第六章常微分方程学习教案

1、会计学1第六章常微分方程第六章常微分方程(wi fn fn chn)第一页，共54页。解: 设所求曲线(qxin)方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意(rny)常数)由 得 C = 1,.12 xy因此(ync)所求曲线方程为21xy由 得),(yxM第1页/共54页第二页，共54页。解； 未知函数s(t)应满足方程mgdtsdm22,即 gdtsd22两边积分得 gdtdtdsv1Cgt 再积分一次，得 21221CtCgts此外，设运动开始时，物体的初始速度和初始221gts 位移为零，得第2页/共54页第三页，共54页。常微分方程(wi

2、fn fn chn)偏微分方程(wi fn fn chn)1.含有未知函数的导数（或微分）的方程(fngchng)称为微分方程(fngchng) .2.微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的阶.(本章内容)分类例如 为二阶微分方程22ddtx02xk第3页/共54页第四页，共54页。3.代入微分方程(wi fn fn chn)后，能使之成为恒等式的函数称为微分方程(wi fn fn chn)的解 .4.用来确定通解中任意常数(chngsh)的条件称为初始条件.特解通解(不含任意常数)分类5.寻求微分方程的解的过程称为解微分方程.第4页/共54页第五页，共54页。6.2一

3、阶微分方程(wi fn fn chn)可分离变量(binling)的微分方程一阶线性微分方程(wi fn fn chn)第5页/共54页第六页，共54页。可分离(fnl)变量的微分方程一、可分离(fnl)变量的微分方程转化 两边积分 1d( )yg yxxfd)()(yG)(xFCxFyG)()(第6页/共54页第七页，共54页。两边积分 ( )( )dx tkdtx t0t)0(x( )( )dx tkx tdt 解： 设 示在 时刻细菌数目，依题意有 (0)k )(txtln( )x tktC( )ktx tCe即 (C为任意常数) 又因，0)(ttx为已知,故特解为( )ktx tC e

4、ceCC 或0)0(x第7页/共54页第八页，共54页。例4（自然生长模型(mxng)） 表示一种生物在时间t时种群总数，开始时种群总数分别表示该总群的出生率和死亡率，实践证明 解：在t到t 这段时间内种群总数改变量为 当 时采用可分离变量后，积分得nycerkyttmyttnytytty)()()()(0t)()()()(lim0tymnttyttydtdyt)(tyy mnyy,)0(0,kyrmn其中(qzhng)r0，k0，试求该种群的自然生长(shngzhng)规律。第8页/共54页第九页，共54页。由 确定常数C，则可得生物总群自然增长(zngzhng)规律：00( )nry tr

5、kykey0)0(yy此式称为Logistic方程，显然当其曲线图为kryt时，第9页/共54页第十页，共54页。例5（肿瘤生长模型）设 是肿瘤体积。免疫系统非常脆弱时，V呈指数式增长(zngzhng)，但V长大到一定程度后，因获取的营养不足使其增长(zngzhng)受限制。描述V的一种数学模型是：0ln,(0)(0)dVVaVVV adtV 是肿瘤(zhngli)可能长到的最大体积，确定肿瘤生长规律/0k aVV e)(tV第10页/共54页第十一页，共54页。解：分离(fnl)变量lnlndVadtVVV两边(lingbin)积分lnlndVadtVVVln lnlnlnVVatC 由初始

6、条件 ，可确定(qudng) ， 00VV0lnVkCVa故特解是atkeaVVe即(1)/0atkeaVV e此为贡柏茨方程第11页/共54页第十二页，共54页。此为贡柏茨方程(fngchng)图形第12页/共54页第十三页，共54页。)(ddxyxy1. 齐次方程(fngchng) 形如令,xyu ,xuy 则代入原方程(fngchng)得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量: 第13页/共54页第十四页，共54页。.tanxyxydxdy解:,xyu 令,uxuy则代入原方程(f

7、ngchng)得uuuxutan分离(fnl)变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xCxysin( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )第14页/共54页第十五页，共54页。例7. 解微分方程yxyxdxdy解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量x11ydyxydxx此为齐次方程，令yux21 21duuuxdxu分离变量，再两边积分222112uuC x将u带回得222(2)1Cxxyy第15页/共54页第十六页，共54页。)(ddcbyaxfxy2. 型方程作变换cb

8、yaxz)(ddzbfaxy例8. 求方程 的通解2)(yxdxdy解：令 则zxy2dd11ddzyzxx 得方程通解为arctan zxC将 代回得原方程通解zxyarctan()xyxC第16页/共54页第十七页，共54页。一阶线性微分方程标准(biozhn)形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为(chn wi)非齐次方程 .称为齐次方程 ;定义3 如果方程中未知函数的导数（微分）的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为一阶线性微分方程。一、一阶线性微分方程第17页/共54页第十八页，共54页。0)(ddyxPxy

