（“1”可以重复使用）。可以重复使用）。例例1:BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F1+ + + + + （105）也可以取也可以取F=0的项化简的项化简:A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 01 1 1

53、 11 1 1 1 1 1 1 10000DB)D,C,B,A(F1 DB + + DB)D,C,B,A(F1 （106）DCBAABDDCBBA)D,C,B,A(F2+ + + + BA BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD 1 1 1 111填项：填项：（107）BA BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD 1 1 1 1111 11DCBAABDDCBBA)D,C,B,A(F2+ + + + F=1的项全部填完以后的项全部填完以后,填项结束。填项结束。（108）BA BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD 1

54、 1 1 1111 11CABACBADADCBBACA)D,C,B,A(F2+ + + + ADCBBA)D,C,B,A(F2+ + + 冗余项冗余项DCBAABDDCBBA)D,C,B,A(F2+ + + + 勾圈化简勾圈化简（109）CBBACABA)C,B,A(F3+ + + + 练习练习：用公式化简法得到下式，问是否最简，用公式化简法得到下式，问是否最简，若不是若不是,请化简之。请化简之。ABC0100 01 11 101 11 1BC填项：填项：（110）练习：练习：用用公式化简法得到下式，问是否最简，公式化简法得到下式，问是否最简，若不是若不是,请化简之。请化简之。ABC0100

55、 01 11 101 11 111BCCBBACABA)C,B,A(F3+ + + + F=1的项全部填完以后的项全部填完以后,填项结束。填项结束。（111）ABC0100 01 11 101 11 111BACACBCBCABA)C,B,A(F3+ + + CBBACABA)C,B,A(F3+ + + + 勾圈化简：勾圈化简：（112）ABC0100 01 11 10 1 11 111CACBBABACBCA)C,B,A(F3+ + + CBBACABA)C,B,A(F3+ + + + CBCABA)C,B,A(F3+ + + （113）ABC0100 01 11 101 11 111ABC

56、0100 01 11 101 11 111说明：化简结果不唯一。说明：化简结果不唯一。（114）练习：练习： F4(A,B,C,D)= m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15) F4= （m0,m1,m2,m5,m6,m7,m8,m10,m11,m12,m13,m15) BA BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD111111111111高位高位低位低位(A,B,C,D)（115）BA BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD111111111111BDCBADCADCACBACBADCADCACBABD+ + + + +

57、 F4(A,B,C,D)= m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)每次勾圈时，应包含每次勾圈时，应包含尽量多的独立格。尽量多的独立格。（116）BA BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD111111111111DBCABBCADCAACDDCAACDBCACABDB+ + + + + CBADCADCACBABD+ + + + + F4(A,B,C,D)= m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)（117）B ABCD0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ACD111111111111BABCD0 00 11

58、 11 00 00 11 1 1 0ACD111111111111每次勾圈每次勾圈 时，应包时，应包 含含尽量多的独立格尽量多的独立格, 以避免出现以避免出现冗冗 余项余项。化简化简结果不唯一。结果不唯一。说明一：说明一：说明二：说明二：n圈1得原函数，圈0得反函数n圈必须覆盖所有的1。n圈中1的个数必须是2n个相邻的1。n圈的个数必须最少 (乘积项最少) 。n圈越大越好（消去的变量多）。n每个圈至少包含一个新的最小项。n写出最简与或式。逻辑函数化简时应注意的几个问题： 3.6.3 或与表达式的卡诺图化简或与表达式的卡诺图化简 1或与表达式的卡诺图表示或与表达式的卡诺图表示 对应最大项填02.

59、或与表达式的卡诺图化简或与表达式的卡诺图化简其余方格填1圈0 得到 F 原函数圈1 得到 F 反函数3.6.4 含无关项逻辑函数的化简（121） 在分析某些具体的逻辑函数时，在分析某些具体的逻辑函数时，n个变量的个变量的2n种组合中种组合中有一些变量取值有一些变量取值不会出现不会出现(或或不允许出现不允许出现)，对各个逻辑变对各个逻辑变量取值所加的限制称为约束。量取值所加的限制称为约束。这些取值所对应的这些取值所对应的最小项最小项称为称为约束项约束项，约束项的值恒等于约束项的值恒等于0。在真值表和卡诺图中，用在真值表和卡诺图中，用 或或 表示表示无关项无关项;在逻辑式在逻辑式中中,用用 d 来

60、表示来表示无关项之和。无关项之和。 另一种情况是输入变量的某些取值下函数是另一种情况是输入变量的某些取值下函数是1还是还是0皆皆可，这些变量取值所对应的最小项称为可，这些变量取值所对应的最小项称为任意项任意项。 约束项和任意项统称为约束项和任意项统称为无关项。无关项。（122） 十十 进进 制制 数数 8421 码码 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111六个六个约束项：约束项：m10,m11,m12