9、1. 解齐次方程(fngchng)分离(fnl)变量xxPyyd)(d两边(lingbin)积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(这里 仅表示p(x)的一个原函数( ) dP xx2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy( )( )dyQ xdxP x dxyy改写为第18页/共54页第十九页，共54页。两边积分( )ln( )Q xydxP x dxy( )( )Q xdxu xy令( )( )P x dxu xyee 令( )( )u xC xe ( )( )P x dxyC x e（1）下面求C（x），对（1）求导得( )( )( )( ) ( )P x dxP x

10、 dxyC x eP x C x e代入标准方程得( )( )( )P x dxC x eQ x第19页/共54页第二十页，共54页。齐次方程(fngchng)通解非齐次方程(fngchng)特解xxPCed)(故原方程(fngchng)的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即CxexQxCxxPd)()(d)(两端积分得第20页/共54页第二十一页，共54页。1.齐次方程 通解为：0)(ddyxPxyxxPeCyd)(.非齐次方程 通解为：)()(ddxQyxPxyxxPxxPedxexQCyd)(d)()(第21页/共54页第二十二页，

11、共54页。例9 用常数(chngsh)变易法求一阶线性方程通解sincosxdyyxedx解：齐次方程通解：cossinxdxxyCeCe用常数变易法，令sin( )xyC x esinsin( )cos( )xxyC x ex C x e代入原方程得sinsin( )xxC x ee即( )C xxC故通解为sin()xyxC e第22页/共54页第二十三页，共54页。例10 用通解公式(gngsh)求一阶线性方程的通解21dyyxdxx解：21( ),( )P xQ xxx 则通解为21()2xxdxCxxC严格的说，上式仅当 时才成立。121Cdxexeydxxdxx0 x第23页/共5

12、4页第二十四页，共54页。当 x0 时1lnln()dxxxx112dxdxxxyex edxCln()2ln()xxex edxC21() xxdxCx 21()2xxC第24页/共54页第二十五页，共54页。例11 (饮食与体重模型)某人每天从食物中获取10500J热量，其中5040J用于基础代谢。他每天的活动强度，相当于每千克体重消耗672J.此外，余下的热量均以脂肪的形式(xngsh)储存起来，每42000 J可转化为1kg脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化的，会达到平衡吗? 解：依题意，进食(jnsh)增加10500/42000=0.25kg 基础代谢5040/42000=0.1

13、2kg 活动消耗67.2w/42000=0.0016wkgtCewwtwtww0016. 025.810016. 013. 0)0016. 012. 025. 0(即第25页/共54页第二十六页，共54页。例12（药代动力学模型）假定药物以恒定速率K0向一个同质单元进行静脉滴注， K0的单位为单位时间(shjin)的药量，并且药物在同质单元内按一级消除速率常数K的过程消除。K的单位为时间(shjin)的倒数。试求此系统药物随时间(shjin)变化规律。0dxKKxdt由于 ，故0( )(1)KtKx teK0)(0ttx解：依题意单位时间内药物变化率应该等于输入与输出之差，则第26页/共54页

14、第二十七页，共54页。例13（细菌(xjn)繁殖非理想环境模型），除系统本身的繁殖外有的细菌(xjn)向系统外迁移，其迁移速率是时间t的线性函数，即At+B，系统内繁殖率与细菌(xjn)的数目成正比，并假定t=0时，测得的细菌(xjn)的数目为x(0)，求系统的细菌(xjn)繁殖规律解：设 为t时刻细菌数目，则( )dxKx tAtBdt解得2( ) ()kdtkdtktAtBAx teAtB eCCeKK代入 则00txx022( )()ktBAAtBAx txeKKKK)(tx第27页/共54页第二十八页，共54页。伯努利方程的标准(biozhn)形式:)1,0()()(ddnyxQyxP

15、xynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程(fngchng)通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)第28页/共54页第二十九页，共54页。)0, 0(4xyyxyxdxdy例14 求方程 的通解解：这是伯努力方程 ，其中 11,2nnzyy令则 12dzdydxdxy22dzxzdxx222dxdxxxzeedxcx 22211( ln)22xxdxcxxcx421( ln)2zyyxxc第29页/共54页第三十页，共54页。课堂(ktng)练习题:求

16、0tansec ,2xdyyxx ydx的特解解:由标准形式知( )lncos( )( )( )tan ,( )sec( )tanlncos ,( )sec,1( )p x dxxp x dxp x dxp xx Q xxp x dxxdxxQ x edxx edxdxxyeQ x edxcxccox 则通解由02xy得2c所求特解为:1cos2yxx第30页/共54页第三十一页，共54页。( 雅各布第一(dy) 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方(dfng)有用, 瑞士(ru sh)数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事, 而伯

17、努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .第31页/共54页第三十二页，共54页。),(yxfy 可降阶高阶微分方程(wi fn fn chn) 一、 型的微分方程(wi fn fn chn) 二、 型的微分方程(wi fn fn chn) ),(yyfy 三、 型的微分方程 )(xfy 第32页/共54页第三十三页，共54页。( )yf x 一、 型的微分方程(wi fn fn chn) 令 则( )u xy( )uf x 两端积

18、分得1( )( )u xf x dxC则1( )yf x dxC 再积分，得通解12( )yf x dx dxC xC 第33页/共54页第三十四页，共54页。例15 求方程(fngchng)的通解 xeyxcos2 积分一次得22111(cos )sin2xxyex dxCexC 再积分一次得2122121(sin)21cos4xxyexC dxCexC xC 最后积分得3212)cos41(CdxCxCxeyx3221221sin81CxCxCxex第34页/共54页第三十五页，共54页。),(yxfy 型的微分方程(wi fn fn chn) 设, )(xPy ,Py 则原方程(fngc

19、hng)化为一阶方程(fngchng),(PxfP 设其通解(tngji)为),(1CxP则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy第35页/共54页第三十六页，共54页。例16求方程(fngchng) 满足初始条件 的特解。 212xyxy 3, 100 xxyy解：设( )P xyPy，则221dPxPdxx原式为分离变量并积分21lnln(1)lnPxC221dPxdxPx即21(1)PCx第36页/共54页第三十七页，共54页。21(1)PCx用 代替(dit) ，得21(1)yCx 积分(jfn)得212312(1)1()3yCxdx CC xxC代入初始条

20、件0013xxyy和得123,1CC故特解是331yxxPy第37页/共54页第三十八页，共54页。),(yyfy 型的微分方程(wi fn fn chn) 令),(yPy xPydd 则xyyPddddyPPdd故方程(fngchng)化为),(ddPyfyPP设其通解(tngji)为),(1CyP即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy第38页/共54页第三十九页，共54页。.122yyy yCP12)1 (得yCy121即故所求通解为22211)(411CxCyC解:),(yPy 设xPydd 则xyyPddddyPPdd yyy212,21dd2yPyP

21、P原始可写为两端积分得12lnln)1ln(CyPdyydPPP1122第39页/共54页第四十页，共54页。可降阶微分方程(wi fn fn chn)的解法 降阶法逐次(zh c)积分),(. 2yxfy 令, )(xPy xPydd 则),(. 3yyfy 令, )(yPy yPPydd 则)(. 1xfy 注意： 对于 型的微分方程根据具体方程选择用方法2或方法3，使得降阶后所得方程容易求解)( yfy 第40页/共54页第四十一页，共54页。方程，一般形式为：)()()()(xfyxCyxByxA 第41页/共54页第四十二页，共54页。)()()()(xfyxCyxByxA ( )0

22、f x 当时 称之为二阶线性齐次方程； ( )0f x 当时 称之为二阶线性非齐次方程 )(xfcyybya 称之为二阶线性常系数微分方程 (a、b、c均为常数)0 cyybya称之为二阶线性常系数齐次微分方程 (a、b、c均为常数)第42页/共54页第四十三页，共54页。)(1xy)()(2211xyCxyCy)(2xy 定理2 若 和 是二阶线性常系数齐次 微分方程的两个线性无关的特解，则 就是该方程的通解其中C1和C2是两个任意常数。)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy第43页/共54页第四十四页，共54页。 定理(dngl)3设 是二阶线性非齐次方程的一个特解， 是其对应

23、的二阶线性齐次方程的通解，则 是二阶线性非齐次方程的通解。yyyyy 定理1、2、3说明：非齐次通解齐次通解非齐次特解齐次特解齐次特解(线性无关)第44页/共54页第四十五页，共54页。),(0为常数cbaycybya xrey 和它的导数(do sh)只差常数因子,代入得0)(2xre cbrar02crbar称为微分方程(wi fn fn chn)的特征方程,( r 为待定常数 ),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 其根称为特征根.aacbbr2422, 1第45页/共54页第四十六页，共54页。1. 当时, 有两个(lin )相异实根,21r ,r方程有两个(lin )线性无关的特

24、解:,11xrey ,22xrey 因此(ync)方程的通解为xrxreCeCy2121则微分它的特征方程为220rr 其根为两个相异实根，故122,1rr 则212xxyC eC e代入初始条件，得121,0CC故所求特解是2xye例18求微分方程 满足初始条件 的特解。 02 yyy2, 100 xxyy042 acb第46页/共54页第四十七页，共54页。042 acb时, 特征方程有两个(lin )相等实根21rr 则微分方程(wi fn fn chn)有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程(fngchng)得:0)()()()2()(12111 xucbrarxubraxuaexrabr21注意 是特征方程的重根 0 u取 u = x , 则得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2ab.11xrey )(1xuexr0)()()()2()(1211 xucrbraxubraxua第47页/共54页第四十八页，共54页。例19 求微分方程(wi fn fn chn) 的通解。 044 yyy它的特征方程为24410rr 其根为一对相等实根则所求方程的通解为1212rrxrexCCy1)(21第48页/共54页第